专题11 补充证明过程-2024-2025学年七年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题10补充证明过程 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：已知，求证： 证明：（已知） ∴ ∴（                    ） ∴ （                     ） （已知） （等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（                  ） （已知）   ∴   ∴     ∴ 2．（21-22七年级下·辽宁铁岭·期中）填写下面证明过程中的推理依据： 已知：如图，，平分，平分．求证：． 证明：∵（______________________________） ∴__________（______________________________________） ∵平分，平分， ∴______， ______．（____________________） ∴． 3．（22-23七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，于点R，于点M，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：． 理由如下： ∵，，（已知） ∴ ∴，（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴________，（ ） ∴，（ ） ∵（已知） ∴，（ ） ∴．（ ） 4．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）如图，，，，将求的过程填写完整． 解：（________________） ______（________________） 又，（________________） （________________） ______（________________） ______ （__________________________） 又（________________） ______（________________） 5．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，，，求的度数． 解：因为（                  ）， 所以______（                 ）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以______（内错角相等，两直线平行）． 所以（               ）． 因为（已知）， 所以______（ ）． 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）完成下面推理填空： 如图，、分别在和上，，与互余，于．求证：． 证明： （__________________________） （已知） ____________（__________________________） （__________________________） （__________________________） ． 与互余（________________） ______（________________） （__________________________） 7．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，，，，求的度数．请将求的度数的过程及理由填写出来．    解：因为， 根据“__________”， 所以． 又因为， 所以， 根据“__________”， 所以， 根据“__________” 所以__________． 又因为， 所以__________． 8．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，平分，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵平分， ∴（①________________________）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴②______（内错角相等，两直线平行）， ∴（③________________________）， ∵（已知）， ∴④______（同角的补角相等）， ∴（⑤______）． 9．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）补全下列推理过程：如图所示，已知，求证：． 证明：因为（已知）， 所以　　　　（两直线平行， 内错角相等）． 因为（已知）， 所以　　　　　　（等量代换）． 所以___________∥___________（同位角相等，两直线平行）． 所以___________（两直线平行，同位角相等）． 因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 10．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）完成推理填空：如图在△ABC中，已知，，试说明． 解：（邻补角的定义），（已知） __________（同角的补角相等） （__________） __________（两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （__________） （__________） 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读并完成下面的证明： 如图，点F在线段上，线段的延长线与线段的延长线相交于点E，，，求证：． 解：∵（已知）， ∴_________（____________________________）． ∵（已知）， ∴_____________（________________________）． ∵（已知）， ∴． 即___________． ∵（已证）， ∴____________=______________（等量代换）． ∴（_________________________________） 12．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图，已知，与互余，，求证：． 解：∵，（______） ∴，（______） ∴．（______） 又∵， ∴______．（______） ∴． 又∵． ∴． 又∵． ∴，（______） ∴．（______） 13．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图点E在直线上，点B在直线上，若，．试说明：．请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（      ） （已知） （        ） （        ）（                ） （    ）（             ） ∵（已知） （           ） （   ）（   ）（内错角相等，两直线平行） （               ） 14．（23-24七年级下·广西百色·期末）【阅读理解】如图，，平分交于点F，交延长线于点E，，试说明．下面是小明同学的解答过程，请认真阅读并完善解答过程及填写相应的依据． 解：因为（已知）， 所以______（______）． 所以______（______）． 因为平分（已知）， 所以（______）． 所以（______）． 因为（已知）， 所以______． 所以______（______）． 所以（______）． 15．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，可推得．理由如下． ∵（已知），且（____________）， ∴（_______）． ∴（______________________________）， ∴____（____________________________）． 又∵（_______）， ∴________________（等量代换）． ∴（________________________________）． 18．（23-24七年级上·四川南充·期中）完成下面推理过程．在括号内、横线上填空或填上推理依据． 如图，已知：，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∵（已知） ∴______（______） 即 ∴ ∵（已知） ∴______（______） ∴（______） ∴（______）． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分． 求证：． 证明：（已知）， （________________）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， ________（角平分线的定义）， （________________）， （已知）， （________________）， （________________）． 20．