2025年中考数学一轮复习教材考点整合课件：反比例函数

　反比例函数 教材考点梳理 考点1　反比例函数的概念 一般地，形如y＝______(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．图象的形状是双曲线，且关于________对称，也可变形为____________或_________． 注意　反比例函数的定义有两个要求： ①反比例系数k≠0；②x的次数是－1且x≠0. 原点 y＝kx-1 xy＝k 考点2　反比例函数y＝(k≠0)的图象及性质 k的符号 k>0 k<0 图象(双曲线) 象限分布 在第一、三象限 在第二、四象限 取值范围 自变量的取值范围：x≠0； 函数值的取值范围：y≠0 k的符号 k>0 k<0 增减性 在每个象限内，y随x的增大而________ 在每个象限内，y随x的增大而________ 渐近趋势 曲线无限地接近x轴、y轴，但永远不与坐标轴________ 对称性 既是轴对称图形，对称轴是直线y＝±x(有两条)，又是中心对称图形，对称中心是坐标________ 减小 增大 相交 原点 注意　因为自变量x的取值范围是x≠0，所以反比例函数的图象不是连续的，而是被坐标轴分成了两支(双曲线)，所以反比例函数的性质必须分开说明，只能在同一象限内才能讨论增减性． 考点3　反比例函数解析式的求法 1．求反比例函数解析式的方法 求反比例函数解析式常用待定系数法，其一般步骤为： (1)设函数解析式为_________(k≠0)． (2)找出满足函数解析式的点P(a，b)． (3)将点P的坐标代入解析式，得k＝ab. (4)把k代入所设解析式，确定解析式． y＝ 2．用待定系数求反比例函数的类型 直接代点型 找出符合函数解析式的一个已知点，代入求出系数k即可. 交点型 通过已知函数解析式确定交点坐标，再将交点代入反比例函数解析式． 由图形的性 质求点型 利用图形的性质，如平行四边形、菱形、三角形等知识求出对应点的横、纵坐标，再代入解析式． 考点4　反比例函数y＝中k的几何意义 (1)如图，设P(x，y)是反比例函数y＝的图象上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A，B，则|k|＝_________＝S矩形OBPA，这就是k的几何意义． |x|·|y| (2)常见的三种面积类型 类型 图形面积 S矩形ONPM＝PN·PM＝|x|·|y|＝|xy|＝|k| S△OPA＝OA·PA＝×|x|×|y|＝ 方法技巧　①因为反比例函数y＝(k≠0)中的k有正负之分，所以用k表示矩形或三角形的面积时要给k加上绝对值符号．②反比例函数与几何图形结合，若图形为不规则图形，可将其割补，求面积之和(或差)． 类型 图形面积 S△APP′＝PA·P′A＝×2|y|×2|x|＝2|xy|＝2|k| 考点5　反比例函数与一次函数的综合应用 1．求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标 步骤 具体操作 联立解析式 联立一次函数与反比例函数的解析式，得到一个二元方程组 代入消元 用代入法消元，得到一个分式方程 化为一元二 次方程 把分式方程转化成一元二次方程(由于反比例函数中x≠0，分式方程化为整式方程时一般不会产生增根) 步骤 具体操作 解一元二次方程 如果一元二次方程的Δ<0，那么一次函数图象与反比例函数图象无交点；否则，求出一元二次方程的根 解方程组得交点坐标 将一元二次方程的根代入一次函数(或反比例)的解析式，对应求出二元方程组的两组解，将解写成点的形式 作　答 综述作答 2．求相交的反比例函数与一次函数图象所对应的函数解析式 一般地，只需给出反比例函数图象与一次函数图象的一个交点的坐标和另一个交点的一个坐标(横坐标或纵坐标)，就可以求出两个函数的解析式． 步骤 具体操作 设解析式 设出反比例函数和一次函数的一般形式 求反比例函数的解析式 将已知点的坐标代入反比例函数的解析式，求出反比例函数的待定系数，得出反比例函数的解析式 步骤 具体操作 求另一个交点的坐标 将另一个交点的已知坐标代入反比例函数的解析式，求出它的完整坐标 求一次函数的解析式 根据两个点的坐标列出方程组，解出一次函数中的待定系数，求得一次函数的解析式 作　答 根据要求的内容，综述作答 3．利用数形结合思想解分式不等式 利用函数的图象确定ax＋b＞或ax＋b<解集的一般步骤： (1)求出函数图象的交点坐标． (2)过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴将平面分为四部分(如图)，即Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ. (3)根据函数图象上方的值总比函数图象下方的值大，在各区域内找相应的x的取值范围． 如图，Ⅰ、Ⅲ区域内：＞ax＋b，自变量取值范围为x<xB或0<x<xA；Ⅱ、Ⅳ区域内：ax＋b＞，自变量取值范围为xB<x<0或x＞xA． 核心考点突破 突破点1　反比例函数的图象和性质 【例1】已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，当x1>x2>0时，下列结论正确的是(　　) A．0<y1<y2 B．0<y2<y1 C．y1<y2<0 D．y2<y1<0 解析　∵反比例函数y＝中，k＝3>0，∴双曲线分布在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小．