2025年中考数学一轮复习教材考点整合课件：分式方程

分式方程 教材考点梳理 考点1　分式方程及其解法 1．分式方程的概念 分母中含有__________的方程叫做分式方程． 注意　分式方程与整式方程的根本区别是看分母中是否含有未知数. 2．分式方程的解法 (1)基本思路：将分式方程转化为________方程． 未知数 整式 (2)解分式方程的一般步骤： 步骤 具体操作 举例 去分母 方程两边同时乘最简公分母(将分式方程转化为整式方程) 方程两边都乘 x(x－3)，得 3(x－3)＝2x 解整式方程 去括号→移项→合并同类项→系数化为1 解得x＝9 易错提示　去分母时，不要漏乘整式项，若分子是多项式，需添加括号． 步骤 具体操作 举例 验根 把整式方程的根代入最简公分母，若使最简公分母不为零，则是原分式方程的根；若使最简公分母为零，则是原分式方程的增根 当x＝9时， x(x－3)≠0， ∴x＝9是原分式方程的根 考点2　分式方程的增根 1．增根的意义 分式方程转化为整式方程的根使最简公分母为_____，那么我们把这个根叫做分式方程的增根，增根不是原分式方程的根． 2．增根产生的原因 将分式方程化为整式方程时，由于扩大了未知数的取值范围，整式方程的未知数的取值可能使原分式方程的分母为_____． 0 0 3．检验增根的方法 将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0.若不为0，则为原方程的解；若为0，则为________，须舍去． 4．分式方程无解 (1)化为整式方程后，整式方程无解，分式方程去分母整理后出现形如ax＝b时，当a＝0且b≠0时，此方程无解，所以原分式方程无解． (2)化为整式方程后，整式方程有解，但所得的解使分式方程分母为_____，即解为增根． 增根 0 考点3　分式方程的应用 1．列分式方程解应用题的步骤 ①审清题意； ②设未知数； ③根据题意找相等关系，列出(分式)方程； ④解方程，并验根； ⑤作答． 易错提示　列分式方程解应用题有两个“检验”，一个是在“解”中，检验是否是所列分式方程的解；另一个是在“答”之前，检验是否符合题意． 2．列分式方程解决实际问题的常见类型 类型 等量关系 工程问题 工作总量＝工作效率×工作时间 ＝时间差 ＝时间差 类型 等量关系 购买(盈利)问题 ＝数量 ＝数量差 行程问题 ＝时间 ＝时间差 ＝时间差 核心考点突破 突破点1　解分式方程 【例1】解方程：＝1. 解答 解：去分母，方程两边都乘x2－4， 得(x－2)2－16＝x2－4. 去括号，得x2－4x＋4－16＝x2－4. 移项、合并同类项，得－4x＝8. 系数化为1，得x＝－2. 检验：当x＝－2时，最简公分母x2－4＝0， ∴x＝－2是原分式方程的增根． 方法技巧 (1)解分式方程的常用方法是“去分母法”，去分母时的变形不是恒等变形，它的依据是等式的基本性质2，而异分母分式的加减依据的是分式的基本性质2，是恒等变形，这两者不能混淆． (2)解分式方程一定要验根． 1．(2024·济宁)解分式方程1－＝－时，去分母变形正确的是(　　) A．2－6x＋2＝－5 B．6x－2－2＝－5 C．2－6x－1＝5 D．6x－2＋1＝5 2．(2024·泸州)分式方程－3＝的解是(　　) A．x＝－ B．x＝－1 C．x＝ D．x＝3 A D 3．(2023·西藏)解分式方程：－1＝. 解：去分母，得x(x－1)－(x＋1)(x－1)＝3(x＋1)， 去括号、整理合并，得4x＋2＝0， 解得x＝－. 经检验，x＝－是原分式方程的解． 4．(2024·陕西)解方程：＝1. 解：方程两边都乘(x＋1)(x－1)， 得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)， 解得x＝－3. 检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0， 所以分式方程的解是x＝－3. 突破点2　分式方程的解 【例2】已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是(　　) A．m>2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m>2且m≠3 解析　去分母，方程两边都乘x－1，得m－3＝x－1，解得x＝m－2.由题意，得x≥0，即m－2≥0，∴m≥2.又∵最简公分母x－1≠0，∴x ≠1，即m－2≠1，∴m≠3.(此处极易忽略，切记解分式方程一定要验根) 综上，m的取值范围是m≥2且m≠3. 答案　C 方法技巧　关于待定字母的分式方程，只需要把“m”看作已知数，仍然用“去分母法”解方程，再利用“解是非负数”建立不等式，求不等式的解集即可． 5．(2024·遂宁)分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围(　　) A．m＞－3 B．m＞－3且m≠－2 C．m<3 D．m<3且m≠－2 B 6．(2024·黑龙江)已知关于x的分式方程－2＝无解，则k的值为(　　) A．k＝2或k＝－1 B．k＝－2 C．k＝2或k＝1 D．k＝－1 7．(2024·牡丹江)若分式方程＝3－的解为正整数，则整数m的值为_______． 8．(2021·西藏)若关于x的分式方程－1＝无解，则m＝_____． A －1 2 突破点3　分式方程的增根 【例3】若关于x的分式方程－3＝有增根，则m的值是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析　去分母，方程两边都乘x－2，得x－3(x－2)＝m.整理，得－2x＋6＝m.∵原分式方程有增根，即x＝2，∴把x＝2代入整式方程，得m＝2. 答案　C 方法技巧　本题考查的是对分式方程的增根的理解，依据增根的定义，把原分式方程去分母转化为整式方程，求出使得最简公分母为0的x的值，代入整式方程中即可求得m的值． 9．(2021·无锡)分式方程＋1＝有增根，则m的值是(　　) A．3 B．－3 C．6 D．－6 10．(2023·永州)若关于x的分式方程＝1(m为常数)有增根，则增根是________． 11．(2023·巴中)关于x的分式方程＝3有增根，则m＝_____. D x＝4 －1 突破点4　分式方程的应用 【例4】(应用意识)几个小伙伴打算去看演出，他们准备了360元钱购买门票，根据下面对话中的信息，请求出小伙伴们的人数． 达瓦：如果今天都去看演出，用这些钱买票，刚好还差两张票． 扎西：过两天就是儿童节，到时去看这场演出，票价打六折，我们买完票，还能剩72元钱呢！ 解析　本题中的数量：人数、演出的票价、购买票数，其中小伙伴的人数是不变的.所以可以抓住小伙伴的人数不变建立等量关系. 解答 解：设这场演出的票价为x元/张． 根据题意，得＋2＝， 解得x＝60. 检验：当x＝60时，0.6x≠0， ∴x＝60是原分式方程的解，且符合题意． ∴＋2＝8. 即小伙伴一共有8人． 12．(2024·新疆)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5 min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程(　　) A．＝5 B．＝5 C．＝ D．＝ D 13．(2024·内蒙古)A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等.A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？(　　) A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 D 14．(2024·雅安)某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为 3 000 m的污水排放管道.为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务. (1)原计划与实际每天铺设管道各多少米？ 解：(1)设原计划每天铺设管道x m，则实际每天铺设管道(1＋25%)x＝1.25x m. 根据题意，得＋15＝， 解得x＝40. 经检验x＝40是分式方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝50. 故原计划与实际每天铺设管道各为40 m和50 m. (2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 解：(2)设该公司原计划应安排y名工人施工． 3 000÷40＝75(天)， 根据题意，得300×75y≤180 000， 解得y≤8. ∴不等式的最大整数解为8. 故该公司原计划最多应安排8名工人施工． $$