专题05 轴对称图形与等腰三角形（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题05 轴对称图形与等腰三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形 【解惑】下列的垃圾分类标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有 个． 3．若要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，则图中的设计符合要求的是 （填序号）． 类型二、成轴对称的两个图形 【解惑】如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 3．如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 类型三、线段垂直平分线的性质 【解惑】如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【融会贯通】 1．如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（   ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长为 ． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 类型四、角平分线的性质 【解惑】在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【融会贯通】 1．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 3．如图，在中，平分，，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 类型五、等边对等角 【解惑】如图，，则等于（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角的度数为 ； 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长是7cm，求的长； (2)若，，求的度数． 类型六、三线合一 【解惑】木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【融会贯通】 1．如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，在三角形中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则的周长等于 ． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型七、等边三角形的性质 【解惑】如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是等边三角形，点 是边的中点，过点 作于点，延长 交 的反向延长线于点．若，则 的长为 ． 3．已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 类型八、尺规作图垂直平分线与角平分线 【解惑】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是6.5，求的长． 【融会贯通】 1．如图，已知． (1)求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 2．已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 3．数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 【一览众山小】 1．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 2．下列标点符号中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为 ． 4．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 5．如图，在正方形网格上有一个，、、均为小正方形的顶点． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 6．用尺规作图法作的角平分线．（注意要求：不写作法，但是必须保留直尺和圆规的作图痕迹和所求作的结论） 已知：，求作：的角平分线． 7．在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 8．点O，E分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称图形与等腰三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称图形 【解惑】下列的垃圾分类标志中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找到对称轴是解题的关键． 轴对称图形“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”，由此即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A ． 【融会贯通】 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线，图形沿此直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、C中均能找到一条直线，图形沿此直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意，D选项不能找到一条直线，图形沿此直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 2．下列图形中：线段；角；长方形；梯形；平行四边形；圆；等边三角形．其中，一定是轴对称图形有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：线段，角，长方形和圆一定是轴对称图形，平行四边形和梯形不一定是轴对称图形， ∴轴对称图形有4个， 故答案为：4． 3．若要在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求花坛图案为轴对称图形，则图中的设计符合要求的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了轴对称图形，能找准对称轴，是本题的关键．根据轴对称图形的概念即可求解．在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形； 【详解】①是轴对称图形，符合题意； ②是轴对称图形，符合题意； ③是轴对称图形，符合题意； ④是轴对称图形，符合题意； 故答案为：①②③④． 类型二、成轴对称的两个图形 【解惑】如图所示的4组图形中，成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称可得答案． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得D答案中图形成轴对称，其他选项不成轴对称， 故选：D． 【融会贯通】 1．下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与3，7成轴对称． 故答案为：3，7 3．如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出 个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 类型三、线段垂直平分线的性质 【解惑】如图，在中，的垂直平分线分别交于E，D两点，的周长为9，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用的周长为9和等线段代换得到，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即, ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，有A，B，C三个村庄，现打算修建一个基站P，使得该基站到三个村庄A，B，C的距离相等，则点P应设计在（   ） A．三个角的平分线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 由该基站的设计要求及线段垂直平分线的性质即可直接得出答案． 【详解】解：该基站到三个村庄A，B，C的距离相等， 点P应设计在三条边的垂直平分线的交点处， 故选：． 2．如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； （1）根据线段垂直平分线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ． 类型四、角平分线的性质 【解惑】在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 【融会贯通】 1．如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，的面积为， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，    由作图痕迹知平分，，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：2． 3．如图，在中，平分，，于点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质， （1）根据角平分线的性质得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，则，再证明，根据全等三角形的性质列式求解即可； 熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 设， 则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 类型五、等边对等角 【解惑】如图，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形内角和定理的运用，平角的定义的运用，解答时证明三角形全等是关键．由条件可以得出，就可以得出 ，就可以得出，根据三角形外角的性质得出，即可得出，从而可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，是等腰底边上的中线，点在上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质的运用，掌握等腰三角形的判定及性质，是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，，由是中线可得，，，则是的垂直平分线，由此可得，，由，可得，根据即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴，， ∵是上的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 2．已知等腰三角形的一个内角是，则这个等腰三角形的底角的度数为 ； 【答案】/40度 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】解：①当这个角是顶角时，底角； ②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为． 3．