又x1>x2>0，∴图象在第一象限，∴0<y1<y2. 答案　A 1．(2022·西藏)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝(其中a，b是常数，ab≠0)的大致图象是(　　) A 2．(2024·重庆A卷)已知点(－3，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 3．(2024·济宁)已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A．y1<y2<y3 B．y2<y1<y3 C．y3<y1<y2 D．y3<y2<y1 C C 4．(2024·浙江)反比例函数y＝的图象上有P(t，y1)，Q(t＋4，y2)两点．下列正确的选项是(　　) A．当t<－4时，y2<y1<0 B．当－4<t<0时，y2<y1<0 C．当－4<t<0时，0<y1<y2 D．当t＞0时，0<y1<y2 5．(2024·遂宁)反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点(k，－3)在第______象限． A 四 突破点2　反比例函数k的几何意义 【例2】如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝的图象上．OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为________． 解析　∵OA＝1，OC＝6，∴B(1，6)． 又∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6，即y＝.设E，∵四边形ADEF是正方形，∴EF＝OD－OA＝DE，即x－1＝，∴x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2(舍去)．∴正方形ADEF的边长为3－1＝2. 答案　2 方法技巧　在解题过程中要灵活应用反比例函数图象上点的坐标特征——xy＝k，或找图象上的已知点，或找函数图象上的点作坐标轴的垂线，利用形成的图形面积，确定函数解析式，但同时要注意k的符号． 6．(2021·西藏)如图，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为(　　) A．－3 B．－ C．3 D． A 7．(2024·牡丹江)矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y＝的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE.若四边形ODAF的面积为2，则k的值是(　　) A． B． C． D． D 8．(2024·黑龙江)如图，双曲线y＝(x＞0)经过A，B两点，连接OA，AB，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则△AEB的面积是(　　) A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 A 9．(2024·内蒙古)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5，0)，(2，6)，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD＝2AD．反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是______． 12 突破点3　反比例函数的应用 【例3】(应用意识)工匠制作某种金属工具要经过材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min，材料温度降为600 ℃.煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图).已知该材料初始温度是32 ℃，根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止锻造操作． 解答 解：(1)锻造时，设y＝(k≠0)． 由题意，得600＝， 解得k＝4 800， ∴y＝. 当y＝800时，代入可得＝800，解得x＝6. (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ∴B(6，800)． 煅烧时，设y＝ax＋32(a≠0)． 将B(6，800)代入，得800＝6a＋32， 解得a＝128. ∴煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x＋32(0≤x<6)． 把y＝480代入y＝，得x＝10. ∴锻造时，y与x的函数关系式为 y＝(6≤x≤10)． (2)锻造的时间有多长？ 解答 (2)10－6＝4(min)， ∴锻造的时间为4 min. 10．(2024·河北)节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是(　　) A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 C 11．(2024·连云港)杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m，动力为F(N)，动力臂为l(m)，则 动力F关于动力臂l的函数表达式为_________． 