6.2 黄金分割（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.2　黄金分割 学习目标 1. 能说出黄金分割、黄金比、黄金分割点和黄金矩形的定义； 2. 会确定一条线段的黄金分割点； 3. 了解黄金分割在生活中的应用，能运用黄金分割解决实际问题. 2 知识回顾 什么是线段的比？ 什么是成比例线段？ 问题情境 AB AC BC 测量图中的AB、AC、BC的长，计算比值并填表(结果精确到0.01). 4 问题情境 AB AC BC 测量图中的AB、AC、BC的长，计算比值并填表(结果精确到0.01). 5 问题情境 AB与AC、BC与AB的比值都约为0.62. 6 尝试与交流 观察下图，你最喜欢这组矩形中的哪一个？ ① ② ③ ④ 尝试与交流 度量边BC、AB的长度，计算它们的比值，你发现了什么？ ① ② ③ ④ D A B C 边BC与AB的比值也约为0.62. 尝试与交流 9 例题讲解 例1 如图，点B在线段AC上，且 ．设AC＝1，求AB的长． B A C 解：设AB＝x，则BC＝AC－AB＝1－x． 即x2＋x－1＝0．　　 解这个方程，得 于是，AB的长为． x1＝，x2＝（不符合题意，舍去）． x 1-x 由 ＝ ，得 ＝x, 10 如图，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割(golden section)，点B为线段AC的黄金分割点．AB与AC(或BC与AB)的比称为黄金比．它的比值为，在计算时，通常取它的近似值0.618 ． 概念学习 B A C 11 概念学习 或ABAC，BCAB. 由定义可得：， B A C 线段AB是线段BC和线段AC的比例中项. 12 尝试与交流 1. 线段AC还有其他黄金分割点吗？若有，你能找出它吗？ B A C D 这两个黄金分割点关于中点对称. 13 尝试与交流 2. 你对多数同学选择喜欢这个矩形找到原因了吗？ D A B C 两邻边之比满足黄金比． 黄金矩形 14 新知应用 “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用. 你能举例说明黄金分割在生活中的应用吗？ 15 例题讲解 例2 在下图中，BC与AB的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感. 某建筑物的窗户为黄金矩形，已知它的一边长为3.24 m，求它的邻边的长(精确到0.01 m). D A B C 解：0.618×3.24＝2.00232≈2.00m. 3.24÷0.618＝5.2427≈5.24m. 答：它的邻边的长为2.00m或5.24m. 注意两种情况 16 例题讲解 例3 如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1.求线段CD的长. D A B C 解：∵ C、D是线段AB的两个黄金分割点，AB＝1. ∴ AD＝BC＝AB＝， ∴ CD＝AD－(AB－BC) ＝2BC－AB ＝ . 17 例题讲解 例4 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比越接近黄金比越给人一种美感，某女老师上身长约61.8 cm，下身长约93 cm，她要穿约多少厘米的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).  解：设她要穿x cm的高跟鞋. 由题意，得≈0.618， 解得x≈7. 18 新知巩固 1. 东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点. 求AB的长(精确到0. 1m). 解：∵点B是线段AC的黄金分割点， ∴ AB＝0.618AC ＝0.618×468 ＝289.224≈289.2m . 答：AB的长为289.2m. 19 新知巩固 2. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积.比较S1与S2的大小，并说明理由. A B P S1 S2 解：S1＝PA2，S2＝AB×PB. ∵ P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴ ，即PA2＝AB×PB ∴S1＝S2 . 20 3. 如图，设线段AC＝1. (1) 过点C画CD⊥AC，使CD＝AC；连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B. A C ∟ D E B (2) 在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？ 解：由题意得：CD＝，AD＝， ∵DE＝CD＝， ∴AB＝AE＝ADDE＝， ∴ . ∴点B是线段AC的黄金分割点. ∴BC＝ACAB＝1＝， 新知巩固 21 黄金分割的概念 会确定一条线段的黄金分割点 黄金分割在生活中的应用 课堂总结 当堂检测 基础过关 1．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种0.618法应用了( 　　) A．黄金分割数 B．平均数 C．众数 D．中位数 A 2．一条线段的黄金分割点有( 　　) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D. 无数个 B 23 3．已知如图，点是线段的黄金分割点（），则下列结论中正确的是( 　　) A． B． C． D． 当堂检测 基础过关 C 24 当堂检测 基础过关 4．已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是( 　　) A．如果，那么C是线段的黄金分割点 B．如果，那么C是线段的黄金分割点 C．如果，那么C是线段的黄金分割点 D．如果，那么叫做黄金比 D 25 当堂检测 基础过关 5．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，点C是AB的黄金分割点，即，若AB=4，则BC的长为 ． 26 当堂检测 基础过关 6. 如图，已知C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC. 若S1表示以BC为一边的正方形的面积，S2表示长是AB、宽是AC的矩形的面积，则S1____S2.(填“＞”“＝”或“＜”) = 27 当堂检测 基础过关 解：∵，， ∴， ∵， ∴点A是的黄金分割点． 7．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 28 当堂检测 基础过关 8．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 解：设她应该穿的高跟鞋的高度大约是， 根据题意得：，即 ， ∴， 解得： 答：她应该穿的高跟鞋的高度大约是8． 29 当堂检测 能力提升 1．已知点C把线段分成两条线段，，且，下列说法错误的是( 　　) A．若，则线段被点C黄金分割 B．若，则线段被点C黄金分割 C．若线段被点C黄金分割，则与的比叫做黄金比 D．0.618是黄金比的近似值 C 30 当堂检测 能力提升 2．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在截取，点就是线段的黄金分割点．若，则( 　　) A． B． C． D． C 31 当堂检测 能力提升 3．宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为 ．(结果保留根号) 32 当堂检测 能力提升 B A C D 4. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝　 　． 3− 33 当堂检测 能力提升 5. 已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，线段PB的长是_____________________． ， 6. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割处最自然得体，若舞台AB长为20米，试计算主持人应走到离点A__________米处?（结果精确到0.1米） 7.6或12.4 34 当堂检测 能力提升 解：（1）根据黄金分割点定义，且， 可知，此时 厘米； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和， 故或． 7．（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 35 当堂检测 能力提升 解：设海报的长应设计为， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解， ∴海报的长应设计为 ． 8．黄金分割比例是使矩形最具美感的比例，即矩形的宽与长之比为，这样的矩形被称为黄金矩形，如古希腊的帕特农神庙其立面就接近于黄金矩形，小华想设计一张版面为黄金矩形的海报，已知海报的宽为，则海报的长应设计为多少？ 36 当堂检测 能力提升 9.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD. 取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上. (1)求线段AM，DM的长； A B P C D E M F 解：∵正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点， ∴AB＝AD＝2，AP＝1. 在Rt△APD中，由勾股定理，得PD＝＝. ∵PF＝PD，∴AF＝PF－AP＝－1. ∵四边形AMEF是正方形， ∴AM＝AF＝－1， DM＝AD－AM＝2－(－1)＝3－. 37 当堂检测 能力提升 (2)求证：AM 2＝AD·DM； (3)根据(2)的结论直接写出图中的黄金分割点. 解：(2)证明：由(1)得AM 2＝(－1)2＝6－2， AD·DM＝2×(3－)＝6－2， ∴AM 2＝AD·DM. (3)点M是线段AD的黄金分割点． A B P C D E M F 38 2021 Blues 4800.0 $$