2025年中考数学一轮复习教材考点整合课件：二元(三元)一次方程(组)

　二元(三元)一次方程(组) 教材考点梳理 考点1　二元一次方程(组)及其解法 1．二元一次方程(组)的相关概念 (1)二元一次方程：含有________未知数，并且所含未知数的项的次数都是_____的方程，叫做二元一次方程． (2)二元一次方程组：两个未知数相同的二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 两个 1 (3)二元一次方程的解：使二元一次方程两边________的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．二元一次方程的每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值．一般地，一个二元一次方程的解有无数个． (4)二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的________解，叫做二元一次方程组的解．通常情况下，二元一次方程组有唯一解或无解．当两个二元一次方程所有解相同时，方程组有无数个解． 相等 公共 2．解二元一次方程组的方法和步骤 另一个 相等 代入消元法 加减消元法 ①选一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示__________未知数 ①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成_______或相反数 ②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 ②利用等式的基本性质将变形后的两个方程相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程 ③解这个一元一次方程，求出未知数的值 代入消元法 加减消元法 ④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值 ④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值 ⑤用大括号“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解 ⑥最后检验(代入原方程组中，方程是否都满足左边＝右边) 方法点拨　一般地，代入消元法适用于方程组中一个方程的某个未知数的系数为1或－1的情况；加减消元法适用于两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系的情况． *3.三元一次方程(组)的相关概念 (1)三元一次方程：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程． (2)三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有3个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． *4.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的思路是一致的． 考点2　一次方程(组)的应用 1．列方程解应用题的一般步骤 (1)审：审题，弄清题意，明确已知量和未知量，找出________关系． (2)设：设适当的未知数(直接设或间接设)． (3)列：根据相等关系列出方程(组)． (4)解：解出所列的方程(组)． (5)答：检验所求得的解是否符合____________，并规范作答． 注意　①设未知数和写答案时都要带上单位；②写答案前，一定要检验所得到的解是否符合实际问题． 等量 实际问题 2．实际问题中等量关系的常见类型 常见类型 重要的关系式 打折销售问题 利润＝售价－成本价 售价＝标价×折扣率 利润率＝×100% 储蓄问题 利息＝本金×利率×期数 本息和＝本金×(1＋利率×期数) 常见类型 重要的关系式 工程问题 工作量＝工作效率×工作时间 浓度问题 浓度＝×100% 比例问题 各分量之和＝总量 年龄问题 两个人的年龄差不变(年龄问题同增同减) 常见类型 重要的关系式 行程问题 (1)相遇问题：总路程＝甲走的路程＋乙走的路程． (2)追及问题：①同地不同时：前者走的路程＝追者走的路程； ②同时不同地：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程． (3)水中的航行问题： 顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 核心考点突破 突破点1　二元一次方程(组)解的应用 【例1】已知是二元一次方程ax－3y＝0的解，则点(a，3－a)所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　把代入方程ax－3y＝0，得2a＋9＝0，解得a＝－4.5，所以3－a＝3－(－4.5)＝3＋4.5＝7.5，点为(－4.5，7.5)，故点(a，3－a)所在的象限是第二象限． 答案　B 1．(2023·眉山)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x－y＝4，则m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．(2022·雅安)已知是方程ax＋by＝3的解，则代数式2a＋4b－5的值为_____． B 1 3．(2024·宿迁)若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是___________. 突破点2　解二元一次方程组 【例2】解方程组： 解答 方法一(代入消元法)： 解：把方程②代入①，得 5x＋2x－3＝11，解得x＝2. 把x＝2代入②，得y＝2×2－3＝1. ∴原方程组的解为 方法二(加减消元法)： 解：原方程组变形为 ①＋③，得7x＝14，解得x＝2. 把x＝2代入②，得y＝2×2－3＝1. ∴原方程组的解为 易错警示　利用加减消元法解方程组时的易错点： (1)方程组中同一个未知数的系数特征满足“相等或互为相反数”时，适当扩大方程的系数时易错． (2)相减时易错． 错例：　①－②，得y＝3. 4．(2023·河南)方程组的解为_________． 5．(2024·乐山)解方程组： 解： ①＋②，得3x＝9， ①＋②，得3x＝9， 解得x＝3. 把x＝3代入②，得y＝1. ∴原方程组的解是 6．(2024·浙江)解方程组： 解： ①×3＋②　得10x＝5， 解得x＝. 把x＝代入①，得2×－y＝5， 解得y＝－4. 所以原方程组的解是 突破点3　二元一次方程组的应用 【例3】某服装店用6 000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获毛利润3 800元(毛利润＝售价－进价)．这两种服装的进价、标价如下表所示： 价格 类型 A B 进价(元/件) 60 100 标价(元/件) 100 160 (1)求这两种服装各购进的件数； 解析　(1)设购进A种服装x件，B种服装y件．由“总价＝单价×数量”和“毛利润＝售价－进价”建立方程组求出其解即可． 解答 解：(1)设购进A种服装x件，B种服装y件．根据题意，得 解得 即购进A种服装50件，B种服装30件． (2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，该服装店比按标价出售少收入多少元？ 解析 (2)分别求出打折后的价格，再根据总利润＝A种服装的利润＋B种服装的利润，求解即可． 解答 解：(2)打折后利润：50×(100×0.8－60)＋30×(160×0.7－100)＝1 360(元). 3 800－1 360＝2 440(元)． 答：该服装店比按标价出售少收入2 440元． 方法技巧　本题考查了销售问题的数量关系的运用．应用二元一次方程组解决实际问题，解答时由销售问题的数量关系建立二元一次方程组是解题的关键． 7．(2024·成都)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，进价各几何？其大意是：今有人合伙买进石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，进价各是多少？设人数为x，进价为y，则可列方程组为(　　) A． B． C． D． B 8．(2023·西藏)列方程(组)解应用题： 如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成的． (1)求一块长方形墙砖的长和宽； 解得 故一块长方形墙砖的长为1.2 m，宽为0.3 m. 解：(1)设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m. 根据题意， 得 (2)求电视背景墙的面积． 解：(2)电视背景墙的长为2x＝2×1.2＝2.4(m)， 电视背景墙的面积为2.4×1.5＝3.6(m2)． 故电视背景墙的面积为3.6 m2. 9．(2021·西藏)列方程(组)解应用题： 为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种.已知购买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元；购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137元.每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？ 解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元．依题意，得 　解得 故每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元． 10．(2024·江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书.已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm. (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； 解：(1)设书架上数学书x本，语文书y本． 根据题意，得 　解得 故书架上数学书60本，语文书30本． (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 解：(2)设数学书还可以摆m本， 则10×1.2＋0.8m≤84， 解得m≤90. 所以数学书最多还可以摆90本． $$