专题05 轴对称图形与等腰三角形（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题05 轴对称图形与等腰三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰 【解惑】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】解：分二种情况进行讨论：如图， ①当为等腰三角形的腰时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和；以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 作的中垂线，得到为等腰三角形，即，以为边的等腰三角形有4个， 同理：以为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据等腰三角形的定义，以点A为圆心，以为半径画弧，以点B为圆心，以为半径画弧，画线段的垂直平分线，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案． 【详解】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，这两个交点中有一个是与B重合的，应舍掉，故只有1个； 若以点B为圆心，以为半径画弧，与x轴有2个交点，故有2个； 线段的垂直平分线与x轴有1个交点； ∴符合条件的C点有：（个）， 故答案为：4． 3．在平面直角坐标系中，已知，若坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．根据题意分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【详解】解：如图所示：    分三种情况： 当时，以点为圆心，交坐标轴于点； 当时，以点为圆心，交坐标轴于点； 当时，作的垂直平分线, 交坐标原点； 综上所述：若坐标轴上取一点，使得为等腰三角形，则满足条件的情况有7个， 故答案为：7． 类型二、轴对称图形中的阴影周长与面积 【解惑】如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得，的周长，即可得出结果． 【详解】解: 连接，如图所示 平分，平分， 平分， ， 由平移得， ， ， ∴， 同理可得； 的周长， 即图中阴影部分的周长为8； 故选A 2．将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积． 设与交于D点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，根据勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积． 【详解】解：设与交于D点， 根据旋转性质得，而， ∴， 又∵， ∴， 由勾股定理得，， 即， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 3．一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米. 【答案】 【分析】本题是考查简单图形的折叠问题，动手操作一下即可看出阴影部分的周长是长方形的周长，再根据长方形周长公式求解，即可解题． 【详解】解：如图： 由折叠的特点可知，，， 阴影部分的周长是：（厘米）， 故答案为：． 类型三、手拉手模型 【解惑】（1）如图1，在和中，，，．将绕点顺时针旋转，连接、．当点落在边上且、、三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是______，的度数为______； （2）如图2，在和中，，，．将绕点逆时针旋转，连接、．当点、、在同一条直线上时，请判断线段和的关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）且，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握手拉手全等模型，是解题的关键： （1）利用证明，根据全等三角形的对应角相等，结合三角形的外角的性质，推出，即可； （2）利用证明，即可得出结果． 【详解】解：（1）在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）且，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 2．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)； (2)；；理由见解析 (3)4；4 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 3．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 【答案】(1)和，30； (2)①，证明见解析；②； (3)①，，证明见解析；② 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，正确作辅助线构造全等三角形，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定义与外角的性质，得到，，证明，得到，，进而得到，推出，即可得到答案； （2）①证明，得到，即可得到答案； ②根据全等三角形的性质，得到，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，从而得出，即可求出的度数． （3）①证明，得到，，进而推出，即可得到答案； ②过点作于点，于点，证明，得到，推出平分，从而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 图中与线段相等的线段是和，， 故答案为：和，30； （2）解：①，证明如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， （3）解：①，，证明如下： ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图，过点作于点，于点, ， ， ， 在和中， , ， ， ，， 平分， 由①可知，， ， ． 类型四、等腰三角形动点求t 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；过作于，分点P在上和点P在延长线上两种情况讨论，由三角形面积S与t之间的函数关系式； （3）过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； 当点P在上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 当点P在延长线上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 综上，； （3）解：存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． (1)点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； (2)若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； (3)分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或或8 (3)运动时间的值为2或或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、列代数式，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据点的运动速度及运动路径，进行计算即可； （2）分四种情况：当点在上，当时，此时点与点重合；当点在上，当时；当点在上，当时；当点在上，当时，此时点与点重合；分别利用等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可得到答案； （3）分四种情况：当点在上，点在上时；当点都在上时，此时重合；当点在上，点在上时；当点在点，点在上时；分别建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得： 当点在边上时，， ， 点在边上时，， ， 故答案为：，； （2）解：在中，，，，，点是的中点， ， 是以为腰的等腰三角形， 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 则， ， 当点在上，当时，如图， ，， ， 解得：； 当点在上，当时，如图， ，， ， 解得：； 当点在上，当时，此时点与点重合，如图， ， 此时， 解得：， 综上所述，是以为腰的等腰三角形，运动时间的值为0或1或或； （3）解：与全等， 斜边斜边， 当点在上，点在上时，如图， ，，， ，， ， ， 解得：； 当点都在上时，此时重合，如图， ，，， ，， ， ， 解得：； 当点在上，点在上时，如图， ，，， ，， ， ， 解得：，不符合题意； 当点在点，点在上时，如图， ，， ， ，， ， 解得：； 综上所述，运动时间的值为2或或6． 2．如图，在中，，，，M在上，且，过点A（与在同侧）作射线，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒． (1)经过______秒时，是等腰直角三角形？ (2)经过______秒时，？判断这时的与的位置关系，说明理由； (3)经过几秒时，？说明理由． 【答案】(1)6 (2)2； (3)8秒 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质即可解答； （3）根据直角三角形两个锐角互余，可证明，进一步证明，即证明，即得出答案． 【详解】（1）解：当是等腰直角三角形时，， ∴， 故答案为：6； （2）解：当时，根据全等三角形的性质得： ,， 则， ∴ 故答案为：2； ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：当时，如图，设交点为O， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴． 3．在中，，，，，是线段的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)___________(用的代数式表示)； (2)点出发 ___________秒后，； (3)当时，求的值； (4)在点运动的同时，有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿作往返运动，当点运动到终点时，点也随之停止运动，在两点运动的过程中，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质，等腰三角形的性质； （1），则，即可求解； （2）由题意得：，，，则，即可求解； （3）当时，则，则，则，即可求解； （4）当时，此时，点在上，点在上，则，即，解得：；当，时，同理可解． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：； （2）由题意得：，， ，则， 解得：舍去， 故答案为：； （3）当时，则， 则，则， 则； （4）点运动的时间为， 当时， 此时，点在上，点在上， 则，即， 解得：； 当时， 此时点在上，点在上， ，为等腰三角形， 则为等边三角形， 则，即， 解得：舍去； 当， 此时点在上，点在上， ，为等腰三角形， 则为等边三角形， 则，即， 解得：； 综上，或． 类型五、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质． （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：在和中， ， ∴， ， ∵，，且， ， 即， 解得． 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，在中，是边的垂直平分线，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，且平分． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，连接，由题意得，，，证明，进而可得． 【详解】证明：如图，连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，中，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，求的长度．    【答案】 【分析】连接，，由角平分线定理得到，，，由是的垂直平分线得到，由此证明，推出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性质定理的运用，此题辅助线的连接是解题的关键． 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 点P在的垂直平分线上， ， 是的平分线，于D，于E， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵平分，于D，于 ∴， 在和中， ， ， ， ，，且， ， 即， 解得 类型六、等腰三角形中的新定义 【解惑】定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． (1)已知与互为"友好三角形"，点和点互为“友好点”，且中有一个内角为，则________． (2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点为角平分线上一动点，点为轴上一动点，连接，，． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；（提示：由点向两坐标轴作垂线） ②在①的条件下，若点的坐标为，求点的坐标： (3)在（2）的条件下，动点、同时从点出发向左运动，当点与点重合时动点、同时停止运动．点的速度为每秒4个单位，点的速度为每秒2个单位，以为边在轴的上方作正方形，当一条边的垂直平分线成为正方形对称轴时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)①见解析；② (3)或3或2 【分析】（1）根据“友好三角形”的定义分当和时，两种情况讨论，即可求解； （2）①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，利用证明，据此求解即可； ②根据，求得，，据此求解即可； （3）满足题意的一条边的垂直平分线为，且在x轴上利用t将点Q和点R坐标表示出来，分别找到各自对称轴等量关系并求的对应t值即可． 【详解】（1）解：∵中有一个内角为，且与互为“友好三角形”，点B和点E互为“友好点”， 当时， ∴， 当时，则， ∴， 故答案为：或； （2）解：①过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点N、点F，如图， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 与互为“友好三角形”； ②∵点P的坐标为，点，， ∴，， ∴， 所以； （3）解：由题意可知，一条边的垂直平分线为，且在x轴上点Q和点R坐标表示为：和， 当成为正方形对称轴时，，解得； 当成为正方形对称轴时，此时点R与点O重合，解，解得； 当成为正方形对称轴时，，解得； 综上所述，或2或3时，一条边的垂直平分线可成为正方形对称轴． 【点睛】本题主要考查在新定义下的三角形有关知识，涉及等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及对称轴的性质，解题的关键是理解新定义，并熟练利用分类讨论思想． 【融会贯通】 1．我们定义：如图1，在四边形中，如果，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是 ；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 (2)猜想论证：如图2，当时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，，平分交于点D．求证：． 【答案】(1)③ (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 2．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 3．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”．    (1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图1，在中，，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，设，求的度数． 【答案】(1)②③ (2)详见解析 (3)或或或或 【分析】（1）根据“华益三角形”的定义进行判断即可； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）由角平分线的定义，得，，利用三角形外角定理，得，，进而得到，根据是“华益三角形”，分情况列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：①顶角是的等腰三角形的底角度数为：， 三个内角度数分别为：，，，不存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴顶角是的等腰三角形不是“华益三角形”； ②等腰直角三角形的三个内角分别为，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴等腰直角三角形是“华益三角形”； ③有一个角是的直角三角形的三个内角分别为：，，，存在一个内角是另外一个内角的2倍， ∴有一个角是的直角三角形是“华益三角形”； 综上分析可知：是“华益三角形”的有②③； （2）证明：∵， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“华益三角形”； （3）解：∵平分的内角，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ①当或时， ∴或， 解得，或； ②或时， ∴或， 解得； ③或时， ∴或， 解得或， 综上所述：或或或或． 【点睛】本题为几何变换综合题，新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 类型七、无刻度尺作图 【解惑】利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查全等图形的概念，网格线作图，角平分线的性质． （1）利用网格线的特点，取矩形各边中点，分别连接对边中点即可； （2）同理（1）取直角三角形各边中点，分别将连接直角边中与斜边中点连接，再连接直角顶点与斜边中点即可； （3）利用网格线的特点，取格点D，连接交于点P，由网格线的性质得到为的角平分线，即可解答． 