广东省佛山市2022-2024年九年级上学期期末真题分类汇编(章六反比例函数)

章六 反比例函数 【反比例函数的图象和性质】 1、（2023-2024南海·三水3）若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（　　） A. B. C. D. 2、（2023-2024禅城2）若双曲线经过点，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 3、（2022-2023南海·三水5）反比例函数的图象经过点，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4、（2021-2022南海3）已知反比例函数经过点A、B，则m的值为（ ） A. B. C. D. 6 5、（2021-2022禅城6）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ） x ﹣2 2 3 y 3 ﹣3 ▲ A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 6、（2023-2024顺德9）点（a，b）在函数图象上，下列说法错误的是（　　） A．当x＜0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在图象上 D．当x＜﹣1时，y＜2 7、（2022-2023禅城8）关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图象分别在第二、四象限 C. 该反比例函数图象与坐标轴无交点 D. 图象经过点 8、（2021-2022顺德8）函数与在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是 A. B. C. D. 9、（2021-2022三水10）函数y=x+m与(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是(　　) A. B. C. D. 10、（2022-2023顺德2）已知和是反比例函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11、（2023-2024禅城6）点与点均在双曲线上，则、大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 12、（2021-2022三水7）点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 13、（2021-2022顺德9）一元二次方程没有实数根，点、在反比例函数图象上，若，则与大小关系是 A. B. C. D. 不能确定 14、（2021-2022南海14）正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1, 2)，若，则x的取值范围是__________________． 15、（2022-2023南海·三水14）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，，若，则x的取值范围是_____________． 16、（2022-2023禅城14）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，x的取值范围是__________． 17、（2022-2023顺德14）反比例函数． （1）画出反比例函数的图象； （2）观察图象，当时，写出的取值范围． 18、（2023-2024顺德18）正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标是． （1）求k的值，画出反比例函数图象； （2）求另一个交点的坐标，写出反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围． 19、 （2021-2022顺德21）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． 画出反比例函数的图象，并写出的取值范围； 将沿轴平移个单位后得到直线，当与反比例函数的图象只有一个交点时，求的值． 【k值的几何意义】 1、（2021-2022三水18）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为___． 2、（2021-2022禅城16）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝_____． 3、（2021-2022顺德10）反比例函数的图象经过点，过点作轴的垂线交轴于点当点在轴正半轴上运动时的面积为 A. B. C. D. 先变大后减小 4、（2021-2022禅城12）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（ ） A. 逐渐变大或变小 B. 等于定值16 C. 等于定值8 D. 另有答案 5、（2022-2023顺德8）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，则面积为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【反比例函数的实际应用】 1、（2021-2022顺德15）一艘轮船装载吨货物，写出平均卸货速度单位：吨天与卸货天数之间的关系式为______． 3、（2022-2023禅城17）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． （1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； （2）如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 3、（2022-2023顺德18）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 （1）求y关于x的关系式； （2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 4、（2023-2024南海·三水21）佛山某企业从年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表： 年度 投入技改资金万元 3 4 产品成本（万元/件） 6 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若年投入技改资金5万元． ①预计生产成本每件比年降低多少万元？ ②若打算在年把每件产品的成本降低到万元，则需投入技改资金多少万元？ 5、（2023-2024禅城23）综合与实践 课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为米，宽为米的空书房． （1）如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙________米处； 位置 视力值 的值 第1行 70 第5行 28 第8行 14 第14行 （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的宽度之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母的宽度如上中图所示，视力表上部分视力值和字母的宽度的部分对应数据如右上表所示： ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值与字母宽度之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母的宽度的值，请问该行对应的视力值是多少？ 【反比例函数与几何综合】 1、（2023-2024禅城16）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是_____． 2、（2021-2022顺德12）如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，将沿着折叠得到，与交于点若反比例函数的图象经过点，则的值为 A. B. C. D. 3、 （2022-2023南海·三水20）直线与双曲线交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的横坐标为5． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 4、（2021-2022南海21）如图，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数的图像交于C、D两点，与x、y轴分别交于B、A两点，CE⊥x轴，且OB=4，CE=3， （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式． （2）求△OCD的面积． 5、（2023-2024顺德21）综合运用：如图，A（m﹣3，2）、是函数图象上的两点． （1）求m的值； （2）连接OA、OB，求△OAB的面积； （3）点P（a，b）在函数图象上，且a+b＝8，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形．是否存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半？说明理由． 6、（2021-2022三水23）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）． （1）求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当CD等于6时，求点C的坐标和△ACD的面积； （3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标． 7、（2022-2023禅城23）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作轴负半轴于点A，过点B作轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交于点F； （1）当点B的坐标为时，点D恰好在线段的中垂线上，求k的值； （2）在上题中，线段的中垂线交线段于E，直接写出四边形面积的数值； （3）连接，判断与的位置关系并说明理由． 8、（2022-2023顺德21）反比例函数和一次函数． （1）如图1，当，时，两个函数的图象交于A、D两点，请估计D点的横坐标的值（要求精确到）； （2）如图2，当时，一次函数与x轴、y轴分别交于点E、F，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数的图象于B、C两点．当时，求k的值． 9、（2021-2022南海24）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数图象过AB上一点E，BE=2，． （1）求k的值． （2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明． （3）点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标． 10、（2022-2023南海·三水23）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合． （1）当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，连接． ①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当平分时，直接写出k的值． 11、（2023-2024禅城24）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角． （1）在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； （2）如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； （3）如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 12、 （2021-2022顺德23）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点、，轴于点，． 求一次函数和反比例函数的表达式； 在反比例函数图象上求一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形； 若与相似但不全等，判断平面内符合题意的点有几个？并求出其中一个点的坐标． 13、（2021-2022禅城23）如图矩形OABC中，点B的坐标（a，b）；点P为线段BC上的一动点（与点B，点C不重合），过动点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q，延长PQ交x轴于D． （1）求证：四边形ADPC为平行四边形； （2）若a，b是方程3x2﹣28x＋64＝0的根（a＞b），点F在AC上，若四边形AQPF为菱形时，求这个反比例函数的解析式并直接写出点F的坐标． 