专题12方程及方程组的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（湘教版2024）

专题12方程及方程组的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01方程与方程组解几何问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，将四个形状，大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为 ，那么大长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将两个边长为的正方形的一部分重合在一起，此时整个图形的面积为，已知重合部分是一个长为的长方形，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（23-24七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将一个大正方形和四个完全相同的小正方形按图①，②两种方式摆放，则图②中阴影部分的面积（用的代数式表示）是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（21-22七年级·江苏·假期作业）钟山植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为（x＋y）米，宽为（x﹣y）米；B园区为正方形，边长为（x＋3y）米，现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11x﹣y）米，宽减少（x﹣2y）米． (1)整改后A园区的长为　 　，宽为　 　；（用代数式表示） (2)若整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米，求x、y的值． 【变式1-3】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3) 小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 题型02方程与方程组解行程问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25七年级上·河南郑州·期中）2020年某天，为锦在家和公园之间行走，好奇的他测了一下在无风时的速度是50米/分，从家到公园用了16分钟，从原路返回用了20分钟，设风的速度是x米/分，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24七年级·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【例2-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）列方程解应用题： (1)A车和B车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行．出发后1.5小时两车相距75公里，之后再行驶2.5小时A车到达乙地，而B车还差40公里才能到达甲地．求甲地和乙地相距多少公里？ (2)某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． ①求该工厂有多少工人生产A零件？ ②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？ 【变式演练】 【变式2-1】（2023七年级·全国·专题练习）若一艘轮船沿江水顺流航行需用3小时，它沿江水逆流航行也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【变式2-3】（2022七年级上·全国·专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈. 求： (1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？ (2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？ (3)哥哥的速度是小明的多少倍？ (4)哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案） 题型03方程与方程组解分配问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【例3-2】（22-23七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 【例3-3】（21-22七年级·四川乐山·期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数． (2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【变式3-2】（21-22七年级上·广西贺州·期末）为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，某校于年月日组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动，若单独调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量增加辆，并空出个座位． (1)计划调配座的新能源客车多少辆？该校七年级共有多少名学生？ (2)若同时调配座和座两种车型共辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【变式3-3】（21-22七年级·安徽合肥·期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品? (2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件． ①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示） ②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务? 题型04方程与方程组解方案问题 【典例分析】 【例4-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（23-24七年级·云南昭通·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 【例4-3】（22-23七年级·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级·黑龙江牡丹江·期末）为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【变式4-2】（23-24七年级·浙江金华·阶段练习）塘栖枇杷是余杭的特色产品，肉质细嫩、汁多味鲜，塘栖枇杷有着非常悠久的历史，据相关文献记载，塘栖枇杷的种植距今已经有 1400多年的历史．某销售商将塘栖枇杷分成型、型两种礼盒进行销售，①型每盒，每盒售价元；②型每盒，每盒售价比型价格的2倍少50元．某位顾客买了一盒型，两盒型，一共花费340 元． (1)请问型、型售价分别是多少元？ (2)假设用这两种包装方式恰好包装完所有的枇杷．销售总收入为9820元． ①若这批塘栖枇杷全部售完，请问型、型分别有多少盒？ ②若该销售商留下盒型礼盒送人，剩余礼盒全部售出，求出的值． 【变式4-3】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 一、单选题 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 2．（24-25七年级上·北京·期中）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？设快马行x天追上慢马，则依据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·北京海淀·期末）某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花（    ）元． A包装盒 B包装盒 每盒面包个数（个） 4 6 每盒价格（元） 5 8 A．