【详解】（1）解：如图1所示为所求：    （2）解：如图2所示为所求：    （3）解：如图3，点P所示为所求：    【融会贯通】 1．利用无刻度直尺完成下列作图． (1)在图1中，找一个格点D，使，过C作，垂足为F； (2)在图2中，作的平分线； (3)在图3中的内画一点P，使，，的面积都相等； (4)在图4中，找格点F，使，这样的格点F共有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】（1）根据垂直的定义及格点的特征作图即可解答； （2）根据等腰三角形的性质以及格点的特征作图即可解答； （3）由题意可知点P为的重心，则作出两边的中线，中线的交点即为所求； （4）根据全等三角形的性质以及格点的特征作图，然后统计点的个数即可． 【详解】（1）解：如图：点D，点F即为所求． （2）解：如图：射线即为所求． （3）解：如图：点P即为所求． （4）解：如图可知：，这样的格点F共有3个． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了格点作图、垂直的定义、等腰三角形的性质、重心的性质、全等三角形的性质等知识点，理解相关性质成为解题的关键． 2．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】此题考查了复杂作图，网格的特点，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用网格的特点． （1）根据网格的特点和全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画图即可； （3）取格点G，连接，交的延长线于点E，连接即为所求； （4）取格点H，I，K，连接，，，和交于点L，连接交于点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线m即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 由网格得，， ∴，即是的高； （4）解：如图所示，点F即为所求； 由网格得，是等腰直角三角形， 由网格得，点L是的中点 ∴ ∴ ∴． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，画中线和高； (2)在图2中，在边上画一点，使； (3)在图3中，是上一点，画中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，高，等腰直角三角形的性质； （1）根据网格找到的中点，连接，根据网格找到边上的高线，确定点，根据等角的余角相等，进而作出高线，即可求解． （2）作等腰直角三角形，交点即为所求， （3）根据三角形的三条中线交于一点，先作边上的中线，交于点，连接并延长，交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求 类型八、坐标系中的等腰三角形 【解惑】如图，已知在平面直角坐标系中xOy中，点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合． (1)求点B的坐标； (2)将点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，点C恰好在直线x＝b上，点D在直线x＝b上，当△BCD是等腰三角形时，求点D的坐标． 【答案】(1)B的坐标（-2，4） (2)D的坐标（1，7）或（1，1） 【分析】（1）向右平移m（m＞0）个单位，横坐标加m，向上平移n（n＞0）个单位，纵坐标加n，根据点B（2n-10，m+2），列出二元一次方程组，得到m、n的值，即可得到点B的坐标； （2）先求出点C的坐标和直线x＝b中b的值，设点D（1，x），根据，列出方程，求解即可得到D的坐标． 【详解】（1）解：∵点A（-4，0），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合， ∴点B（-4+m，0+n）， 又∵点B（2n-10，m+2）， ∴，解得， ∴点B（-2，4）． （2）解：∵点B（-2，4），点B向右平移3个单位后得到的点记为点C， ∴点C（1，4）， ∵点C恰好在直线x＝b上， ∴b＝1，直线x＝1， ∵点D在直线x＝1上， ∴， 设点D（1，x）， ∵△BCD是等腰三角形， ∴， ∴，解得或， ∴D的坐标（1，7）或（1，1）． 【点睛】本题考查点的平移引起的点的坐标变化规律．点左右平移只影响横坐标的变化，点上下平移只影响纵坐标的变化．具体如下：设一个点的坐标为（m，n），①若把这个点向左平移k（k>0）个单位后，坐标变为（m-k，n）；若把这个点向右平移k个单位后，坐标则变为（m+k，n）．②若把这个点向上平移k（k>0）个单位后,坐标变为（m，n+k）；若把这个点向下平移k个单位后,坐标则变为（m，n- k）． 【融会贯通】 1．已知在长方形中，，，为上一点，，如图所示，以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，为线段上的一点． （1）若点，如图①，以为一边作等腰，使点在长方形的一边上．请直接写出所有符合条件的点的坐标； （2）若将（1）中的点的坐标改为，其它条件不变，如图②，求出所有符合条件的点的坐标． （3）若将（1）中的点的坐标改为，其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个（不必求出点的坐标）． 【答案】（1）点的坐标为．（2），，，．（3）若，则符合条件的等腰三角形有7个． 【分析】（1）因为使点P在长方形ABCD的一边上，△OMP是等腰三角形，点M的坐标是，所以点P是线段OM的垂直平分线于AD的交点，即可得解； （2）分，，，进行讨论即可； （3）根据条件作图求解即可； 【详解】（1）符合条件的等腰只有1个；点的坐标为． （2）符合条件的等腰有4个． 如图②，在中，， 在中，，， ； 在中，，； 在中，，点在的垂直平分线上， ，； 在中，，． （3）若，则符合条件的等腰三角形有7个． 点的位置如图③所示． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 2．【复习旧知】 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而│4－1│＝3；表示－3和2两点之间的距离是5：而│－3－2│＝5；表示－4和－7两点之间的距离是3，而│－4－(－7)│＝3． 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为│m－n│． （1）数轴上表示数－5的点与表示－2的点之间的距离为________； 【探索新知】 如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．    下面：以求DE为例来说明如何解决． 从坐标系中发现：D（－7，5），E(4，－3)．所以DF＝│5－(－3）│＝8，EP＝│4－(－7）│＝11，所以由勾股定理可得：DE＝． （2）在图②中：设A（x1，y1），B(x2，y2)，试用x1，y1，x2，y2表示： AC＝____________，BC＝____________，AB＝____________． 得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”． 【学以致用】 请用此公式解决如下题目： （3）已知：A(2，1），B(4，3)，C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标． 【答案】（1）3；（2）y1-y2；x1-x2；（3）（5，0）或（0，5）. 【分析】（1）利用数轴上表示两点之间的距离公式即可求出； （2）先求出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB. （3）由△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在坐标轴上，可知点C在AB中垂线上，作出中垂线不难发现此时点C有两种情况，①若点C在x轴上，利用平面直角坐标系中两点间距离公式和等腰三角形的腰相等列方程即可；②若点C在y轴上，求法同①. 【详解】解：（1）由数轴上表示两点之间的距离公式可知：表示数－5的点与表示－2的点之间的距离为：│－5－(－2）│=3； （2）由图②可知AC=y1-y2，BC= x1-x2，由勾股定理得：AB=； （3）如下图所示， ∵△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在坐标轴上 ∴点C在AB中垂线上，作出中垂线不难发现此时点C有两种情况， 若点C在x轴上，可设点C坐标为（xc，0）利用平面直角坐标系中两点间距离公式， ∴AC=   BC= ∴= 解得xc=5. 故C点坐标为（5，0）. 若点C在y轴上，可设点C坐标为（0，yc）利用平面直角坐标系中两点间距离公式， AC= BC= ∴= 解得yc=5， 故点C的坐标为（0，5）. 综上所述点C的坐标为（5，0）或（0，5）. 【点睛】此题考查的是数轴和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式推导及公式的应用. 3． 平面直角坐标系中， 直线与x轴、y轴分别交于点 B、A． (1)点C与点A关于x轴对称，求直线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1， 直线与直线交于D点，点 E为x轴上一点， 当是以点 E为顶点的等腰三角形时，求E点坐标； (3)在（1）的条件下，如图2，点P在点A下方的y轴上一点， 直线与直线交于点 M，求M点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标是，点B的坐标是，根据点C与点A关于x轴对称得到点C的坐标为，利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）求出D点的坐标是，设点E的坐标为，求出，分四种情况进行求解即可； （3）当点P在点A的下方，由得到，过点B作交直线于点N，过点N作于点Q，过点E作于点H，证明，进一步求出，求出直线的解析式为，联立直线解析式求出交点M的坐标即可 ． 【详解】（1）解：当时，，当时，，解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∵点C与点A关于x轴对称， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， （2）由题意可得，，解得 ∴D点的坐标是， 设点E的坐标为，则 当点E在的位置时， ， 即，解得， 即点的坐标是， 当点E在的位置时， ，即 即， ∴ 解得（不合题意，舍去）或 ∴点的坐标是， 当点E在的位置时， ， 即， 解得 ∴点的坐标是， 当点E在的位置时， ，即 即， 解得 ∴点的坐标是， 综上可知，点E的坐标是 或或或 （3）如图，当点P在点A的下方， 过点B作交直线于点N，过点N作于点Q，过点E作于点H， 为等腰直角三角形 ， 又 ，， 设直线的解析式为 由 解得： 直线的解析式为， 联立直线和解析式得到 解得： 即 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，考查了轴对称的性质、函数图象与坐标的交点、待定系数法、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由直角三角形两锐角互余可得，进而由三角形的高得到，利用所对的直角边等于斜边的一半即可得和，掌握直接三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作于，于，则，可证，，则，，则，然后求即可． 【详解】解：如图，作于，于， ∵是的平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    【答案】5 【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，过作于，根据角平分线性质求出根据三角形的面积公式得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：过作于,    ∵是的角平分线， ， 的面积是，， ， ， 解得， 故答案为：． 4．如图，在四边形中，与相交于点，平分，过点作于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，正确的添加辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于点，证明，可得，证明，可得，根据即可求得． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ， ，平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 【答案】（1）见详解，（2），理由见解析；（3）2 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接，如图， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图， 同理可证：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ，，， ， ， 故的长度为2． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6．综合与实践 【问题情境】 三角尺是我们生活中常用的工具，一副三角尺由如图1所示两块三角尺构成，内角分别为，，和，，．八年级数学兴趣小组开展了关于三角尺的项目化学习活动．下面是他们的探究过程，请你仔细阅读，共同解决相关问题! 【初步探究】 （1）将两个三角尺如图2（左图）重叠摆放，点D为含角的三角尺斜边的中点，小组同学将其绘制成如图2（右图）所示的图形．若含角的三角尺的直角边长为，那么两个三角尺重叠部分的面积等于 ； 【深入探究】 （2）该小组同学继续探究，将两个三角尺如图3（左图）重叠摆放，若点D仍为含角的三角尺斜边的中点，其直角边的长还等于，图3（右图）是此时的示意图，请计算两个三角尺重叠部分的面积； 【拓展延伸】 （3）如图4，是等腰直角三角形，D是斜边的中点．是直角三角形，，边恰好经过点A，连接．若，请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】（1）16；（2）；（3） 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，理解等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用等腰直角三角形的性质可得，，点三点共线，可得，根据三角形的面积计算公式即可求解； （2）如图所示，连接，可证，得到，由重叠部分的面积为，即可求解； （3）如图所示，连接，设交于点，交于点，可得，，由（2）的证明可得，，则有，所以有即，证明，得到，由，即可求解． 【详解】解：（1）点D为含角的三角尺斜边的中点，含角的三角尺的直角边长为， ∴， ∴，， ∵，点三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分， 故答案为：； （2）如图所示，连接， ∵点D仍为含角的三角尺斜边的中点，直角边的长还等于， ∴，， ∴， 由上述证明可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为， ∴， ∴； （3）如图所示，连接，设交于点，交于点， ∵是等腰直角三角形，D是斜边的中点 ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）的证明可得，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”． (1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是的直角三角形． (2)如图1，在中，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，且，设，求出的度数． 【答案】(1)②③； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）利用“华益三角形”的定义依次判断可求解； （2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论； （3）由角平分线的定义，得，，利用三角形外角定理，得，，进而得到，根据列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：若顶角是的等腰三角形， 两个底角分别为，， 顶角是的等腰三角形不是“华益三角形”， 若等腰直角三角形， 三个角分别为，，， ， 等腰直角三角形是“华益三角形”， 若有一个是的直角三角形， 另两个角分别为，， ， 有一个的直角三角形是“华益三角形”， 故答案为：②③； （2）证明：， ， 作关于边所在的直线对称图形， ，，， ， ， ， ， ， 是“华益三角形”； （3）解：平分的内角，平分的外角， ，， ， ， 即， 又，则， ，， ，即， ， ， ， 解得． 【点睛】本题为几何变换综合题，新定义题型，主要考查了角平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 8．如图，在中，，． (1)如图1，若，则的面积为______． (2)如图2，是腰上的一个定点，，分别是直线，上的动点，当的周长最小时，求的度数． (3)如图3，为边上的一个动点，将沿翻折至，连接．且为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)16 (2)； (3)的度数为或． 【分析】（1）作并交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式即可求解； （2）分别作点P关于直线的对称点，连接分别交直线于点M、N，此时，的周长最小，根据对称的性质计算即可求解； （3）连接，由折叠的性质知，，设，则，，，分①当；②当；③当时，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：作并交的延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：分别作点P关于直线的对称点，如图，     连接分别交直线于点M、N，并连接， 由对称知，，，，， 此时，的周长最小， ∵，， ∴， 由对称知，，，， ，， ∴ ， ∴； （3）解：连接，由折叠的性质知，，    设，则，，， ①当时，则， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当时，则，即， 此情况不存在； ③当时，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称图形与等腰三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、两圆一线画等腰 【解惑】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【融会贯通】 1．