精品解析：2024-2025学年浙教版数学八年级上册期末复习试题1

浙教版数学八年级上期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列四个命题中，真命题有（ ） （1）两直线被第三条直线所截，内错角相等； （2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （3）一个角的余角一定小于这个角的补角； （4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 5 3. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. x y B. C. D. 4. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 对于函数，下列说法错误是（ ） A. 它的图像过点 B. 值随着值增大而增大 C. 当时， D. 它的图像不经过第二象限 7. 如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 13 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一元一次方程的解是x=2 B. 在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定 C. 从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中 D. 将一次函数y=-2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y=-2x+1 10. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ） A. ∠ADC＝∠AEB B. C. DE＝GE D. CD＝BE 二．填空题（共8小题） 11. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 12. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为______． 13. 关于的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________． 14. 如图，∠ABC＝90°，ADBC，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．若AE＝8，BC＝10，则EF的长为 _______． 15. 如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为_______． 16. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发_____小时与轿车相遇． 17. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是_____，正方形F的面积是_____，正方形G的面积是_______． 18. 如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为_______． 三．解答题（共9小题） 19. 解不等式组：． 20. 已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 21. 如图所示，在中，D是边上的一点，，，，求的度数． 22. 如图，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足为D， （1）求BC的长； （2）求AD的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线表达式，并直接写出，两点坐标． （2）求原点到直线的距离； （3）点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 24. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 25. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套，当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 26. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 27. 已知四边形中，，． （1）如图，，分别是边上的点，线段之间的关系是 ； （2）如图，，分别是边上点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； （3）如图，，分别是边延长线上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版数学八年级上期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列四个命题中，真命题有（ ） （1）两直线被第三条直线所截，内错角相等； （2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； （3）一个角的余角一定小于这个角的补角； （4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】题主要考查学生对命题与定理的理解及对常用知识点的综合运用能力．根据常用知识点对各个选项进行分析，从而判定真命题的个数． 【详解】解：（1）两直线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题； （2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题； （3）一个角的余角一定小于这个角的补角，是真命题； （4）如果两个角是对顶角，那么它们一定相等，是真命题； ∴是真命题的有个， 故选：C． 2. 已知点和关于y轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个点关于y轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可求出结果． 【详解】解：∵点和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查对称点的坐标，解题的关键是掌握关于坐标轴对称的点坐标的特点． 3. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A. x y B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可. 【详解】A、是二元一次不等式，故错误； B、是二元二次不等式，故选项错误 C、含有分式，不是一元一次不等式，故选项错误； D、是一元一次不等式， 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 4. 等腰三角形的一个角是，则它的顶角是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 分这个角为顶角和底角，结合三角形内角和定理可求得答案． 【详解】解：当角为顶角时，则顶角为， 当角为底角时，则两个底角和为，求得顶角为， 故选：D． 5. 如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积为16，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则利用点为的中点得到，再利用点为的中点得到，所以，然后利用点为的中点得到． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故选：A． 6. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 它的图像过点 B. 值随着值增大而增大 C. 当时， D. 它的图像不经过第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，函数图像过点，故此选项正确，不符合题意； B、，值随着值增大而增大，故此选项正确，不符合题意； C、当时，，解得：，故此选项错误，符合题意； D、，，函数图像不经过第二象限，故此选项正确，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再利用△BDC的周长为18即可求解． 【详解】解：∵MN垂直平分AB， ∴， ∴△BDC周长， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 8. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边长为（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据勾股定理得： 斜边长为． 故选：D 9. 下列说法正确是（ ） A. 一元一次方程的解是x=2 B. 在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较大的同学的成绩更稳定 C. 从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中 D. 将一次函数y=-2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y=-2x+1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解的概念，方差的意义，抽屉原理，一次函数图象平移的规律逐项判断． 【详解】解：一元一次方程的解是x=-2，故A错误，不符合题意； 在连续5次数学测试中，两名同学的平均成绩相同，则方差较小的同学的成绩更稳定，故B错误，不符合题意； 从5名男生，2名女生中抽取3人参加活动，至少会有1名男生被抽中，故C正确，符合题意； 将一次函数y=-2x+5的图象向上平移两个单位，则平移后的函数解析式为y=-2x+7，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，方差的应用，抽屉原理的应用，一次函数图象的平移等知识，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 10. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ） A. ∠ADC＝∠AEB B. C. DE＝GE D. CD＝BE 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，可得，有，根据角度的数量关系可证明，进而得出结果． 【详解】解：∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ 故A、D正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故B正确； ∴选项C错误 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等，等腰三角形的性质，平行的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．单选可用排除法做题． 二．填空题（共8小题） 11. 将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，一次函数的图象,正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】将直线向上平移3个单位长度后所得直线解析式为， 将代入得 解得， 故答案为：． 12. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成和两部分，这个等腰三角形各边长为______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据题意画出示意图，再分当时，当时，两种情况求出三边长，再根据构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：如图所示，在中，，是中线， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当时， 同理得：， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴腰长为，底边为， ∴这个等腰三角形各边的长为，，． 故答案为：，，． 13. 关于的不等式组有且只有3个整数解，则k的取值范围是__________． 【答案】﹣3＜k≤﹣2 【解析】 【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于k的不等式，解之即可． 【详解】解： 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜k+4， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的整数解为﹣1、0、1， 则1＜k+4≤2， 解得﹣3＜k≤﹣2， 故答案为：﹣3＜k≤﹣2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于k的不等式． 14. 如图，∠ABC＝90°，ADBC，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．若AE＝8，BC＝10，则EF的长为 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】由作图可知BE＝BC＝10，证明△AEB≌△FBC（AAS），得出BF＝AE＝8，即可得出EF的长． 【详解】解：由作图可知BE＝BC＝10， ∵CF⊥BE，∠A＝90°， ∴∠A＝∠BFC， ∵ADBC， ∴∠AEB＝∠FBC， 在△AEB和△FBC中， ， ∴△AEB≌△FBC（AAS）， ∴BF＝AE＝8， ∴EF＝BE﹣BF＝10﹣8＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15. 如图，在中，的平分线相交于点O，过点O，且，分别交于点M、N．则的周长为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】由在中，与的平分线相交于点，过点作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于．此题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点． 【详解】解：在中，、的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 同理， 的周长是：． 故答案为：18． 16. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B﹣C﹣D﹣表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发_____小时与轿车相遇． 【答案】3.9 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求得OA段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可得到货车出发几小时与轿车相遇． 【详解】解：设OA段对应的函数解析式为y＝kx， 将（5，300）代入，得：5k＝300， 解得k＝60， 即OA段对应的函数解析式为y＝60x， 设CD段对应的函数解析式为y＝ax+b， 将C（2.5，80），D(4.5，300)代入得 ， 解得， 即CD段对应的函数解析式为y＝110x﹣195， 令110x﹣195＝60x，得x＝3.9， 即货车出发3.9小时与轿车相遇， 故答案为：3.9． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 17. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是_____，正方形F的面积是_____，正方形G的面积是_______． 【答案】 ①. 8 ②. 5 ③. 13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 18. 如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为_______． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质与判定，分别延长，，过点作交于，交于，交于，然后证明、、是内角或外角的角平分线，再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：分别延长，，过点作交于，交于，交于， ，， ，即平分， ∵，， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ， ， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 20. 已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法． 21. 如图所示，在中，D是边上的一点，，，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．设，利用三角形外角的性质知，则，即可得出答案． 【详解】解：， 设， 则， ， ， ， ， ． 22. 如图，在中，∠BAC=，AB=3，AC=4，AD⊥BC，垂足为D， （1）求BC的长； （2）求AD的长． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理列式计算即可得解； （2）利用的面积列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：在中，∠BAC=，AB=3，AC=4， ∴BC=； 【小问2详解】 解：∵AD⊥BC，∠BAC=，AB=3，AC=4，BC=5， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，是基础题，难点在于（2）利用同一个三角形的面积的两种不同表示列出方程． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的表达式，并直接写出，两点坐标． （2）求原点到直线的距离； （3）点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 【答案】（1）直线的表达式为，， （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数，函数的平移，一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是求出直线的解析式． （1）先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再根据平移即可求解； （2）过点作于点，根据（1）可得，，，最后根据即可求解； （3）先求出点的坐标，将点、的坐标分别代入中，求出的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：设正比例函数的解析式为，将点代入得：， 正比例函数的解析式为， 正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线， 直线的表达式为：， 令，则；令，则， ，； 【小问2详解】 过点作于点， 由（1）知，， ，，， ， ， 原点到直线距离为； 【小问3详解】 点是直线：上的一点， ，即， 点， 当直线：经过点时，， 解得：， 当直线：经过点时， ， 解得：， ， 最小值为． 24. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 25. 某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套，当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】（1）购进种多媒体套，种多媒体套 （2）购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、 一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出利润与的函数关系式，然后根据的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值． 【小问1详解】 设种多媒体套，种多媒体套， 由题意可得：，解得 ， 答：购进种多媒体套，种多媒体套； 【小问2详解】 设利润为元, 由题意可得：， ∴随的增大而减小， ， ∴当 时，取得最大值，此时 ， 答：购进种多媒体套时，能获得最大利润，最大利润是万元． 26. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 （2）共有5种购买方案，最低费用是8440元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； 【小问2详解】 解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 27. 已知在四边形中，，． （1）如图，，分别是边上的点，线段之间的关系是 ； （2）如图，，分别是边上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； （3）如图，，分别是边延长线上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）仍然成立，理由见解析 （3）结论不成立，，证明见解析 【解析】 【分析】（）延长至，使，连接，证明得到，，进而可得，再证明得到，据此即可求解； （）延长至，使，连接，同理（）可求证； （）在上截取，连接，同理（）可求证； 本题考查了三角形全等的性质与判定，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：延长至，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小问3详解】 解：（）中的结论不成立，，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同（）中证法可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$