50 B．49 C．52 D．51 二、填空题 4．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 三、解答题 5．（22-23七年级·重庆巴南·阶段练习）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行．从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米． 6．（22-23七年级·湖南娄底·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．    (1)小华家离学校多远？ (2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由． 7．某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车 （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 8．（21-22七年级·河北石家庄·期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨． (1)求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费） 9．（23-24七年级·山西临汾·期中）为了丰富学生的阅读内容，拓展阅读活动，某校计划从甲、乙两家书店中购买《跟我学数学》和《数学名师讲解》）两种图书.甲、乙两家书店这两本书的标价相同.已知购买5本《跟我学数学》与购买4本《数学名师讲解》的价格相同；购买3本《跟我学数学》比购买2本《数学名师讲解》多花费10元． (1)分别求《跟我学数学》和《数学名师讲解》的单价． (2)书店推出多买多送活动，甲、乙两家书店的优惠方案如下： 甲书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《数学名师讲解》打六折． 乙书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《跟我学数学）打五折． 该校计划购买两种图书共60本，设购买《数学名师讲解》本． ①求当m为何值时，在两家书店所用的费用相同． ②当该校计划购买《数学名师讲解》28本，若只能在其中一家书店购买，请问在哪家书店购买划算？ 10．（23-24七年级·辽宁大连·期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12方程及方程组的四种应用（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01方程与方程组解几何问题 【典例分析】 【例1-1】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，将四个形状，大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为 ，那么大长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小成方形长为a宽为b，根据大长方形周长及长宽关系列方程得到a、b关系，即可求解． 【详解】解：设小成方形长为a宽为b，由题意可得， ， 解得：， 大长方形的面积是：， 故选C． 【点睛】本题考查二元一次方程组实际应用题，解题的关键是找到等量关系式． 【例1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将两个边长为的正方形的一部分重合在一起，此时整个图形的面积为，已知重合部分是一个长为的长方形，则它的宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是本题的关键， 可设它的宽为，根据整个图形的面积为列出方程求出即可． 【详解】解：设它的宽为，根据题意得∶ ， 解得：， 故它的宽为． 故选∶C． 【例1-3】（23-24七年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形都是“优美长方形”．      【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由5块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长； 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程 ， 解得 ， 正方形的边长为 ． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由8块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积； 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），其中长方形和正方形的周长相等，正方形的边长为，，求“优美长方形“的长． 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，线段的和差计算，正确理解题意，找出数量关系是解题关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据长方形周长列一元一次方程求解即可； （2）由题意可知，图2中小长方形的长和宽分别为和，根据图2得出的小长方形的长和宽关系，列二元一次方程求解即可； （3）由正方形的边长可知，再由，得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程， 解得， 正方形的边长为， 故答案为：；；； （2）解：由图1可知，， ， 设图2中小长方形的长和宽分别为和， 则，解得：， 图2中每块小长方形的面积为； （3）解：正方形的边长为， ， ， ， ， ， ． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）将一个大正方形和四个完全相同的小正方形按图①，②两种方式摆放，则图②中阴影部分的面积（用的代数式表示）是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图形，列出方程组，求出，再用分割法求出图②阴影部分的面积即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意，得： ，解得：， ∴图②中阴影部分的面积为； 故选：B． 【变式1-2】（21-22七年级·江苏·假期作业）钟山植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为（x＋y）米，宽为（x﹣y）米；B园区为正方形，边长为（x＋3y）米，现根据实际需要对A园区进行整改，长增加（11x﹣y）米，宽减少（x﹣2y）米． (1)整改后A园区的长为　 　，宽为　 　；（用代数式表示） (2)若整改后A园区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米，求x、y的值． 【答案】(1)12x米，y米 (2) 【分析】（1）根据题意列出式子进行运算即可； （2）根据等量关系：整改后A区的长比宽多350米；整改后两园区的周长之和为980米；列出方程组求出x，y的值． 【详解】（1）解：整改后A园区的长为：x+y+11x﹣y＝12x（米）， 宽为：x﹣y﹣（x﹣2y）＝y（米）， 故答案为：12x米，y米； （2）依题意有： ， 解得． 【点睛】此题考查了整式的加减，以及二元一次组的应用，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解决问题的关键． 【变式1-3】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是___________．（填序号）    (2)综合实践小组利用边长为厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．其中．    ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为__________平方厘米； ②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，如图所示，已知，求该长方体纸盒的体积； (3)小明按照图1的方式用边长为厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况） 【答案】(1)①②③ (2)①；②立方厘米 (3)厘米或厘米或厘米 【分析】（1）根据无盖长方体纸盒的面数和构成求解； （2）①根据长方形面积公式即可得解； ②如图，设，，根据题意可得，，继而得到，根据长方体的体积公式即可得解； （3）列出无盖长方形纸盒的展开图，并根据“展开图外围周长为厘米”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠， ④不能折成一个无盖长方体纸盒， ①②③才能折成一个无盖长方体纸盒， 故答案为：①②③； （2）①长方体纸盒的底面积为：（平方厘米） 故答案为：； ②如图，设，， ∵ 能折成一个无盖长方体纸盒，且， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∴（立方厘米）， ∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；    （3）设小明剪去的小正方形的边长为厘米， ①如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 该方程无解；    ②如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ③如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ④如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    ⑤如图所示， ∵无盖长方体展开图的外围周长为厘米， ∴， 解得：，    综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为厘米或厘米或厘米． 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高． 题型02方程与方程组解行程问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25七年级上·河南郑州·期中）2020年某天，为锦在家和公园之间行走，好奇的他测了一下在无风时的速度是50米/分，从家到公园用了16分钟，从原路返回用了20分钟，设风的速度是x米/分，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程，准确找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选C． 【例2-2】（23-24七年级·海南海口·期中）甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行． (1)两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？ (2)如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时 (2)小时或小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时，根据题意列出方程组求解即可； （2）设经过t小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车未相遇时，当两车相遇后，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度是x千米/小时，乙车的速度是y千米/小时， 根据题意，得 解得， 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时． （2）解：设经过t小时两车相距30千米， 根据题意，得： 当两车未相遇时，， 解得， 当两车相遇后，， 解得， 答：经过2小时或小时两车相距30千米． 【例2-3】（23-24七年级上·山东滨州·期末）列方程解应用题： (1)A车和B车从甲，乙两地同时出发，沿同一路线相向匀速而行．出发后1.5小时两车相距75公里，之后再行驶2.5小时A车到达乙地，而B车还差40公里才能到达甲地．求甲地和乙地相距多少公里？ (2)某工厂车间有60个工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元． ①求该工厂有多少工人生产A零件？ ②因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？ 【答案】(1)甲地和乙地相距240公里 (2)①该工厂有24名工人生产A零件；②应从生产B零件的工人中调出12名工人生产A零件 【分析】本题主要考查二元一次方程组和一元一次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设车的速度是公里/小时，车的速度是公里/小时，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）①设该工厂有a名工人生产零件，b名工人生产零件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； ②设应从生产零件的工人中调出名工人生产零件，拫据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设车的速度是公里/小时，车的速度是公里/小时， 根据题意得：， 解得， 答：甲地和乙地相距240公里． （2）解：①设该工厂有a名工人生产零件，b名工人生产零件， 根据题意得：，解得 答：该工厂有24名工人生产零件． ②设应从生产零件的工人中调出名工人生产零件． 拫据题意得： 解得：． 答：应从生产零件的工人中调出12名工人生产零件． 【变式演练】 【变式2-1】（2023七年级·全国·专题练习）若一艘轮船沿江水顺流航行需用3小时，它沿江水逆流航行也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得顺流航行速度为，逆流的速度为，应用速度时间路程，列出方程组，求解即可． 【详解】解：根据题意得：． 故本题选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，行程问题，找到速度时间路程的等量关系即可求解． 【变式2-2】（23-24七年级·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 【变式2-3】（2022七年级上·全国·专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈. 求： (1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？ (2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？ (3)哥哥的速度是小明的多少倍？ (4)哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案） 【答案】(1)（米）； (2)小明的速度为3米秒； (3)哥哥速度是小明速度的2倍； (4) 【分析】（1）根据总长度＝（哥哥的速度＋小明的速度）×时间，求解即可； （2）根据条件列出等量关系：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道的周长，列方程求解即可； （3）等量关系为：他们沿相反方向出发：哥哥所跑路程＋小所跑路程＝环形跑道周长；同向时：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道周长，据此列出方程组求解； （4）由（3）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为1:2，可知在时间相同时，他们所行的路程也为2:1．如果设小明跑了x，那么哥哥跑了2x圈，根据哥哥比小明多跑了20圈列式解答即可． 【详解】（1）解：（米； （2）设小明的速度为米秒， 由题意得，， 解得：， 答：小明的速度为3米秒； （3）设哥哥的速度是米秒，小明的速度是米秒.