（22-23七年级下·全国·期末）根据题目给出条件，将下面的说理依据补充完整： 如图，于点，与点，且交于点，交的延长线于点，．求证：． 证明：∵，（已知） ∴（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行） ∴（__________），（__________） ∵（已知） ∴（__________） 21．（2024八年级上·全国·专题练习）请将下列证明过程补充完整：如下图，已知，，求证：． 证明：，， ， ___________（            ）， （            ）． （已知）， ____________（等量代换）， （            ）， （            ）． 22．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，平分；． (1)与平行吗？请说明理由； (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：______ ． 平分；已知 （    ） 又已知． 即， ______ （      ） ______ ______ ______ 23．（22-23七年级下·重庆江津·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，和相交于点O，平分，和相交于点E，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 24．（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线，直线分别交、于M、N两点，若、分别是、的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） （①_____________） 、分别是、的角平分线，（已知） ②________， ③________（角平分线的定义） （等量代换） ∴（④__________）． 25．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知，，垂足分别为，． (1)用尺规完成基本作图：延长至点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：．（在下面的括号中填上推理依据） 证明：∵，，（已知） ∴，（①______） ∴，（②______） ∴，（③______） ∵，（已知） ∴，（④______）． ∴，（⑤______） ∴．（⑥______） 26．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）完成下面的证明过程： 如图所示，直线与分别相交于点A，D，与分别相交于点H，G，已知，． 求证：． 证明：，（已知）（___________） _______（___________________） （___________________） （___________________） 又（已知） ________（___________________） ____________（___________________） （___________________） 27．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）如图，已知，与相交于点E，若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①_________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②________）； ∴③____________（同位角相等，两直线平行）． ∴④__________（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（⑤___________________）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 28．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）完成下面的证明过程． 已知：如图，，平分，平分． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ _________________________ ）． ∵（已知）， ∴________（ ___________________________ ）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 29．（23-24七年级下·云南大理·期末）阅读下面的证明，补充理由． 已知：如图，于，于，． 求证：平分． 证明：，（已知）， ，（______________）． （等量代换）． （______________）． （______________）． （已证）， （______________）． 又（已知）， （______________）． 平分（______________）． 30．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，，与的平分线相交于点，证明与的位置关系． 解：平分（已知）， （______________）； 同理． （已知）， ______________， 所以______________； ______________， ______________， 与的位置关系是______________． 试卷第12页，共14页 试卷第11页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10补充证明过程 1．（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图：已知，求证： 证明：（已知） ∴ ∴（                    ） ∴ （                     ） （已知） （等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（                  ） （已知）   ∴   ∴     ∴ 【答案】同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由可得出，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，利用“两直线平行，内错角相等”可得出，结合可得出，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，利用“两直线平行，同位角相等”可得出，由可得出，结合可得出，进而可得出． 【详解】证明：（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等 ）， （已知）， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （已知），   ∴ ， ∴ ，    ∴． 故答案为: 同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，同位角相等． 2．（21-22七年级下·辽宁铁岭·期中）填写下面证明过程中的推理依据： 已知：如图，，平分，平分．求证：． 证明：∵（______________________________） ∴__________（______________________________________） ∵平分，平分， ∴______， ______．（____________________） ∴． 【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，，据此即可证明． 【详解】证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分，平分， ∴， ．（角平分线的定义） ∴． 故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义． 3．（22-23七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，于点R，于点M，，，请问与平行吗？说明理由．完成下列推理过程： 解：． 理由如下： ∵，，（已知） ∴ ∴，（ ） ∴．（ ） ∵，（已知） ∴________，（ ） ∴，（ ） ∵（已知） ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． 首先得到，推出，得到，等量代换得到，推出，同理得到，进而得到． 【详解】解：． 理由如下： ∵，，（已知） ∴ ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∵（已知） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 4．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）如图，，，，将求的过程填写完整． 