专题12 与平行线有关的简单的证明计算-2024-2025学年七年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题12与平行线有关的简单的证明计算 1．（23-24七年级下·湖北·单元测试）已知：如图，，，求证：． 2．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，平分交于点D，，交于点E． (1)请说明． (2)如果，求的度数． 3．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知， (1)求证：； (2)求． 4．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 6．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 7．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，，，求证：． 8．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知：如图，点G在上，且平分，． (1)求证：； (2)若，请求出的度数． 9．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，已知：． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 10．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，点是上一点，平分，且，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 11．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由． 12．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，，则吗？请说明理由． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 14．（22-23七年级下·广东·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 15．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于E，，求的度数． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知平分，于点，． (1)求证：； (2)求的度数． 20．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，，过D作，垂足为G． 求证： (1)； (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 21．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)求证：． (2)若平分，于点，，求的度数． 22．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，且，求的度数． 23．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，直线分别与直线，交于点，，．作，的平分线分别交，于点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 24．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，． (1)请问与是否平行，并说明理由； (2)求的度数． 25．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 26．（24-25八年级上·浙江金华·开学考试）如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点，已知，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，射线平分交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 28．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若于点E，，求的度数． 29．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，，与互余， (1)猜想与的位置关系，并证明你的结论 (2)求的度数． 30．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12与平行线有关的简单的证明计算 1．（23-24七年级下·湖北·单元测试）已知：如图，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据两直线平行，内错角相等，再结合，得出内错角相等，两直线平行，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 2．（23-24七年级下·广东清远·期中）如图，平分交于点D，，交于点E． (1)请说明． (2)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线结合平行线得到内错角相等即可等量代换出结果； （2）根据垂直得到，则，，再根据角度和差即可计算． 【详解】（1）证明：∵平分 ， ． ． ； （2）解：∵， ∴，， ， ∴． 3．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知， (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键； （1）及，得，由平行线的判定即可证明； （2）由及已知得，即可得，从而有，由已知即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ； （2）解：， ， ， ． ． ． ， ． 4．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质； （1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出； （2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：， ， 又， ， ， ． 5．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，点分别在的边上，点在的延长线上，连接，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等两直线平行是解题的关键；先证明，通过等量代换可证，再根据平行线的判定可证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 6．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据已知得，从而利用平行线的性质可得，然后利用等量代换可得，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得，即可解答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的判定和性质，根据两直线平行，同位角相等得出，进而利用内错角相等，两直线平行解答即可． 【详解】证明：， ， ， ， ∴． 8．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知：如图，点G在上，且平分，． (1)求证：； (2)若，请求出的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义结合，推出，根据平行线的判定定理即可得证； （2）设，则，利用平行线的性质，列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）如图，已知：． (1)证明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题综合考查了平行线的判定与性质．熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据“同位角相等，两直线平行”即可求解； （2）根据条件可推出，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，点是上一点，平分，且，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． （1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）先根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线定义求出． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ． 11．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，即可得出结论． 【详解】证明：，理由如下： ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴．（内错角相等，两直线平行） 12．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示，，则吗？请说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键 由，可得．由，可得，进而可证． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 14．（22-23七年级下·广东·期末）如图，已知，平分，交于点． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见详解；(2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 15．（23-24七年级上·四川南充·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于E，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，角平分线的定义，垂线的定义： （1）根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，证明，最后根据平行线的判定得出结论； （2）根据垂线定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，再由平行线的性质即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、 上，连接，且满足，． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)证明：． 【答案】(1)，理由见解析；(2)见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质结合“同角的补角相等”求得，即可推出； （2）根据平行线的判定与性质证明，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： （已知）， 又（邻补角定义）， （同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知平分，于点，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直定义，角的运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）先证明，则，进而得出，推出，即可求证； （2）易得，则，利用平角的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点O在直线上，射线平分，，过D作，垂足为G． 求证： (1)； (2)若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解；(2)，理由见详解 【分析】（1）由，得到，，再利用同角的余角相等即可证明； （2）证明，利用内错角相等两直线平行，即可证明． 本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：位置关系为：，理由如下： 由（1）得， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线行）． 21．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，，． (1)求证：． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能够正确掌握角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据题意得出，进行等量代换确定，再由平行线的判定即可证明． （2）根据角平分线及（1）中过程得出，再结合垂直即可求解． 【详解】（1）解： ， 又， ， ． （2）解：∵， ∴， 平分， ， ∴， ∵， ， ∴． 22．（22-23七年级下·山东临沂·期中）如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键； （1）先证明，结合，可得，从而可得结论； （2）证明．可得，结合（1）得，再结合角平分线可得答案； 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ． ∴． （2）解：∵且， ． 平分， ． 由（1）得， 平分， ． 23．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，直线分别与直线，交于点，，．作，的平分线分别交，于点，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析；(2) 【分析】本题考查了平行的判定及性质的知识．用到的知识点是对顶角相等，两直线平行，内错角相等，同位角相等的知识，理解平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用对顶角相等和即可证明，即有，再根据平分，平分，可得，可证得； （2）利用、的结论，可证得，即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是的对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，． (1)请问与是否平行，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)．理由见解析；(2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中． （1）求出，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的性质求出即可． 【详解】（1）AB∥CD．理由如下： ，， ， ， ， ， ； （2）， ， ，， ， ， ． 25．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，，垂足为D，，垂足为E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）根据，，可得，得，进而得，可得结论； （2）根据，可以设，根据，可得，由得到，根据，求出x的值，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 设， ， ， ， ， ， ，即 ． 26．（24-25八年级上·浙江金华·开学考试）如图，点E、F、G分别在直线、、上，交于点，已知，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）先证明，得到，进而得到，即可证明； （2）根据，可得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解∶， ， 由（1）知， ． 27．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，射线平分交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质； （1）根据对顶角性质、平行线的判定定理求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可． 【详解】（1），理由如下： 且， ， ， （2）且， ， ， 射线平分， ， 由（1）可知，， ， ． 28．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，理解并掌握平行线的性质和判定是解决问题的关键． （1）首先由得到，然后结合得到，进而求解即可； （2）首先求出，然后根据平行线的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下 ∵， ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴． 29．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，平分，，与互余， (1)猜想与的位置关系，并证明你的结论 (2)求的度数． 【答案】(1)，证明见解析；(2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）平行结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）互余关系结合平行线的性质，推出，即可 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴． ∵与互余， ∴，即：， ∴． 30．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，余角的性质等知识，根据角平分线的定义得出，利用垂直的定义可得出，利用余角的性质可得出，利用平行线的性质可得出，，等量代换可得出，即可得证． 【详解】证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即是的平分线． 试卷第20页，共21页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $$