4.2.1等差数列的概念（2）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列的概念 第二课时 1.等差数列的定义： 2. 通项公式： 4. 等差数列的函数特征： 3.等差中项： an-an-1=d (n≥2)或 an+1-an=d (n∈N*) an =a1+(n-1)d 由三个数a, A, b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项. 这三个数满足关系式： 函数图象上所有的点在同一条直线上： d＞0,等差数列单调递增； d＜0,等差数列单调递减； d＝0,等差数列为常数列. 复习回顾 探究 观察等差数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,……，说出8是哪两项的等差中项？并找到它们满足的规律？ 问题1 观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么一般性的结论吗？并且加以证明. 新知探究 例5： 已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at . 证明: 新知探究 由例5可得等差数列的如下性质： 性质1 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. （若下标和相等，则对应项的和也相等.） (1)特别地: 若m＋n＝2p(m,n,p∈N*)，则有am＋an＝a2p. 追问 其它条件不变，若am＋an＝ap＋aq，能得到m＋n＝p＋q吗？ 反例： 常数列 不能 推广 (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 思考 2+3=5，a2+a3=a5 成立吗？ 【注】等式两边作和的项数必须一样多！ 新知探究 1.在等差数列{an}中，已知a3 + a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 + ... + a7 =（ ） A. 14 B. 12 C. 28 D. 36 C 新知应用 3. 已知等差数列 中， ， ，则 _____. <m4</m> [解析] 解法：在等差数列 <m></m> 中,由等差中项的定义可得 <m></m> ， 从而 <m></m> . 还有哪些方法求解？ 40 新知应用 例3：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少。经验表明，每经过一年其价值会减少(为正常数）万元。已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废。请确定的范围. 这台设备使用满年时得价值构成一个数列。由题意可知，使用满10年时，这台设备得价值不小于(220×5％=)11万元；而第11年底，这台设备的价值应小于11万元。可以利用的通项公式列不等式组求解。 问题2：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系?利用什么公式列不等式? 新知探究 分析:这台设备使用满n年时得价值构成一个数列{an}.由题意可知，使用满10年时，这台设备得价值不小于(220×5％=)11万元；而第11年底，这台设备的价值应小于11万元。可以利用{an}的通项公式列不等式求解. 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)， ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 解: 新知探究 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位。你能用表示第排的座位数吗? 第10排有多少个座位? 解：由题意可知，数列是等差数列，且。 ∴第排的座位数为： 第10排的座位有：（个）。 课本练习P17 新知应用 2、“孙子定理”是中国古代求解整除问题的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”。现有如下一个整除问题：将1至2025这2025个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有多少项？ 析：既3的倍数也是5的倍数，即，可得 4，利用即可得结果。 解：∵ 是能被3除余1且被5除余1的数。 ∴（ ∴ ∴即： ∴数列共有135项。 新知应用 例4： 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 解1: 解2: 新知探究 思考： 对于(2),你还有其他解法么？ 新知探究 思考： 对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 证明：∵是等差数列，公差为，∴ ，， 即，，，…()是公差为的等差数列． ∴， 即. 新知探究 性质2 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． 4、已知数列都是等差数列, 公差分别为, 数列满足。 (1) 数列是否是等差数列? 若是,证明你的结论;若不是,请说明理由. (2) 若的公差都等于2,求数列的通项公式. 证明：（1）数列是等差数列，理由如下： ∴数列是等差数列。 （2）由（1）知：数列是等差数列，令其公差为，则： 课本练习P18 新知探究 由练习题4可得等差数列的如下性质： 性质3 数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2,则数{pan+qbn}(p,q为常数)是公差为 的等差数列. pd1+qd2 推广 若数列{an}是公差为d的等差数列，c为常数，则有 ①数列{c＋an}是公差为 的等差数列； ②数列{c·an}的公差为 的等差数列； d cd 新知探究 例：已知{}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. ∴a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24。 解法一：直接求解 ∴ 法二：(利用) 设数列的公差为，则＝＋(60－15)＝8＋45， ∴ 法三：(利用隔项成等差数列) ∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为，为首项，则为第四项， 新知应用 3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n . 课本练习P18 新知应用 针对练习 解析 针对练习 解析 针对练习 解析 针对练习 解析 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． （2）由第（1）知，所以， 设等差数列的公差为， 由题得，， 两式相减得. 所以. 故选：B 1．已知在等差数列中，，， 则（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 法一：设此等差数列的首项为，公差为， 根据题意，得， 化简得：，解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 2、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40， 求这四个数. 法二：设这四个数为，则由题意得 ， 即，解得或， 所以这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 2、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40， 求这四个数. 设这四个数分别为，，，， 所以此等差数列为或． 又该数列是递增数列，所以， 所以，， 则，即 3、已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94， 首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； $$