14、（2023-2024南海·三水24）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； （3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章六 反比例函数 【反比例函数的图象和性质】 1、（2023-2024南海·三水3）若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（　　） A. B. C. D. 【答案】D 2、（2023-2024禅城2）若双曲线经过点，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 3、（2022-2023南海·三水5）反比例函数的图象经过点，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4、（2021-2022南海3）已知反比例函数经过点A、B，则m的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 5、（2021-2022禅城6）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值，表中“▲”处的数为（ ） x ﹣2 2 3 y 3 ﹣3 ▲ A. 2 B. ﹣2 C. 1 D. ﹣1 【答案】B 6、（2023-2024顺德9）点（a，b）在函数图象上，下列说法错误的是（　　） A．当x＜0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点（b，a）和（﹣b，﹣a）都在图象上 D．当x＜﹣1时，y＜2 【答案】D 7、（2022-2023禅城8）关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ） A. y随x增大而增大 B. 图象分别在第二、四象限 C. 该反比例函数图象与坐标轴无交点 D. 图象经过点 【答案】A 8、（2021-2022顺德8）函数与在同一坐标系中的图象如图所示，下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】 9、（2021-2022三水10）函数y=x+m与(m≠0)在同一坐标系内的图象可以是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 10、（2022-2023顺德2）已知和是反比例函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 11、（2023-2024禅城6）点与点均在双曲线上，则、大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 12、（2021-2022三水7）点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 13、（2021-2022顺德9）一元二次方程没有实数根，点、在反比例函数图象上，若，则与大小关系是 A. B. C. D. 不能确定 【答案】 14、（2021-2022南海14）正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1, 2)，若，则x的取值范围是__________________． 【答案】或 15、（2022-2023南海·三水14）如图，一次函数和反比例函数的图象交于点，，若，则x的取值范围是_____________． 【答案】或 16、（2022-2023禅城14）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，当时，x的取值范围是__________． 【答案】 17、（2022-2023顺德14）反比例函数． （1）画出反比例函数的图象； （2）观察图象，当时，写出的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）或． 【小问1详解】 解：反比例函数． 列表： x 1 2 4 y 4 2 1 描点、连线，反比例函数的图象如图， ； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或． 18、（2023-2024顺德18）正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标是． （1）求k的值，画出反比例函数图象； （2）求另一个交点的坐标，写出反比例函数值大于正比例函数值时x的取值范围． 19、（2021-2022顺德21）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． 画出反比例函数的图象，并写出的取值范围； 将沿轴平移个单位后得到直线，当与反比例函数的图象只有一个交点时，求的值． 【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ， 反比例函数为， 解得或， 一次函数的图象与反比例函数的图象的交点为，， 画出反比例函数的图象如图： 由图象可知，的取值范围是或； 将沿轴平移个单位后得到直线为， 令，整理得， 当与反比例函数的图象只有一个交点时，则， 解得， 当与反比例函数的图象只有一个交点时，则的值为． 【k值的几何意义】 1、（2021-2022三水18）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心均在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为___． 【答案】4. 2、（2021-2022禅城16）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为6．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a＝_____． 【答案】3 3、（2021-2022顺德10）反比例函数的图象经过点，过点作轴的垂线交轴于点当点在轴正半轴上运动时的面积为 A. B. C. D. 先变大后减小 【答案】 4、（2021-2022禅城12）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（ ） A. 逐渐变大或变小 B. 等于定值16 C. 等于定值8 D. 另有答案 【答案】B 5、（2022-2023顺德8）如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，则面积为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【反比例函数的实际应用】 1、（2021-2022顺德15）一艘轮船装载吨货物，写出平均卸货速度单位：吨天与卸货天数之间的关系式为______． 【答案】 3、（2022-2023禅城17）某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． （1）请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； （2）如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 【答案】（1） （2）选用的木板的面积至少要 【小问1详解】 解：由图象得：双曲线过点，在第一象限， ∴， ∴反比例函数表达式：； 【小问2详解】 解：当时：，即：； 由图象可知，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴选用的木板的面积至少要． 3、（2022-2023顺德18）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 （1）求y关于x的关系式； （2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】（1）y关于x的关系式为； （2）每台空调的定价为2750元． 【小问1详解】 解：∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； 【小问2详解】解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台，依题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为(元)． 答：每台空调的定价为2750元． 4、（2023-2024南海·三水21）佛山某企业从年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表： 年度 投入技改资金万元 3 4 产品成本（万元/件） 6 4 （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）按照这种变化规律，若年投入技改资金5万元． ①预计生产成本每件比年降低多少万元？ ②若打算在年把每件产品的成本降低到万元，则需投入技改资金多少万元？ 【答案】（1）表中数据是反比例函数关系，理由见解析 （2）①预计成本比年降低万元；②需投入技改资金约万元 【小问1详解】 解：由表中数据知，关系得， ， 不是一次函数关系， ∴表中数据是反比例函数关系； 【小问2详解】 解： ①当得：， 万元； 答：预计成本比2022年降低万元； ②当，得， 答：需投入技改资金约万元． 5、（2023-2024禅城23）综合与实践 课题：小空间检测视力问题 具体情境：对某班学生视力进行检测的任务． 现有条件：一张测试距离为5米的视力表，一间长为米，宽为米的空书房． （1）如图，若将视力表挂在墙上，在墙上挂一面足够大的平面镜，根据平面镜成像原理可知：测试线应画在距离墙________米处； 位置 视力值 的值 第1行 70 第5行 28 第8行 14 第14行 （2）小明选择按比例制作视力表完成该任务．在制作过程中发现视力表上视力值和该行字母的宽度之间的关系是已经学过的一类函数模型，字母的宽度如上中图所示，视力表上部分视力值和字母的宽度的部分对应数据如右上表所示： ①请你根据表格数据判断（说明理由）并求出视力值与字母宽度之间的函数关系式； ②小明在制作过程中发现某行字母的宽度的值，请问该行对应的视力值是多少？ 【答案】（1） （2）①视力值与字母宽度之间成反比函数关系，关系式为；②对应的视力值是 【小问1详解】解：根据题意可得：（米）， 【小问2详解】 解：①由表可知，视力值随字母宽度的值的减小而增大，且视力值与字母宽度的值的乘积为定值， 故视力值与字母宽度之间成反比函数关系， 设，把代入得：，解得：， ∴视力值与字母宽度之间的函数关系式为； ②把代入得：，解得：， 即对应的视力值是． 【反比例函数与几何综合】 1、（2023-2024禅城16）如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是_____． 【答案】（12，）． 【详解】试题分析：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FE⊥x于点E， ∵点D的坐标为（6，8）， ∴OD==10， ∵四边形OBCD是菱形， ∴OB=OD=10， ∴点B的坐标为：（10，0）， ∵AB=AD，即A是BD的中点， ∴点A的坐标为：（8，4）， ∵点A在反比例函数y=上， ∴k=xy=8×4=32， ∵OD∥BC， ∴∠DOM=∠FBE， ∴tan∠FBE=tan∠DOM=， 设EF=4a，BE=3a，则点F的坐标为：（10+3a，4a）， ∵点F在反比例函数y=上， ∴4a（10+3a）=32， 即3a2+10a﹣8=0， 解得：a1=，a2=﹣4（舍去）， ∴点F的坐标为：（12，）． 2、（2021-2022顺德12）如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，将沿着折叠得到，与交于点若反比例函数的图象经过点，则的值为 A. B. C. D. 【答案】 【解析】解：正方形的边长为，点是边的中点， ，，，， 沿着折叠得到， ，， 设，，， ，， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把，分别代入得，解得， 直线的解析式为， 易得直线的解析式为， 解方程组得， ， 点在反比例函数的图象上， ． 故选：． 3、 （2022-2023南海·三水20）直线与双曲线交于A、B两点，已知点A的横坐标为1，点B的横坐标为5． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）12． 【小问1详解】解：将分别代入得， ， 将代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】由（1）得，点A坐标为，点B坐标为， 将代入得，解得， ． 4、（2021-2022南海21）如图，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数的图像交于C、D两点，与x、y轴分别交于B、A两点，CE⊥x轴，且OB=4，CE=3， （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式． （2）求△OCD的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）8 【小问1详解】解：，， ， ， ， 将代入得：； 将，代入得，解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解： 由，解得，， ， ． 