专题03 倍数与因数(9个考点讲练+培优拔尖真题训练73题）-2024-2025学年北师大版数学五年级上册期末复习知识梳理真题汇编精讲练

2024-2025学年北师大版数学五年级上册期末复习知识梳理真题汇编精讲练（共73题） 专题3 倍数与因数 (9个考点讲练+培优拔尖真题训练） 目录 导图索引 2 温故知新 2 知识点01：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法 2 知识点02：找因数和质数 2 易错提示 3 易错知识点01：倍数与因数的认识及求法 3 易错知识点02：2、5、3的倍数的特征 3 易错知识点03：奇数偶数质数合数 3 期末真题考点讲练 3 考点讲练1：奇数与偶数的初步认识 3 考点讲练2：公倍数和最小公倍数 4 考点讲练3：因数、公因数和最大公因数 4 考点讲练4：求几个数的最大公因数的方法 5 考点讲练5：求几个数的最小公倍数的方法 5 考点讲练6：合数与质数的初步认识 6 考点讲练7：合数分解质因数 6 考点讲练8：2、3、5的倍数特征 7 考点讲练9：公因数和公倍数应用题 7 培优真题汇编训练 8 拔尖真题汇编训练 12 知识点01：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法 1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4 ， 5······ 2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。 3. 2、5的倍数的特征与奇偶数 （1）5的倍数个位上是0或5。 （2）2的倍数个位上是0、2、4、6、8。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0； （4）是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。 4. 3的倍数的特征 3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。 知识点02：找因数和质数 1.找一个数的全部因数的方法： （1）找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找； （2）最小因数都是1； （3）最大因数是自己； 2. 找质数的方法： （1）质数的因数只有1和它本身； （2）合数除1和它本身以外还有别的因数； （3）除0和2以外，所有的偶数都是合数。 易错知识点01：倍数与因数的认识及求法 1.因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是倍数或因数。 2.只在自然数（0除外）范围内研究倍数与因数，所以小数之间不存在倍数与因数的关系。 3.不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数关系。 4. 找一个数的因数时不要忘记了１和它本身这两个因数。 易错知识点02：2、5、3的倍数的特征 1.0是2的倍数，0也是偶数，自然数中最小的偶数是0，没有最大的偶数。 2.1—9每个数的倍数都是有规律的，可以牢记这个规律，也可以用麻烦的办法去求。 3.2的倍数一定是偶数，各个数位上数字之和是3的倍数的数一定是3的倍数。 4.同时是2，3的倍数的特征，个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的特征，个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的特征，各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 易错知识点03：奇数偶数质数合数 1.奇数不一定只有1和它本身两个因数，还可能有其他因数。 2.最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。 考点讲练1：奇数与偶数的初步认识 【母题】（2023秋•岱岳区期末）下列说法中正确的是　　 A．所有的质数都是奇数。 B．最小的质数和合数都是偶数。 C．一个非0自然数一定有2个因数。 D．与奇数相近的是偶数，与质数相邻的是合数。 【训练1】（2023秋•泉州期末）被称为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，是数学中一个著名的难题。猜想认为：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数（即奇质数）之和。下列式子中能反映这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【训练2】（2021秋•平原县期末）三个连续奇数的和是45，这三个奇数分别是 　，其中最小的一个奇数至少再加 　　就是3的倍数，最大的奇数至少加 　　就是合数，并把这个合数分解质因数是 　　。 