解：（________________） ______（________________） 又，（________________） （________________） ______（________________） ______ （__________________________） 又（________________） ______（________________） 【答案】已知；，两直线平行，同位角相等；已知，等量代换，，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；已知，，等式性质． 【分析】根据平行线的判定与性质进行填空即可． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又，（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （等式性质） 故答案为：已知；，两直线平行，同位角相等；已知，等量代换，，内错角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；已知，，等式性质． 5．（22-23七年级下·四川达州·期中）如图，，，求的度数． 解：因为（                  ）， 所以（                 ）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（               ）． 因为（已知）， 所以． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质．根据题干的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（已知）， 所以． 6．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）完成下面推理填空： 如图，、分别在和上，，与互余，于．求证：． 证明： （__________________________） （已知） ____________（__________________________） （__________________________） （__________________________） ． 与互余（________________） ______（________________） （__________________________） 【答案】垂直的定义，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平角的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的性质与判定，涉及垂直、平角等概念，解题的关键是掌握平行线性质定理及判定定理．根据平行线性质及判定填空即可． 【详解】证明： （垂直的定义）， （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（平角的定义）， ， 与互余（已知）， ， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；平角的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 7．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）如图，，，，求的度数．请将求的度数的过程及理由填写出来．    解：因为， 根据“__________”， 所以． 又因为， 所以， 根据“__________”， 所以， 根据“__________” 所以__________． 又因为， 所以__________． 【答案】两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了利用平行线的判定以及性质求角的度数，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，进而得出，由平行线的性质可得出，进而可求出答案， 【详解】解：因为， 根据两直线平行，同位角相等， 所以． 又因为， 所以， 根据内错角相等，两直线平行， 所以， 根据两直线平行，同旁内角互补， 所以． 又因为， 所以 故答案为：两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；； 8．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）如图，平分，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∵平分， ∴（①______）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴②______（内错角相等，两直线平行）， ∴（③______）， ∵（已知）， ∴④______（同角的补角相等）， ∴（⑤______）． 【答案】①角平分线的定义； ② ；③两直线平行，同旁内角互补； ④；⑤同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查角平分线定义，平行线的判定和性质，结合图形，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．根据角平分线定义得出，根据平行线的判定得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定得出答案即可． 【详解】解：平分， （① 角平分线的定义 ）， （已知）， （等量代换）， ②（内错角相等，两直线平行）， （③ 两直线平行，同旁内角互补 ）， （已知）， ④（同角的补角相等）, ∴（同位角相等，两直线平行）． 9．（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）补全下列推理过程：如图所示，已知，求证：． 证明：因为（已知）， 所以　　　　（两直线平行， 内错角相等）． 因为（已知）， 所以　　　　　　（等量代换）． 所以___________∥___________（同位角相等，两直线平行）． 所以___________（两直线平行，同位角相等）． 因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等．先根据平行线的性质得到，等量代换得到，即可证明得到，再由，即可证明． 【详解】证明：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 故答案为：；；；；；． 10．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）完成推理填空：如图在△ABC中，已知，，试说明． 解：（邻补角的定义），（已知） __________（同角的补角相等） （__________） __________（两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （__________） （__________） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质证明，解题的关键是熟练掌握平行线的性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据补角的性质得出，再根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，再根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质得出结论即可． 【详解】解：（邻补角定义）， （已知） （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读并完成下面的证明： 如图，点F在线段上，线段的延长线与线段的延长线相交于点E，，，求证：． 解：∵（已知）， ∴_________（____________________________）． ∵（已知）， ∴_____________（________________________）． ∵（已知）， ∴． 即___________． ∵（已证）， ∴____________=______________（等量代换）． ∴（_________________________________） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；等量代换；；；；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．利用平行线的性质求得，得到，再根据平行线的判定定理即可证明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴． 即． ∵（已证）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行） 12．（22-23七年级下·新疆博尔塔拉·期中）如图，已知，与互余，，求证：． 解：∵，（______） ∴，（______） ∴．（______） 又∵， ∴______．（______） ∴． 又∵． ∴． 又∵． ∴，（______） ∴．（______） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的余角，掌握平行线的判定和性质是解题关键．