5、（2023-2024顺德21）综合运用：如图，A（m﹣3，2）、是函数图象上的两点． （1）求m的值； （2）连接OA、OB，求△OAB的面积； （3）点P（a，b）在函数图象上，且a+b＝8，过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成一个矩形．是否存在一个新的矩形，使得周长和面积分别是原矩形的一半？说明理由． 6、（2021-2022三水23）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）． （1）求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当CD等于6时，求点C的坐标和△ACD的面积； （3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标． 【答案】（1），y=； （2）C（2，-2），18 （3）O'（4，2），D'（6，6）． 【小问1详解】 解：∵点A（8，1）在直线y=kx3上， ∴1=8k3，解得：k=， ∴一次函数解析式为， ∵A（8，1）在y=（x＞0）的图象上， ∴1=， 解得：m=8， 则反比例函数解析式为y=； 【小问2详解】解：设C（a，）（0＜a＜8），则有D（a，）， ∴CD=（）=， ∵CD=6， ∴， 解得：a=8（舍去）或a=2， ∴， ∴C（2，-2）， 过A作AE⊥CD于点E，则AE=8-2=6， ∴S△ACD=CD•AE=×6×6=18； 【小问3详解】 连接OO'，由平移可得：OO'∥AC， ∴直线OO'的解析式为y=， 联立得：，解得：或（不合题意，舍去）， ∴O'（4，2）， 即O（0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2）， 又由（2）中知D坐标为（2，4）， ∴点D（2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）． 7、（2022-2023禅城23）如图，在平面直角坐标系中，点B是第二象限上一个动点，过点B作轴负半轴于点A，过点B作轴正半轴于点C，过点D的反比例函数的图象交于点F； （1）当点B的坐标为时，点D恰好在线段的中垂线上，求k的值； （2）在上题中，线段的中垂线交线段于E，直接写出四边形面积的数值； （3）连接，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【小问1详解】 ∵轴，轴 ∴四边形是矩形 ∵点B的坐标为 ∴， 如图所示，连接 ∵点D恰好在线段的中垂线上 ∴ ∴设，则 ∵四边形是矩形 ∴ ∴在中， 即，解得 ∴ ∴点D的坐标为 ∵点D在反比例函数的图象上 ∴，解得； 【小问2详解】如图所示，设于交于点M ∵线段的中垂线交线段于E ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵点F在上 ∴点F的横坐标为 ∴将代入，解得 ∴ ∴， ∴ ． 【小问3详解】如图所示，连接由（2）得，，由（2）得， 又∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 8、（2022-2023顺德21）反比例函数和一次函数． （1）如图1，当，时，两个函数的图象交于A、D两点，请估计D点的横坐标的值（要求精确到）； （2）如图2，当时，一次函数与x轴、y轴分别交于点E、F，点P是反比例函数图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数的图象于B、C两点．当时，求k的值． 【答案】（1）估计D点横坐标的值为； （2）． 【小问1详解】 解：当，时，反比例函数为、一次函数为， 解方程，整理得， 解得，经检验，是原方程的解， 估计D点的横坐标的值为； 【小问2详解】 解：设， ∵过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线于B、C两点， ∴，， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，则； 作轴于点K，轴于点H， ∴，， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，则， ∴． 9、（2021-2022南海24）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数图象过AB上一点E，BE=2，． （1）求k的值． （2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明． （3）点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）48 （2）OF⊥DF，见解析 （3） 【小问1详解】 证明：∵四边形OABC是正方形， ∴AO=AB，∠OAB=90°， ∵， 设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x， ∴3x+2=4x， ∴x=2， ∴AE=3x=6，AO=4x=8， ∴点E坐标为（6，8）， ∴k=6×8=48； 【小问2详解】 解：OF⊥DF，理由如下： 将x=8代入y=得y=6， ∴D（8，6）， ∴BD=BC-CD=8-6=2， ∵点F是线段AB的中点， ∴AF=BF=4， ∵，∠OAF=∠FBD=90°， ∴△AOF∽△BFD， ∴∠AOF=∠BFD， ∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°， ∴∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°， ∴OF⊥DF； 【小问3详解】 （3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点， ∵四边形OABC为正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF， ∴△AFG≌△BFD（AAS）， ∴AG=BD=2，GF=DF， 由（2）得OF⊥DF， ∴OF为线段DG的垂直平分线， ∴PD＋PC的最小值=PG＋PC=CG， ∵OC=OA=8， ∴C（8，0），G（0，10）， 设直线CG解析式为y=mx+n，代入C（8，0），G（0，10）， 得，解得， ∴ 设直线OF为y=ax，代入F（4，8）， ∴a=2， ∴y=2x， 联立直线OF、CG得，解得， ∴点P的坐标为(，)． 