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)已知的周长是7cm，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用． （1）利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，然后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 类型六、三线合一 【解惑】木工师傅将一个等腰直角三角尺如图放置（斜边与水平面平行，直角顶点在横梁上），直角顶点处用线系着一个铅锤，若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平，能解释这一现象的数学知识是（   ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：因为若铅锤线恰好经过斜边中点则可以判断横梁水平， 所以能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在等腰三角形中，，，为边的中点．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， 为边的中点， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在三角形中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 由，平分，可得，由点C在的垂直平分线上，可得，由题意知，，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点E，F，过点A作于点D，且D为线段的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型七、等边三角形的性质 【解惑】如图，是等边三角形的中线，点E在上，，则等于（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解，求解的度数是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的中线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图：等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质，三角形的外角性质．先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ， ， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是等边三角形，点 是边的中点，过点 作于点，延长 交 的反向延长线于点．若，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质及应用，含30度角的直角三角形的性质；由是等边三角形，点E是的中点，得，，根据，得，得到，在中，求得，在中，可得，进而求得，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，，即， ∴， 在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 3．已知：在等边三角形中，点为边上一点，为延长线上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点，若点为中点，且，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）如图所示，过点作，可得是等边三角形，，，，证明，即可求解； （2）如图所示，过点作，由（1）的证明可得，是等边三角形，，由等边三角形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得，，，则有，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作， 由（1）的证明可得，是等边三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． 类型八、尺规作图垂直平分线与角平分线 【解惑】如图，在中，． (1)作的垂直平分线，交于点M，交于点N；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若的周长是6.5，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作法作图：分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧，相交于两点，过这两点做直线，即为的垂直平分线； （2）利用线段垂直平分线的性质得，然后根据三角形的周长公式即可解答； 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵， ∴． 答：的长为． 【融会贯通】 1．如图，已知． (1)求作边的垂直平分线，交于点D，交于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质． （1）利用基本作图作出的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：垂直平分， ，， ∴ 的周长为， 即， ， 即， ， 的周长为． 2．已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是： （1）根据题意，作出的平分线和线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得出，根据线段垂直平分线的性质可得出，根据证明，即可得出结论． 【详解】（1）解∶如图，点D即为所求， （2）证明：连接，， 由作图知：平分，点D在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．数学实验能增加学习数学的兴趣，也是提高动手能力和发展创新意识的手段之一．八年级1班同学在运用数学实验研究角平分线时提出了如下问题，请你解答． (1)“行知”小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如下图： 其中射线为的平分线的共有______ A．1个        B．2个        C．3个        D．4个 (2)如图1，“善思”小组尝试制作可以用来平分角的仪器，其中，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在角的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明理由． (3)如图2，“智慧”小组尝试制作可以用来三等分角的仪器，仪器是一个直角角尺，图中的点A，B，C在一条直线上，且． 小组同学给出仪器三等分的步骤： 第一步，将仪器如图3放置，使落到的边所在的直线上，画出此时所在直线； 第二步，将仪器如图4放置，使所在直线过的顶点O，且点A，C分别落在直线，射线上； 第三步，在图4中分别作射线，射线，得到图5． 下面是小组同学展示的部分推理过程： 如图5，过点A作，垂足为D，连接．由仪器特征和操作过程可知，且．∴（▲）． …… ①“▲”处的推理依据是 ； ②补全推理过程． 【答案】(1)D (2)见解析 (3)①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；②见解析 【分析】（1）根据作图痕迹，逐一进行判断即可； （2）根据，，结合即可得到即可得到证明； （3）①根据角平分线的判定方法解答即可； ②根据证明得，进而可证线和射线将三等分． 【详解】（1）解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． （2）理由如下：在和中，， ∴   ∴． ∴沿画一条射线，则就是的平分线． （3）①角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； ②∵点A，B，C在一条直线上，， ∴， ∴． ∵所在直线过的顶点O， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵点C在上， ∴． ∴． ∴射线和射线将三等分． 【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线作图，平行线作图，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【一览众山小】 1．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，确定对称轴直线是解题的关键． 轴对称图形，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，该图形的对称轴是直线， 故选：D ． 2．下列标点符号中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，一个平面图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 3．如图，在中，，，的垂直平分线与相交于点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵的垂直平分线与相交于点， ∴， ∴的周长（） 故答案为：． 4．若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形三条边相等得到，据此可求三角形的周长． 【详解】解：等边三角形的边长是， ， 的周长是， 故答案为：． 5．如图，在正方形网格上有一个，、、均为小正方形的顶点． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了轴对称作图，利用网格求解三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别标出、、关于的对称点、、，然后依次连接得到； （2）借助网格，可知知道以为底时，高为2，从而计算出答案． 【详解】（1）解：分别标出、、关于的对称点、、，然后依次连接得到，如下图为所求： （2）解：的面积为： 故答案为：3 6．用尺规作图法作的角平分线．（注意要求：不写作法，但是必须保留直尺和圆规的作图痕迹和所求作的结论） 已知：，求作：的角平分线． 【答案】 【分析】本题考查了作角平分线，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交于点，再以为圆心，任意长为半径画弧即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 7．在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，则与的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 8．点O，E分别是长方形纸片边上的点，沿翻折，点A落在点处，点B落在点处． (1)如图1，当点恰好落在线段上时，求的度数； (2)如图2，当点落在的内部时，若，，求的度数； (3)当点，落在的内部时，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题考查长方形的性质、翻折不变性，平角的定义，几何中角度的计算等知识，解题的关键是灵活应用翻折不变性解决问题． （1）由折叠的性质，得到，根据，即可求解； （2）由折叠的性质，得到，，根据，，根据即可求解； （3）由折叠的性质，得到，分当点在内部时，当点在外部时，两种情况得出结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得到， ， ， ； （2）解：由折叠的性质，得到， ，， ，， ； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质，得到． ①如图2，当点在内部时， ∵， ∴； ②如图3，当点在外部时， ∵， ∴． 综上，的度数为或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$