由同位角相等，两直线平行，得到，结合垂直的定义，得到，再根据同角的余角相等，得到，即可证明平行． 【详解】解：∵，（已知） ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） 又∵， ∴．（垂直的定义） ∴． 又∵． ∴． 又∵． ∴，（同角的余角相等） ∴．（内错角相等，两直线平行） 13．（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图点E在直线上，点B在直线上，若，．试说明：．请同学们补充下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（      ） （已知） （        ） （        ）（                ） （    ）（             ） ∵（已知） （           ） （        ）（        ）（内错角相等，两直线平行） （               ） 【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换；；两直线平行, 内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，先根据对顶角相等以及，得出，证明，再结合平行线的性质以及角的等量代换，即可作答． 【详解】解：∵（对顶角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ∵（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行, 内错角相等） 14．（23-24七年级下·广西百色·期末）【阅读理解】如图，，平分交于点F，交延长线于点E，，试说明．下面是小明同学的解答过程，请认真阅读并完善解答过程及填写相应的依据． 解：因为（已知）， 所以______（______）． 所以______（______）． 因为平分（已知）， 所以（______）． 所以（______）． 因为（已知）， 所以______． 所以______（______）． 所以（______）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写平行线的判定和性质即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的定义）， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；等量代换；已知；；；两直线平行，同位角相等． 15．（22-23七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知） __________，__________．（    ） 又，（已知） ____________________．（等量代换） 又，（已知） ____________________．（等量代换） ∴．（__________） 【答案】；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）， 又∵， （等量代换）， 又， （等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为： ；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，已知，可推得．理由如下． ∵（已知），且（____________）， ∴（_______）． ∴（______________________________）， ∴____（____________________________）． 又∵（_______）， ∴________________（等量代换）． ∴（________________________________）． 【答案】对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；已知；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，根据平行线的判定得出． 【详解】解：∵（已知），且（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴．（内错角相等，两直线平行） 18．（23-24七年级上·四川南充·期中）完成下面推理过程．在括号内、横线上填空或填上推理依据． 如图，已知：，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∵（已知） ∴______（______） 即 ∴ ∵（已知） ∴______（______） ∴（______） ∴（______）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；垂直的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条不同直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直定义、同角的余角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．根据相关知识进行求解即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已知） ∴（垂直的定义） 即 ∴ ∵（已知） ∴（同角的余角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（平行于同一直线的两条不同直线互相平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；垂直的定义；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条不同直线互相平行． 19．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分． 求证：． 证明：（已知）， （________________）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， ________（角平分线的定义）， （________________）， （已知）， （________________）， （________________）． 【答案】垂直定义；；等角的余角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换； 【分析】本题考查角平分线的定义，余角和补角的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练运用这些性质定理去证明；根据角平分线的定义，余角和补角的性质，平行线的性质去填空即可； 【详解】证明：（已知）， （垂直定义）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等角的余角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）； 20．（22-23七年级下·全国·期末）根据题目给出条件，将下面的说理依据补充完整： 如图，于点，与点，且交于点，交的延长线于点，．求证：． 证明：∵，（已知） ∴（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行） ∴（__________），（__________） ∵（已知） ∴（__________） 【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题关键．根据，可得，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】证明：∵，（已知） ∴（同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换）． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）请将下列证明过程补充完整：如下图，已知，，求证：． 证明：，， ， ___________（            ）， （            ）． （已知）， ____________（等量代换）， （            ）， （            ）． 【答案】；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行线的判定与性质进行解答，即可得出答案． 【详解】证明：，， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （ 内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 22．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，平分；． (1)与平行吗？请说明理由； (2)与的位置关系如何？为什么？ 解：与的位置关系是：______ ． 平分；已知 （    ） 又已知． 