2025年中考数学一轮复习教材考点整合课件：一次函数

　一次函数 教材考点梳理 考点1　一次函数及其性质 1．一次函数与正比例函数的概念 一般地，如果y＝_________(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．特别地，当b＝0时，y＝______，这时y叫做x的正比例函数． 注意　(1)正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数． (2)判定一次函数须同时满足两个条件：①自变量x的指数为1；②比例系数k≠0. kx＋b kx 2．一次函数的图象和性质 (1)一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条经过点 _________和______________的直线． (2)直线y＝kx＋b与y＝kx(k≠0)之间的关系：一次函数y＝kx＋b的图象可由正比例函数y＝kx的图象平移得到： ①b>0，向______平移b个单位长度； ②b<0，向______平移个单位长度． (0，b) 上 下 (3)与k，b之间的关系 k，b符号 k>0 k<0 b>0 b＝0 b<0 b>0 b＝0 b<0 大致图象 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 方法点拨　一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴交点的求法：①与x轴的相交时，令y＝0，得kx＋b＝0，解得x＝－；②与y轴的相交时，令x＝0，得y＝b. 3．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积 如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为A，与y轴的交点为B(0，b)，则S△AOB＝OA·OB＝|－|·|b|＝. 考点2　一次函数解析式的确定(待定系数法) 具体操作步骤 (1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． (2)找出满足一次函数解析式的______个点(或两组对应值)，并将坐标(或两组对应值)代入函数解析式，得到二元一次方程组． (3)解这个二元一次方程组，求出待定系数k，b的值． (4)将所求待定系数k，b的值代入所设的函数解析式中． 两 方法点拨　若k，b的值只有一个未知，则只需代入一个满足条件的点的坐标，解方程即可；若为正比例函数(图象过原点)，设解析式为y＝kx，代入除原点外任意一个满足条件的点的坐标即可求解． 考点3　一次函数图象的平移 1．图象的平移 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象向上(下)平移个单位长度后得到的图象的解析式为______________，向左(右)平移个单位长度后得到的图象的解析式为y＝______________． kx＋(b±m) k(x±m)＋b 2．平移规律 上加下减(常数项加减)，左加右减(自变量加减)．如：将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后，所得直线的解析式是y＝2x－2.将直线y＝2x＋1向右平移3个单位长度后，所得直线的解析式是y＝2(x－3)＋1＝2x－5. 易错提示　点(图形)的坐标平移的变化规律是“左减右加”，而平移函数图象中函数解析式的变化规律是“左加右减”，不要混淆这两种变化规律． 知识拓展　对于两个一次函数y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2： (1)若两个一次函数图象平行，则k1＝k2且b1≠b2； (2)若两个一次函数图象垂直，则k1·k2＝－1. 考点4　一次函数与方程、不等式的关系 1．一次函数与方程(组)的关系 (1)如图1，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点a的横坐标为m，则方程kx＋b＝0的解为________． 图1 x＝m (2)如图2，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2图象的交点为B(m，n)，则二元一次方程组一次方程组的解为____________． 图2 2．一次函数与不等式的关系 (1)如图1，当不等式kx＋b>0的解集为x>m，即y＝kx＋b的图象在x轴______方时，对应的x的取值范围；当不等式kx＋b<0的解集为x<m，即y＝kx＋b的图象在x轴______方时，对应的x的取值范围． (2)如图2，当不等式k1x＋b1>k2x＋b2的解集为x>m，y＝k1x＋b1的图象在y＝k2x＋b2图象上方时，对应的x的取值范围(即虚线______侧部分)；当不等式k1x＋b1<k2x＋b2的解集为x<m，y＝k1x＋b1的图象在y＝k2x＋b2图象下方时，对应的x的取值范围(即虚线______侧部分)． 上 下 右 左 核心考点突破 突破点1　一次函数及其性质 【例1】一次函数y＝kx－k(k<0)的大致图象是(　　) A B C D 解析　∵k<0，∴－k＞0，且直线必过第二、四象限．∵－k>0，∴直线与y轴交于正半轴． 答案　C 方法技巧　直线y＝kx＋b所在位置与k，b的符号有直接关系： (1)k决定直线的走势．当k>0时，直线必过第一、三象限，y随x增大而增大；当k<0时，直线必过第二、四象限，y随x增大而减小． (2)b决定直线与y轴相交的位置．当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负半轴． 1．(2024·临夏州)一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A 2．(2024·青海)如图，一次函数y＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是(　　) A． B． C．(0，3) D．(0，－3) A 3．(2024·通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是(　　) A A．b1＋b2＞0 B．b1b2＞0 C．k1＋k2<0 D．k1k2<0 4．(2024·长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是(　　) A．它的图象与y轴交于点(0，－1) B．y随x的增大而减小 C．当x>时，y<0 D．它的图象经过第一、二、三象限 5．(2024·自贡)一次函数y＝(3m＋1)x－2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值：_________________． A 1(答案不唯一) 突破点2　一次函数的解析式 【例2】如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B(0，2)的直线设为y＝kx＋b. (1)求点A′的坐标； ∴A(－2，0)． ∵点A关于y轴的对称点为A′， ∴A′(2，0)． 解答 解：(1)令y＝0，则x＋1＝0， ∴x＝－2， (2)确定直线A′B对应的函数表达式． 解答 解：(2)设直线A′B的函数表达式为y＝kx＋b， ∵A′(2，0)，B(0，2) ∴ 解得 ∴直线A′B对应的函数表达式为y＝－x＋2. 6．(2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数.部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为(　　) A 尾长(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A．y＝7.5x＋0.5 B．y＝7.5x－0.5 C．y＝15x D．y＝15x＋45.5 7．(2024·宁夏)在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为_____________________ (写出一个即可)． y＝x＋1(答案不唯一) 8．