已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，在x轴上取一点C使为等腰三角形，符合条件的C点有 个． 3．在平面直角坐标系中，已知，若坐标轴上取一点，使得是等腰三角形，则满足条件的有 个． 类型二、轴对称图形中的阴影周长与面积 【解惑】如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【融会贯通】 1．如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．10.5 2．将直角边长为的等腰直角三角形绕点A逆时针旋转后得到，则图中阴影部分的面积是 ． 3．一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米. 类型三、手拉手模型 【解惑】（1）如图1，在和中，，，．将绕点顺时针旋转，连接、．当点落在边上且、、三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是______，的度数为______； （2）如图2，在和中，，，．将绕点逆时针旋转，连接、．当点、、在同一条直线上时，请判断线段和的关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 2．【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 3．综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组成员称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． (1)如图1，在和中，，点D在边上，连接、，且B、D、E三点共线，则图中与线段相等的线段是______，______； (2)如图2，在和中，，连接、相交于点O． ①找出图中与相等的线段，并证明； ②求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，在和中，，连接、交于点F． ①探究线段与之间的关系，并证明； ②如图4，连接，连接并延长交于点G，求的度数． 类型四、等腰三角形动点求t 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，．点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以2单位/秒和3单位/秒的速度同时开始运动，运动时间为秒；在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止． (1)点在边上时，_____；点在边上时，_____；（用含的代数式表示）； (2)若点是的中点，是以为腰的等腰三角形，求运动时间的值； (3)分别过和作于点，于点，当与全等时，求运动时间的值． 2．如图，在中，，，，M在上，且，过点A（与在同侧）作射线，若动点P从点A出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒． (1)经过______秒时，是等腰直角三角形？ (2)经过______秒时，？判断这时的与的位置关系，说明理由； (3)经过几秒时，？说明理由． 3．在中，，，，，是线段的中点，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)___________(用的代数式表示)； (2)点出发 ___________秒后，； (3)当时，求的值； (4)在点运动的同时，有一动点以每秒个单位长度的速度从点出发沿作往返运动，当点运动到终点时，点也随之停止运动，在两点运动的过程中，若为等腰三角形，直接写出的值． 类型五、角平分线与垂直平分线结合 【解惑】如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E，连接，． (1)求证：； (2)若，，直接写出的长为______． 【融会贯通】 1．如图，在中，是边的垂直平分线，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N，且平分． 求证：． 2．如图，中，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，求的长度．    3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于 (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型六、等腰三角形中的新定义 【解惑】定义：若两个等腰三角形的顶角之和等于，则称这两个等腰三角形互为“友好三角形”，这两个角的顶点互为“友好点”． (1)已知与互为"友好三角形"，点和点互为“友好点”，且中有一个内角为，则________． (2)已知，在平面直角坐标系中，点，，点为角平分线上一动点，点为轴上一动点，连接，，． ①如图1，，求证：与互为“友好三角形”；（提示：由点向两坐标轴作垂线） ②在①的条件下，若点的坐标为，求点的坐标： (3)在（2）的条件下，动点、同时从点出发向左运动，当点与点重合时动点、同时停止运动．点的速度为每秒4个单位，点的速度为每秒2个单位，以为边在轴的上方作正方形，当一条边的垂直平分线成为正方形对称轴时，直接写出的值． 【融会贯通】 1．我们定义：如图1，在四边形中，如果，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是 ；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 (2)猜想论证：如图2，当时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，，平分交于点D．求证：． 2．定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 3．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”．    (1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形； ②等腰直角三角形； ③有一个角是的直角三角形． (2)如图1，在中，，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，设，求的度数． 