即， ______ （      ） ______ ______ ______ 【答案】(1)平行，详见解析 (2)平行；角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用． 由题意可求得，则可判定； 由角平分线的定义可得，从而可求得，即可判定． 【详解】（1）证明：与平行，理由如下： 平角的定义， 已知， 同角的补角相等， ； （2）证明：与的位置关系是：平行． 平分已知， 角平分线的定义， 又已知，即， 等量代换． 内错角相等，两直线平行． 23．（22-23七年级下·重庆江津·期中）完成下面的证明： 已知：如图，，和相交于点O，平分，和相交于点E，．求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴（ ）． ∴（ ）． 【答案】内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；等量代换；2；角平分线定义；等量代换 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，利用平行线的判定与性质可得出，，等量代换得出，利用角平分线的定义得出，等量代换即可得证． 【详解】证明：证明：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）． ∴（等量代换）． 故答案为：内错角相等，两直线平行；1；1；两直线平行，同位角相等；等量代换；2；角平分线定义；等量代换． 24．（22-23七年级下·浙江金华·期中）如图，已知直线，直线分别交、于M、N两点，若、分别是、的角平分线，试说明：． 解：∵，（已知） （①_____________） 、分别是、的角平分线，（已知） ②________， ③________（角平分线的定义） （等量代换） ∴（④__________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义的应用，能根据平行线的性质和角平分线定义求出是解此题的关键． 根据平行线的性质得出，根据角平分线定义求出，，推出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】解：∵，（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 、分别是、的角平分线（已知）， ，（角平分线的定义）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行． 25．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知，，垂足分别为，． (1)用尺规完成基本作图：延长至点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：．（在下面的括号中填上推理依据） 证明：∵，，（已知） ∴，（①______） ∴，（②______） ∴，（③______） ∵，（已知） ∴，（④______）． ∴，（⑤______） ∴．（⑥______） 【答案】(1)作图见解析； (2)垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】（）延长，以点为圆心，的长度为半径画弧，交的延长线于点，则； （）根据推论过程写上推理依据即可； 本题考查了作一条线段等于已知线段，平行线的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：∵，，（已知） ∴，（①垂直的定义） ∴，（②同位角相等，两直线平行） ∴，（③两直线平行，同旁内角互补） ∵，（已知） ∴，（④等量代换） ∴，（⑤内错角相等，两直线平行） ∴．（⑥两直线平行，同位角相等） 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 26．（23-24七年级下·贵州黔东南·期中）完成下面的证明过程： 如图所示，直线与分别相交于点A，D，与分别相交于点H，G，已知，． 求证：． 证明：，（已知）（___________） _______（___________） （___________） （___________） 又（已知） ________（___________） ____________（___________） （___________） 【答案】对顶角相等，，等量代换，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，等量代换，，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，先证明，则，由等量代换得到，则，即可证明． 【详解】证明：，（已知）（对顶角相等） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 故答案为：对顶角相等，，等量代换，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，等量代换，，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 27．（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）如图，已知，与相交于点E，若，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴①_________（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②________）； ∴③____________（同位角相等，两直线平行）． ∴④__________（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（⑤___________________）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定，根据题意找到正确的角度关系是解题的关键．根据题目已知条件及现有步骤结合平行线的判定和性质定理，即可得到答案． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（②同角的补角相等）； ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）． 28．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）完成下面的证明过程． 已知：如图，，平分，平分． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ _________________________ ）． ∵（已知）， ∴________（ ___________________________ ）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质，角平分线的定义结合已给推理过程证明即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 29．（23-24七年级下·云南大理·期末）阅读下面的证明，补充理由． 已知：如图，于，于，． 求证：平分． 证明：，（已知）， ，（______）． （等量代换）． （______）． （______）． （已证）， （______）． 又（已知）， （______）． 平分（______）． 【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线定义 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握角平分线的定义，平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质即可解答． 【详解】证明：，（已知）， ，（垂直定义）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． （已证）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， （等量代换）． 平分（角平分线定义）． 30．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）如图，，与的平分线相交于点，证明与的位置关系． 解：平分（已知）， （______________）； 同理． （已知）， ______________， 所以______________； ______________， ______________， 与的位置关系是______________． 【答案】角平分线的定义；；；；；（或垂直） 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义及垂直的定义，正确运用平行线的性质是解题的关键． 角平分线的定义及平行线的性质、垂直的定义即可得出结论． 【详解】解：平分（已知）， （角平分线的定义）； 同理． （已知）， ， 所以； ， ， 与的位置关系是． 故答案为：角平分线的定义；；；；；． 试卷第28页，共29页 试卷第27页，共27页 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