环形跑道的周长为米. 由题意得，， 整理得，， 即. 答：哥哥速度是小明速度的2倍； （4）设小明跑了圈，那么哥哥跑了圈. 根据题意，得， 解得，. 故经过了25分钟小明跑了20圈 【点睛】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 题型03方程与方程组解分配问题 【典例分析】 【例3-1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 【例3-2】（22-23七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 【答案】(1)76吨 (2)大货车8辆和小货车4辆 【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据“5辆大货车与2辆小货车一次可以运货124吨，6辆大货车与5辆小货车一次可以运货180吨”列方程组求解可得； （2）设安排m辆大货车，则小货车需要（12﹣m）辆，根据两种货车运送的蔬菜总质量208吨列方程求解可得． 【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨， 根据题意，得：， 解得：， ∴ 答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜． （2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆， 根据题意，得：， 解得：， 所以则大货车8辆和小货车4辆． 答：需要大货车8辆和小货车4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和一元一次方程求解． 【例3-3】（21-22七年级·四川乐山·期末）某工厂生产如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒，其中竖式纸盒由4个长方形和1个正方形纸板做成，横式纸盒由3个长方形和2个正方形纸板做成（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪，也不考虑接缝）． (1)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数． (2)纸板车间共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，要求纸板车间一天生产的纸板由其它车间做成竖式纸盒与横式纸盒配套，问纸板车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【答案】(1)40个，60个 (2)分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板 【分析】（1）设做成的型盒有个，型盒子有个，根据长方形纸板340张，正方形纸板160张，可得出二元一次方程组； （2）设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张，列出等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设能做成的竖式纸盒有x个，横式纸盒子有y个， 根据题意得：, 解方程得 答：设能做成的竖式纸盒有40个，横式纸盒子有60个． （2）解：设分配a个工人生产正方形纸板，则78－a个工人生产长方形纸板，所以能生产正方形纸板100a张，长方形纸板700（78－a）张． 由题意得 解方程得a＝18，则78－a＝60 答：分配18个工人生产正方形纸板，则60个工人生产长方形纸板． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出方程或方程组进行求解． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级上·四川绵阳·期末）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 【变式3-2】（21-22七年级上·广西贺州·期末）为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，某校于年月日组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动，若单独调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量增加辆，并空出个座位． (1)计划调配座的新能源客车多少辆？该校七年级共有多少名学生？ (2)若同时调配座和座两种车型共辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)计划调配座的新能源客车辆，该校七年级共有名学生 (2)调配座客车辆，调配座客车辆 【分析】(1) 设计划调配座的新能源客车辆，根据两种调配方式下该校七年级学生总数相等列一元一次方程，进一步求解即可． (2) 设调配座客车辆，根据同时调配36座和22座两种车型共8辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，列一元一次方程，进一步求解即可． 【详解】（1）设计划调配座的新能源客车辆， 根据题意，得， 解得， （名）， 答：计划调配座的新能源客车辆，该校七年级共有名学生； （2）设调配座客车辆，则调配座客车辆， 根据题意，得， 解得， 辆， 答：调配座客车辆，则调配座客车辆． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 【变式3-3】（21-22七年级·安徽合肥·期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品? (2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件． ①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示） ②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务? 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品 (2)①；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】（1）设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）①根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可； ②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得，， 整理得； ②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型04方程与方程组解方案问题 【典例分析】 【例4-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则缺25本．设这个班有学生x人，图书y本，则可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设这个班有学生x人，图书y本，根据每人分3本，则剩余20本可知图书数为本，班级人数为人；根据每人分4本，则缺25本可知图书数为本，班级人数为人，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生x人，图书y本， 由题意得，，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 【例4-2】（23-24七年级·云南昭通·期末）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”．经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵20元，买5套甲种和10套乙种共用1300元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少?