考点讲练2：公倍数和最小公倍数 【母题】（2023秋•甘井子区期末）关于6和10的公倍数，下面说法不正确的是　　 A．它们的公倍数是它们最小公倍数的倍数。 B．它们公倍数的个数是无限的。 C．它们的公倍数是它们公因数的倍数。 D．它们的最小公倍数是60。 【训练1】（2022秋•天府新区期末）在20、11、44、18、25、60中，2、3、5的公倍数有 　 　。 【训练2】五（1）班学生不到60人，进行队列表演，每行12人或者每行16人都正好每行同样多人，这个班的学生共有 　人． 【训练3】填数． 考点讲练3：因数、公因数和最大公因数 【母题】（2022秋•永春县期末）下面　　组数的公因数只有1。 A．7和14 B．24和25 C．17和51 D．48和50 【训练1】（2021秋•于洪区期末）18的因数有 　 　，24的因数有 　　，18和24的公因数有 　　，最大公因数是 　　。 【训练2】（2022秋•成华区期末）如图，这幅图的内容完全正确。 　　（判断正误） 【训练3】（2015秋•红花岗区期末）7和13的公因数只有1．　　．（判断对错） 考点讲练4：求几个数的最大公因数的方法 【母题】（2023秋•沈河区期末）如果、是非0自然数），则、的最大公因数是　　 A． B． C．1 D．无法确定 【训练1】（2023秋•渭滨区期末）54和36的最大公因数是 　 　；12和18的最小公倍数是 　　。 【训练2】（2023秋•岷县期末）和为非0自然数，，那么和的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　。 【训练3】（2023春•新北区校级期末）把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余． （1）每根短彩带最长是多少厘米？ （2）一共可以剪成多少段？ 考点讲练5：求几个数的最小公倍数的方法 【母题】（2024春•舞钢市期末）一筐苹果，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完没有余数。这筐苹果最少应有　　个。 A．30 B．60 C．90 D．120 【训练1】（2021秋•雁塔区期末）某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人．这个学校五年级至少有　　名学生． A．90 B．107 C．105 D．210 【训练2】（2022秋•光明区期末）20和24的最大公因数是 　　； 3和10的最小公倍数是 　　。 【训练3】（2020秋•西安期末）6和10的最小公倍数是30。 　　（判断对错） 考点讲练6：合数与质数的初步认识 【母题】（2023秋•平原县期末）下列说法正确的是　　 A．所有的偶数都是合数。 B．两个质数的和一定是合数。 C．一个数的最大因数一定是它的最小倍数。 【训练1】（2023秋•坪山区期末）哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【训练2】（2023秋•渭滨区期末）在的自然数中，质数有 　　个，奇数有 　　个。 【训练3】填质数： 　　　 　 　 　　 　　 　． 考点讲练7：合数分解质因数 【母题】（2021秋•禹城市期末）把36分解质因数为　　 A． B． C． D． 【训练1】（2023秋•东昌府区期末）下面式子中属于分解质因数的是　　 A． B． C． 【训练2】（2023秋•市南区期末）一个合数至少有 　　个因数，把42分解质因数是 　　。 【训练3】（2023秋•历下区期末）分解质因数。 25、32、21、70、65 考点讲练8：2、3、5的倍数特征 【母题】（2023秋•厦门期末）妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。每支玫瑰3元，每支郁金香5元，每支马蹄莲10元，妈妈付了50元，找回的钱不可能是　　 A．5元 B．10元 C．13元 D．25元 【训练1】（2023秋•青岛期末）42□这个三位数，既是2的倍数，又是3的倍数，□中有　　种填法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【训练2】（2023秋•沈阳期末）作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，下列选项中错误的一项是　　 A．横线上的数是2的倍数 B．横线上的数是5的倍数 C．横线上的数既是2的倍数，又是5的倍数 D．横线上的数既是3的倍数，又是5的倍数 【训练3】（2023秋•东明县期末）一个四位数372□，写出所有答案。 （1）要使它是2的倍数，□可以是 　 。 （2）要使它是5的倍数，□可以是 　　 。 （3）要使它是3的倍数，□可以是 　　 。 （3）要使它既含有因数2，又含有因数3，又含有因数5的数，□可以是 　　。 考点讲练9：公因数和公倍数应用题 【母题】（2023秋•双流区期末）淘气家的厨房（如图）进行装修，不进行切割的情况下选边长　　的地砖最合适。 