类型七、无刻度尺作图 【解惑】利用无刻度的直尺画图：    (1)将图1中的长方形分割成4个全等图形； (2)将图2中的直角三角形分割成4个全等三角形； (3)在图3的斜边上找一点P，使得P到的距离相等． 【融会贯通】 1．利用无刻度直尺完成下列作图． (1)在图1中，找一个格点D，使，过C作，垂足为F； (2)在图2中，作的平分线； (3)在图3中的内画一点P，使，，的面积都相等； (4)在图4中，找格点F，使，这样的格点F共有__________个． 2．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，画中线和高； (2)在图2中，在边上画一点，使； (3)在图3中，是上一点，画中点． 类型八、坐标系中的等腰三角形 【解惑】如图，已知在平面直角坐标系中xOy中，点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合． (1)求点B的坐标； (2)将点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，点C恰好在直线x＝b上，点D在直线x＝b上，当△BCD是等腰三角形时，求点D的坐标． 【融会贯通】 1．已知在长方形中，，，为上一点，，如图所示，以所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，为线段上的一点． （1）若点，如图①，以为一边作等腰，使点在长方形的一边上．请直接写出所有符合条件的点的坐标； （2）若将（1）中的点的坐标改为，其它条件不变，如图②，求出所有符合条件的点的坐标． （3）若将（1）中的点的坐标改为，其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个（不必求出点的坐标）． 2．【复习旧知】 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而│4－1│＝3；表示－3和2两点之间的距离是5：而│－3－2│＝5；表示－4和－7两点之间的距离是3，而│－4－(－7)│＝3． 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为│m－n│． （1）数轴上表示数－5的点与表示－2的点之间的距离为________； 【探索新知】 如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．    下面：以求DE为例来说明如何解决． 从坐标系中发现：D（－7，5），E(4，－3)．所以DF＝│5－(－3）│＝8，EP＝│4－(－7）│＝11，所以由勾股定理可得：DE＝． （2）在图②中：设A（x1，y1），B(x2，y2)，试用x1，y1，x2，y2表示： AC＝____________，BC＝____________，AB＝____________． 得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”． 【学以致用】 请用此公式解决如下题目： （3）已知：A(2，1），B(4，3)，C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标． 3． 平面直角坐标系中， 直线与x轴、y轴分别交于点 B、A． (1)点C与点A关于x轴对称，求直线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1， 直线与直线交于D点，点 E为x轴上一点， 当是以点 E为顶点的等腰三角形时，求E点坐标； (3)在（1）的条件下，如图2，点P在点A下方的y轴上一点， 直线与直线交于点 M，求M点的坐标． 【一览众山小】 1．如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．    4．如图，在四边形中，与相交于点，平分，过点作于点．若，则 ． 5．【数学思考】（1）如图1，是的中线，过点作的平行线，交的延长线于点，求证：； 【深入探究】（2）如图2，是的角平分线，点在边上，，过点作交于点，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，平分交边于点，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，求的长度． 6．综合与实践 【问题情境】 三角尺是我们生活中常用的工具，一副三角尺由如图1所示两块三角尺构成，内角分别为，，和，，．八年级数学兴趣小组开展了关于三角尺的项目化学习活动．下面是他们的探究过程，请你仔细阅读，共同解决相关问题! 【初步探究】 （1）将两个三角尺如图2（左图）重叠摆放，点D为含角的三角尺斜边的中点，小组同学将其绘制成如图2（右图）所示的图形．若含角的三角尺的直角边长为，那么两个三角尺重叠部分的面积等于 ； 【深入探究】 （2）该小组同学继续探究，将两个三角尺如图3（左图）重叠摆放，若点D仍为含角的三角尺斜边的中点，其直角边的长还等于，图3（右图）是此时的示意图，请计算两个三角尺重叠部分的面积； 【拓展延伸】 （3）如图4，是等腰直角三角形，D是斜边的中点．是直角三角形，，边恰好经过点A，连接．若，请直接写出线段之间的数量关系： ． 7．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“华益三角形”． (1)下列三角形一定是“华益三角形”的有________． ①顶角是的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一个角是的直角三角形． (2)如图1，在中，，以边所在的直线为对称轴作的对称图形，延长到点E，使，求证：是“华益三角形”； (3)如图2，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是“华益三角形”，且，设，求出的度数． 8．如图，在中，，． (1)如图1，若，则的面积为______． (2)如图2，是腰上的一个定点，，分别是直线，上的动点，当的周长最小时，求的度数． (3)如图3，为边上的一个动点，将沿翻折至，连接．且为等腰三角形时，求的度数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$