（列二元一次方程组解答） (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共150套，总费用不超过12640元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的4倍．该校共有哪几种购买方案? 【答案】(1)每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元 (2)共有3种购买方案：方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”：方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”；方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝” 【分析】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式组解决实际问题，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组与一元一次不等式组的综合运用是解题的关键． （1）设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲种“文房四宝”的价格是x元，每套乙种“文房四宝”的价格是y元，根据题意得：， 解得：， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是100元，每套乙种“文房四宝”的价格是80元； （2）解：设购进m套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意可得：， 解得：， ∵m是正整数， ∴m可取30，31，32， ∴共有3种购买方案： 方案一：购进30套甲种“文房四宝”，则购进120套乙种“文房四宝”： 方案二：购进31套甲种“文房四宝”，则购进119套乙种“文房四宝”； 方案三：购进32套甲种“文房四宝”，则购进118套乙种“文房四宝”． 【例4-3】（22-23七年级·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23七年级·黑龙江牡丹江·期末）为喜迎“全国两会”胜利召开，某校开展了以“永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲活动，现计划拿出200元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的同学，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】A 【分析】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意列出二元一次方程，x，y均为正整数，得出x，y的值，进而可求解． 【详解】解：设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件， 由题意得：，即， ∵x，y均为正整数， ∴或或或或或， 综上所述，共有6种购买方案， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级·浙江金华·阶段练习）塘栖枇杷是余杭的特色产品，肉质细嫩、汁多味鲜，塘栖枇杷有着非常悠久的历史，据相关文献记载，塘栖枇杷的种植距今已经有 1400多年的历史．某销售商将塘栖枇杷分成型、型两种礼盒进行销售，①型每盒，每盒售价元；②型每盒，每盒售价比型价格的2倍少50元．某位顾客买了一盒型，两盒型，一共花费340 元． (1)请问型、型售价分别是多少元？ (2)假设用这两种包装方式恰好包装完所有的枇杷．销售总收入为9820元． ①若这批塘栖枇杷全部售完，请问型、型分别有多少盒？ ②若该销售商留下盒型礼盒送人，剩余礼盒全部售出，求出的值． 【答案】(1)型售价88元、型售价126元； (2)①型礼盒装40盒，型礼盒50盒；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用， （1）根据题意列出一元一次方程，解方程求解； （2）①设型礼盒装共包装了盒，型礼盒装共包装了盒,根据题意列出二元一次方程，解方程求解即可； ②由题意得出，，结合，，，得出m的值即可； 【详解】（1）解：由题意得型礼盒售价为元， 得， 解得：， 则元， 答：型售价88元、型售价126元； （2）①设型礼盒装共包装了盒，型礼盒装共包装了盒， 由题意得：， 解得， 答：型礼盒装40盒，型礼盒50盒； ②由①知，可得． 由题意得，， 解得：， ， ，，都是整数，且，，， ． 【变式4-3】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位 (2)共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用A型船a艘，B型船b艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位； （2）设需租用型船艘，租用型船艘， 由题意得，， ， 又均为非负整数， 或或， 共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船． 一、单选题 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 【答案】B 【分析】设人数为，图书为，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 故选：B 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 2．（24-25七年级上·北京·期中）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？设快马行x天追上慢马，则依据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设快马行x天追上慢马，则依据题意可列方程为：， 故选：A． 3．（22-23七年级上·北京海淀·期末）某同学去蛋糕店买面包，面包有A、B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：若某同学正好买了40个面包，则他最少需要花（    ）元． A包装盒 B包装盒 每盒面包个数（个） 4 6 每盒价格（元） 5 8 A．50 B．49 C．52 D．51 【答案】A 【分析】设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒，由题意：某同学正好买了40个面包，结合表中信息列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题． 【详解】解：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒， 由题意得：， 解得或或或 当，时，费用为：（元）； 当，时，费用为：（元）； 当，时，费用为：（元）； 当，时，费用为：（元）； ， 某同学正好买40个面包时，他最少需要花50元，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 二、填空题 4．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）某班全体同学参加义务植树活动，如果每人种6棵树，那么剩余15棵，如果每人种7棵树，那么还差33棵，问这个班共有人，树苗共有 棵． 【答案】303 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是找出合适的等量关系列出方程，再求解．设这个班共有x名同学，根据等量关系：如果每人种6棵树，那么剩余15棵树苗；如果每人种7棵树，那么还差33棵树苗，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班共有x名同学，依题意有 ， 解得， 棵． 故答案为：303． 三、解答题 5．（22-23七年级·重庆巴南·阶段练习）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行．