A．4分米 B．5分米 C．6分米 D．8分米 【训练1】（2023秋•夏邑县期末）五（1）班有十几位同学参加学校举行的艺术节活动，无论是每排4人，还是每排6人，都多2人。五（1）班有多少人参加活动？下面观点正确的是　　 A．壮壮：“等于10，再加2，五（1）班有12人参加活动” B．安安：“4和6的公倍数是24，应该有24人参加” C．乐乐：“4和6的最小公倍数是12，再加2，五（1）班有14人参加活动” 【训练2】（2023秋•历下区期末）五年级一班的学生分组扫雪，2人一组余1人，3人一组余1人，5人一组也余1人，这个班至少有多少人？ 【训练3】（2023春•南岸区期末）小明家贮藏室长16分米，宽12分米，如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（砖须整块），可以选择边长是几分米的地砖？最长是几分米？ 1．（2023秋•渭滨区期末）一个数是合数，下面说法错误的是　　 A．它不可能是质数 B．它至少有三个因数 C．它可能是偶数也可能是奇数 D．它一定是2的倍数 2．（2023秋•兰溪市期末），下列结论错误的是　　 A．24是840的因数 B．35是840的因数 C．840是24的倍数 D．840的因数只有24和35 3．（2023秋•岱岳区期末）用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是　　 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 4．（2024春•舞钢市期末）在非0的自然数中，既不是质数，也不是合数的是　 　． 5．（2024春•海城市期末）三个连续奇数的和是177，这三个数的平均数是　　，其中最大的数是　　． 6．（2023秋•兰溪市期末）用“3”、“0”、“4”、“5”中的3个数，组成一个同时是2，3，5的倍数的数，这个数有 　　种不同的情况。 7．（2023秋•岱岳区期末）有一个三位数，如何这个三位数是3的倍数，那么可能是 　　；如果这个数即使2的倍数也是5的倍数，那么就是 　　。 8．（2023秋•渭滨区期末）三位数“31□”既是偶数，也是3的倍数，“□”里可能是 　　或 　　。 9．（2024春•宜春期末）一个非0的自然数，不是质数就是合数。 　　（判断对错） 10．（2024春•商水县期末）两个数的最小公倍数一定比这两个数大。 　　（判断对错） 11．（2021秋•三原县期末）面包师要把28块面包用塑封袋进行包装，每个塑封袋装同样多，袋数大于1且小于28，共有几种包装方法？ 12． （2021秋•南安市期末）张阿姨去华莱士买汉堡，已知每个汉堡的价格是5元，张阿姨付给收银员40元，找回8元。你认为收银员找给张阿姨的钱对吗？请说明理由。 13．（2023秋•武功县期末）有56瓶饮料，选哪种包装盒能正好把这些饮料全部装完？ 4瓶盒 5瓶盒 14．（2022秋•南安市期末）明明在分糖果时遇到这样的问题： 一共有88颗糖果，自己留下了10颗，剩下的平均分给5个小朋友。 明明想：我至少再放回多少颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果的数量是整数？请结合文字或算式等方式进行说理。 15．（2021秋•莲都区期末）自主探索。 任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。 （1）认真阅读学习材料，照样子把下面整数写成几个质数相乘的形式。 　　　　　　　　　　 （2）有人把质数称为自然数的“数根”，广泛应用于金融、密码及网络安全技术中，生活中的一些问题也常常用这样的方法来解决： 王奶奶要给三位年龄不同的小朋友过生日，已经知道他们的年龄乘积是693。三位小朋友的年龄分别是多少岁？ 16．（2021秋•城阳区期末）阅读并举例。 伟大数学家陈景润在研究著名的“哥德巴赫猜想”（任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式）中取得了一系列重大成就，赢得了极高的国际声誉。请你根据划线部分内容举出一个例子。 　　 17． （2024春•郧阳区期中）食品店买来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 18．（2021秋•清城区期末）分桃子。 一共有32个桃子，如果2个装一盘，能正好装完吗？如果5个装一盘，能正好装完吗？为什么？ 18． （2023秋•柘城县期末）某工厂有男职工96人，女职工72人，再一次劳动中分成小组，要求每个小组的男职工人数相等，女职工人数也相等，最多能分成多少个小组？每个小组有多少人？ 19． （2023秋•郫都区期末）一间长，宽的书房地面要铺正方形地砖，为了不影响美观，方砖不切割，下面三种型号的方砖中选一种既符合要求又节约用钱的方砖，选哪一种？需要用多少块方砖？共需多少钱？ 21．（2024春•沛县期中）一个自然数的倍数总是　　它的因数． A．大于 B．小于 C．等于 D．不小于 22．