21.1二次根式教案 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第21章　二次根式 21.1　二次根式 1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.理解二次根式的基本性质：（）2＝a（a≥0）及＝，并能利用它们进行化简或计算.（难点） 一、复习引入 1.什么是平方根、算术平方根？ 2.当a≥0时，叫什么？当a＜0时，有意义吗？你能举出几个这样的代数式，并说明其意义吗？ 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 二、探索新知 1.二次根式的概念 （1）引导学生概括二次根式的定义：像、、这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于等于0，这样的式子叫做二次根式.为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式.因此我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式. （2）思考：根据你的现有知识，说说你对二次根式的认识.（学生分组讨论、回答，最后教师总结） ①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号“”；④a≥0，≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果. 例1　下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ 、、、（x＞0）、、、－、、（x≥0，y≥0）. 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0. 解：二次根式有、（x＞0）、、－、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有、、、. 归纳：从形式上看，一个代数式是二次根式必须具备以下两个条件：（1）必须有二次根号；（2）被开方数不能小于0. 例2　x是怎样的实数时，二次根式有意义？ 分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数. 解：被开方数x－1≥0，即x≥1.所以，当x≥1时，二次根式有意义. 归纳：由于二次根式的被开方数必须是非负数，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于等于0，因此求二次根式被开方数中字母的取值范围时，可列不等式求解. 2.二次根式的性质（）2＝a（a≥0）的探究 （1）做一做：根据算术平方根的意义填空： （）2＝　　　　　；（）2＝　　　　　；＝　　　　　；＝　　　　　；（）2＝　　　　　. （2）思考：根据上面的计算，你得出了什么结论？ 学生讨论，得出结论：（）2＝a（a≥0）. 例3　计算：（1）；（2）； （3）（3）2；（4）. 分析：我们可以直接利用（）2＝a（a≥0）的结论解题. 解：（1）＝；（2）＝； （3）（3）2＝32·（）2＝9×5＝45；（4） ＝＝. 3.二次根式的性质＝的探究 （1）做一做：根据算术平方根的意义填空： ＝　　　　　；＝　　　　　；＝　　　　　；＝　　　　　. （2）根据上面的计算你得出了什么结论？ 学生讨论，得出结论：一般地，＝a（a≥0）. （3）思考：当a＜0时，＝a还成立吗？ 学生小组讨论，教师举反例说明结论不成立，最后得出结论：当a＜0时，＝－a. （4）通过上面的学习，你认为等于多少？ 学生讨论，得出结论：＝. 例4　化简：（1）；（2）；（3）；（4）. 分析：因为（1）9＝32，（2）（－4）2＝42，（3）25＝52， （4）（－3）2＝32，所以都可运用＝a（a≥0）去化简. 解：（1）＝3；（2）＝4；（3）＝5；（4）＝3. 三、巩固练习 1.计算： （1）（－）2＝　　　　　；（2）＝　　　　　； （3）＋＝　　　　　. 2.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）. 3.已知y＝＋＋3，求的值. 答案：1.（1）3　（2）1.5　（3）4　2.（1）x≥－3　（2）x≥　（3）x＞0　（4）x＜1　3. 四、归纳小结 1.式子（a≥0）叫做二次根式，实质是一个非负实数的算术平方根的表达式. 2.式子中，被开方数（式）必须大于等于零. 3.求二次根式中字母取值范围的方法： （1）观察配方法； （2）列不等式或不等式组求解. 4.区分（）2＝a（a≥0）与＝. 五、课后作业 1.教材习题21.1第1、2题. 本节课是本章的第一节课，主要是建立二次根式的概念.在教学过程中通过将新知识与旧知识进行联系与对比，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式的概念.让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣. 学科网（北京）股份有限公司 $$