从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米． 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)重庆港与新码头两地相距162千米 【分析】（1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设重庆港与新码头两地相距千米，则石宝寨、新码头两地相距千米，根据时间路程速度，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设重庆港与新码头两地相距千米，则石宝寨、新码头两地相距千米， 依题意，得：， 解得：， 答：重庆港与新码头两地相距162千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 6．（22-23七年级·湖南娄底·期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．    (1)小华家离学校多远？ (2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由． 【答案】(1)小华家离学校700米 (2)小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些 【分析】（1）设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米，根据小华从家里到学校和从学校到家里的时间列二元一次方程组，求出x与y，并求和即可； （2）先求出中点位置与学校和家里的距离，再分别求出所需时间，比较即可得解． 【详解】（1）解：设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米． 由题意得：    解得： ∴． 答：小华家离学校700米； （2）中点距离小华家和学校的距离为：(米)． 小华从家里到学校到达中点所需的时间为：(分钟)； 小华从学校到家里到达中点所需的时间为：(分钟)； ∴小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列方程组和列算式是解题的关键． 7．某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车 （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）40名 【分析】（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车， 依题意，得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划， 依题意，得：4×30+2m＝200， 解得：m＝40． 答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划． 【点睛】本题考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题，理解题意，找准数量关系列出方程组是解答关键. 8．（21-22七年级·河北石家庄·期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨． (1)求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费） 【答案】(1)这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米 (2)该食品厂买进原料吨，卖出食品吨 (3)卖出的食品每吨售价是元 【分析】（1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，根据两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里， 根据题意，得：， 解得：， 答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米． （2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨， 由题意得：， 解得：， 答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：卖出的食品每吨售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程组或方程． 9．（23-24七年级·山西临汾·期中）为了丰富学生的阅读内容，拓展阅读活动，某校计划从甲、乙两家书店中购买《跟我学数学》和《数学名师讲解》）两种图书.甲、乙两家书店这两本书的标价相同.已知购买5本《跟我学数学》与购买4本《数学名师讲解》的价格相同；购买3本《跟我学数学》比购买2本《数学名师讲解》多花费10元． (1)分别求《跟我学数学》和《数学名师讲解》的单价． (2)书店推出多买多送活动，甲、乙两家书店的优惠方案如下： 甲书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《数学名师讲解》打六折． 乙书店的优惠方案：购买18本《数学名师讲解》以上（不包括18本），《跟我学数学）打五折． 该校计划购买两种图书共60本，设购买《数学名师讲解》本． ①求当m为何值时，在两家书店所用的费用相同． ②当该校计划购买《数学名师讲解》28本，若只能在其中一家书店购买，请问在哪家书店购买划算？ 【答案】(1)《跟我学数学》的单价为每本20元，《数学名师讲解》的单价为每本25元； (2)①当m为本时，在两家书店所用的费用相同；②在乙书店购买划算． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用． （1）设《跟我学数学》的单价为每本a元，《数学名师讲解》的单价为每本b元，根据题意列方程组求解即可； （2）先列式，得：甲书店的费用，乙书店的费用，①根据费用相同，列得方程，解方程即可求解；②分别计算两家书店的费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：设《跟我学数学》的单价为每本a元，《数学名师讲解》的单价为每本b元， 依题意得， 解得， 答：《跟我学数学》的单价为每本20元，《数学名师讲解》的单价为每本25元； （2）解：甲书店的费用：， 乙书店的费用：， ①依题意得，解得， 答：当m为本时，在两家书店所用的费用相同； ②当时， 甲书店的费用：（元）， 乙书店的费用：（元）， ， 答：在乙书店购买划算． 10．（23-24七年级·辽宁大连·期末）一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)最多可以购买5台A型电脑 (2)有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台 (3)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值； （2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论； （3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑， 根据题意得：， 解得：， ，均为正整数， 的最大值为12，的最大值为5． 答：最多可以购买5台型电脑； （2）解：共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下： （元，， 可能有两种情况． ①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买3台型电脑，33台型电脑； ②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买7台型电脑，29台型电脑． 共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑； （3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于100000元， ， 即， 解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$