12．(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60 kg时，它的最快移动速度v＝6 m/s；当其载重后总质量m＝90 kg时，它的最快移动速度v＝_____ m/s. F＝ 4 13．(2024·吉林)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围)； 解：(1)设I＝. 由题意，得U＝RI＝9×4＝36， ∴这个反比例函数的解析式为I＝. (2)当电阻R为3 Ω时，求此时的电流I. 解：(2)电阻R为3 Ω时，I＝＝12(A)． 突破点4　反比例函数与一次函数的综合 【例4】(几何直观)如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0，x<0)的图象交于点A(－3，1)和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 解答 解：(1)∵反比例函数y2＝的图象过点A(－3，1)，∴m＝－3， ∴反比例函数的解析式是y2＝－. ∵S△AOB＝OB·＝6， ∴OB＝4，∴B(0，4)，即b＝4. 将点A(－3，1)代入y1＝kx＋4中， 得1＝－3k＋4，解得k＝1. ∴一次函数的解析式是y1＝x＋4. (2)当x<0时，比较y1与y2的大小． 解答 解：(2)解方程组 解得或 ∴C(－1，3)． 由图象可知， 当－1<x<0或x<－3时，y1<y2； 当－3<x<－1时，y1>y2； 当x＝－3或x＝－1时，y1＝y2. 14．(2024·安徽)已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 A 15．(2024·长春)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A(4，2)在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y＝(k＞0，x＞0)的图象交于点C．若BC＝，则点B的坐标是(　　) A．(0，) B．(0，3) C．(0，4) D．(0，2) B 16．(2024·新疆)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于A，B两点，AC⊥x轴于点C，连接BC交y轴于点D．结合图象判断下列结论：①点A与点B关于原点对称；②D是BC的中点；③在y＝的图象上任取点P(x1，y1)和点，y2)，如果y1＞y2，那么x1＞x2；④S△BOD＝.其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 17．(2024·威海)如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax＋b(a≠0)与双曲线y2＝(k≠0)交于点A(－1，m)，B(2，－1)，则满足y1≤y2的x的取值范围___________________． －1≤x<0或x≥2 18．(2024·西藏)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ (a≠0)的图象相交于A(－3，1)，B(－1，n)两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解：(1)由反比例函数y＝(a≠0)的图象经过点A(－3，1)， 可得a＝(－3)×1＝－3， ∴反比例函数的解析式为y＝－. 把点B(－1，n)代入反比例函数y＝－， 可得n＝－＝3， ∴B(－1，3)． 把点A(－3，1)，B(－1，3)代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)中， 得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋4. (2)请直接写出满足kx＋b>的x取值范围． 解：(2)由图象可知，当kx＋b>时，即一次函数y＝x＋4在反比例函数y＝－上方部分自变量x的取值范围， ∴－3<x<－1或x>0. 19．(2024·东营)如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(x≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 解：(1)∵一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)， ∴k＝1×3＝－3a， ∴k＝3，a＝－1， ∴反比例函数解析式为y＝. 一次函数y＝mx＋n图象过A(－3，－1)，B(1，3)， 可得　解得 一次函数解析式为y＝x＋2. (2)根据图象直接写出不等式mx＋n＞的解集； 解：(2)由图象可知，不等式mx＋n＞的解集为－3<x<0或x＞1. (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标． 解：(3)在一次函数y＝x＋2中， 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2， ∴C(－2，0)，D(0，2)． ∴S△OBD＝×2×1＝1， ∴S△OCP＝4S△OBD＝4. 设点P的坐标为， ∴×2×＝4， 解得h＝－， ∴点P. $$