10、（2022-2023南海·三水23）如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合． （1）当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系； （2）如图2，连接． ①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由； ②当平分时，直接写出k的值． 【答案】（1），； （2）①有，；②． 【小问1详解】 解： 点E为中点， ， ， 将代入，得， 点F的坐标为， ∴，分别为，的中点， ∴． 【小问2详解】 ①连接、，， ∴， 将代入得，， 将代入得，， ， ，又， ， ， ， ∵，关于对称， ， ， ∴点D在过点A且与垂直的直线上． ， 当时取最小值时，有最小值， 如图，此时，点D在线段上． ， 又， ， ，即， ∴， 有最小值为． ②当点在x轴上时，同理可得：， 而， ∴， ，即 ，点坐标为， 设直线解析式为：，代入，， 得，解得， ∴直线解析式为：， 如图，当平分时， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为：， ∴同理可得：直线解析式为：， 联立得，解得， ∴中点坐标为， 同理可得：直线BC解析式为：， ∴设解析式为：，代入得， 解得， ∴解析式为：， 当时，， ∴点F的坐标为， ． 11、（2023-2024禅城24）阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角． （1）在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； （2）如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； （3）如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】 解：连接点C和中点D， ∵为卓越角，为卓越边， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∵，点D为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， ∵是卓越角，为卓越边， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵卓越中，为卓越边，为卓越角， ∴， ①当时，过点B作轴于点N，过点C作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去）， ∴； ②当时， 过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去）， 综上：． 12、 （2021-2022顺德23）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点、，轴于点，． 求一次函数和反比例函数的表达式； 在反比例函数图象上求一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形； 若与相似但不全等，判断平面内符合题意的点有几个？并求出其中一个点的坐标． 【答案】解：． ， ， ， ， ， 将，代入一次函数解析式得： ， 解得：， 一次函数解析式为：， 当时，， ， 将代入反比例函数解析式得：， 反比例函数的解析式为：； 如图， 当为菱形的对角线时， 四边形为菱形， 垂直平分， 轴，， ； 当为菱形的对角线时，， 此时点在轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在， 综上所述，； 如图，符合条件的点有个， 由题意知，四边形为矩形， ． 13、（2021-2022禅城23）如图矩形OABC中，点B的坐标（a，b）；点P为线段BC上的一动点（与点B，点C不重合），过动点P的反比例函数y＝的图象交AB于Q，延长PQ交x轴于D． （1）求证：四边形ADPC为平行四边形； （2）若a，b是方程3x2﹣28x＋64＝0的根（a＞b），点F在AC上，若四边形AQPF为菱形时，求这个反比例函数的解析式并直接写出点F的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）y＝， F（，） 小问1详解】 解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标（a，b）， ∴BC∥OA，AB∥OC， ∴C（0，b），A（a，0）， ∵点P为线段BC上，点P反比例函数y＝的图象交AB于Q， ∴P（，b），Q（a，），k＜ab， ∴CP=，BP=a－，BQ=b－，AQ=， ∵BC∥OA， ∴∠BPQ=∠ADQ,∠PBQ=∠DAQ, ∴△QBP∽△QAD， ∴，即， 解得：AD=， ∴AD=CP，又CP∥AD， ∴四边形ADPC是平行四边形； 【小问2详解】 解：解方程3x2﹣28x＋64＝0得x1=4，x2=， ∵a，b是方程3x2﹣28x＋64＝0的根（a＞b）， ∴a= ，b=4， ∴BP= －，BQ=4－，AQ=， ∵四边形AQPF为菱形， ∴PF∥AQ∥OC，PF=PQ=AQ，即PQ2=AQ2， ∴（－）2+（4－）2=（）2， 解得：k=或k=， ∵k＜ab=， ∴k=， ∴反比例函数的解析式为y＝， ∵PF=AQ==，P（，4）， ∴F（，）． 14、（2023-2024南海·三水24）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长； （3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【小问1详解】 ∵过， ∴， ∴，则， 又∵过， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∴，解得：或， ∴． 【小问2详解】令，则，∴． 设直线的解析式为设，∴，即：， ∵直线与反比例函数图象只有一个交点， ∴， ∴， ∴，令，则， ∴， ∴． 【小问3详解】由图可知在第一象限、不可能相等， 如图，当，时，点作轴于，轴于，与交点为，，设点的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∴， ∵点在一次函数图象上， ∴，整理得， 解得（负数舍去）， ∴点的横坐标的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$