(2023·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(0，1)和B(1，2)，与过点(0，4)且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； 解：(1)把点A(0，1)，B(1，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，得 　解得 ∴该函数的解析式为y＝x＋1. 由题意，知点C的纵坐标为4， 当y＝x＋1＝4时， 解得x＝3. ∴点C的坐标为(3，4)． (2)当x<3时，对于x的每一个值，函数y＝x＋n的值大于函数y＝kx＋b(k≠0)的值且小于4，直接写出n的值． 解：(2)由(1)，知当x＝3时，y＝x＋1＝4. ∵当x<3时，函数y＝x＋n的值大于函数y＝x＋1的值且小于4， ∴当y＝x＋n过点(3，4)时满足题意， 代入(3，4)得4＝×3＋n， 解得n＝2. 突破点3　一次函数图象的平移变换 【例3】将直线l1：y＝2x－4向左平移m个单位长度后得到直线l2.若直线l2与y轴交点的纵坐标等于直线l1与x轴交点的纵坐标，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵直线l1：y＝2x－4向左平移m个单位长度后得到直线l2，∴直线l2：y＝2(x＋m)－4，即y＝2x＋2m－4，∴直线l2与y轴交点的纵坐标为2m－4.∵直线l1：y＝2x－4与x轴交点的纵坐标为0，2m－4＝0，∴m＝2. 答案　B 9．(2023·内蒙古)在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一次函数的解析式为(　　) A．y＝－2x＋3 B．y＝－2x＋6 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－6 B 10．(2023·无锡)将函数y＝2x＋1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝2x＋3 C．y＝4x－3 D．y＝4x＋5 A 11．(2023·雅安)在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为(　　) A．y＝－x＋1 B．y＝x＋1 C．y＝－x－1 D．y＝x－1 A 12．(2024·西藏)将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位长度后得到的函数图象的解析式为____________． y＝2x＋3 突破点4　一次函数与方程(组)、不等式的关系 【例4】如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式kx－3>2x＋b的解集是________． 解法一(列方程组)　∵直线y＝2x＋b与y＝kx－3的图象交于点P(4，－6)，∴2×4＋b＝－6，解得b＝－14.又∵4k－3＝－6，解得k＝－.∴两直线的解析式分别为y＝2x－14和y＝－x－3.∵kx－3>2x＋b，即－x－3>2x－14，解得x<4. 解法二(数形结合)　kx－3>2x＋b即是直线y＝kx－3在直线y＝2x＋b的上方，观察图象可得x<4. 答案　x<4 13．(2024·广东)已知不等式kx＋b<0的解集是x<2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　　) B 14．(2024·内蒙古)点P(x，y)在直线y＝－x＋4上，坐标(x，y)是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．(2024·扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点．若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为__________． D x＝－2 16．(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象交于点(2，1)． (1)求k，b的值； 解：(1)∵直线y＝－kx＋3过点(2，1)， ∴－2k＋3＝1， 解得k＝1. 将点(2，1)代入y＝x＋b， 得2＋b＝1， 解得b＝－1. (2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，直接写出m的取值范围． 解：(2)∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝x－1的值，也大于函数y＝－x＋3的值， 如图，y＝mx在上方， ∴m≥1. ∴m的取值范围是m≥1. 突破点5　一次函数的应用 【例5】某市规定了每月用水量18 m3以内(含18 m3)和用水量18 m3以上两种不同的收费标准.该市用户每月应缴水费y(元)是关于用水量x(m3)的函数，其图象如图所示． (1)若某月用水量为18 m3，则应缴水费多少元？ 解答 解：(1)观察图象可知，当点的横坐标为18时，纵坐标为45，即应缴水费45元． (2)当x>18时，求y关于x的函数表达式； 解答 解：(2)当x>18时，设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b. 由题意，得　解得 ∴x＞18时，函数表达式为y＝3x－9. (3)若扎西家某月缴水费81元，求他家这个月的用水量． 解答 解：(3)∵81>45，∴x>18. ∴y＝3x－9＝81，解得x＝30. 即扎西家这个月的用水量为30 m3. 方法技巧　关于一次函数的应用的一般解题步骤： (1)分析问题：借助图、表等分析题目中的数量关系，根据函数图象获取信息，分析数量关系． (2)确定模型：根据获取的信息确定一次函数模型，进而确定函数解析式． (3)解决问题：根据题目中的数量关系或者数学模型，将具体数字代入，从而解决问题． 17．(2024·内蒙古)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆.图中用x表示时间，y表示 该同学离家的距离.结合图象给出下列结论： ①体育场离该同学家2.5 km. ②该同学在体育场锻炼了15 min. ③该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍． ④若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75. 其中正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 18．(2020·西藏)如图，一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 A 19．(2024·济南)某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多______kW·h. 12 20．(2021·西藏)已知第一象限点P(x，y)在直线y＝－x＋5上，点A的坐标为(4，0)，设△AOP的面积为S. (1)当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积； 解：(1)把点P的横坐x＝2代入，得y＝－2＋5＝3， ∴点P的坐标为(2，3)， ∴S△AOP＝×4×3＝6. (2)当S＝4时，求点P的坐标； 解：(2)当S＝4时，即×4×|y|＝4， ∴y＝2或y＝－2(舍去)． 当y＝2时，即2＝－x＋5， 解得x＝3，∴点P(3，2)， 即此时点P的坐标为(3，2)． (3)求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象． 解：(3)由题意，得S＝OA·|y|＝2y(y＞0)． 当y＞0，即0<x<5时，S＝2(－x＋5)＝－2x＋10， ∴S关于x的函数解析式为S＝－2x＋10(0<x<5).画出的图象如图所示： $$