（2023秋•无棣县期末）下列描述中，说法错误的是　　 A．大于2的偶数都是合数。 B．将15分解质因数是：。 C．个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。 D．31既是奇数也是质数。 23．（2023秋•贵阳期末）暑假期间，小明、小华、小强三个小朋友去游泳馆游泳，小明每2天去一次，小华每3天去一次，小强每4天去一次，三人在8月1日同时来到游泳馆，下一次同时来的日期是　　 A．8月9日 B．8月13日 C．8月15日 D．无法确定 24．（2023秋•华州区期末）某校要派一些学生参加公益活动，要求人数在之间，把这些学生不管是分成6人一组，还是9人一组，都正好分完。参加这次公益活动的学生至少有　　人。 A．78 B．66 C．54 D．72 25．（2023秋•赤坎区期末）若、均为非零自然数），则、的最小公倍数是　　 A． B． C． D．2 26．（2024春•阿荣旗期末）李阿姨家的月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨5月1日给月季和君子兰同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是5月 　　日。 27．（2023秋•泉州期末）在一个长，宽的房间地面上铺正方形地砖，为了确保不浪费，正方形地砖的边长最长是 　　分米，一共需要 　　块地砖。（地砖的边长要求是整分米数） 28．（2014春•相城区期末）16和18的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　． 29．（2023秋•延庆区期末）16的因数有 　　；24的因数有 　　； 　　既是16的因数，又是24的因数。 30．两个数的最小公倍数是150，最大公因数是10，并且这两个数没有倍数的关系．这两个数的和是　 　． 31．（2022秋•东昌府区期末）一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，周长是24米，这个长方形的面积是多少？ 32．（2021秋•阜南县期末）把下面的数填入相应的类别。 33． 食品店运来120个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？ 34．（2023秋•临安区期末）周末，妈妈和佳佳用烤箱烤了一炉饼干。 （1）烤饼干之前必须先将烤箱预热10分钟，然后才能开始烤，烤熟饼干需要18分钟，如果妈妈开始预热烤箱，那么饼干烤熟出炉的时间是 　　。 （2）佳佳挑出了31块饼干，打算把它们装袋送给朋友们品尝，有两种包装袋，一种是塑料袋，每袋装5块，另一种是纸袋，每袋装3块。如果每袋都装满，怎样装能恰好装完？ （3）佳佳：剩下的饼干块数比30多，比40少。妈妈：我把剩下饼干的装在小桶里，把装在大桶里，正好装完。（都是整块的） 问：大桶、小桶可能各装了多少块饼干？用你喜欢的方式解决这个问题。写出你的思考过程和结论。 35．（2022秋•未央区期末）丁丁家卫生间地面是一个长方形，长，宽。如果要选择正方形方砖来铺这个地面，且恰好铺满。（方砖不可切割，方砖的边长取整分米数） （1）符合条件的方砖有几种？请表示出你的思考过程。 （2）要使方砖的块数最少，每块方砖的面积是多少？ 36． （2023春•鱼台县期末）五年级学生参加植树活动，人数在之间．如果分成3人一组，4人一组或者6人一组都恰好分完．五年级参加植树活动的学生有多少人？ 37． （2022秋•吴中区校级期末）一间卧室长40分米，宽28分米，要铺上正方形瓷砖，尽量不破坏整个瓷砖来进行铺地，正方形瓷砖的边长最大是多少分米？共需要这样的瓷砖多少块？ 38．（2021秋•如东县期末）一个班学生人数接近50人，分别按8人和12人分组，学生都正好分完．这个班共有多少人？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级上册期末复习知识梳理真题汇编精讲练（共73题） 专题3 倍数与因数 (9个考点讲练+培优拔尖真题训练） 目录 导图索引 2 温故知新 2 知识点01：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法 2 知识点02：找因数和质数 2 易错提示 3 易错知识点01：倍数与因数的认识及求法 3 易错知识点02：2、5、3的倍数的特征 3 易错知识点03：奇数偶数质数合数 3 期末真题考点讲练 3 考点讲练1：奇数与偶数的初步认识 3 考点讲练2：公倍数和最小公倍数 5 考点讲练3：因数、公因数和最大公因数 7 考点讲练4：求几个数的最大公因数的方法 9 考点讲练5：求几个数的最小公倍数的方法 10 考点讲练6：合数与质数的初步认识 12 考点讲练7：合数分解质因数 13 考点讲练8：2、3、5的倍数特征 14 考点讲练9：公因数和公倍数应用题 16 培优真题汇编训练 18 拔尖真题汇编训练 26 知识点01：倍数与因数-倍数、因数的意义和求一个数的倍数的方法 1.找一个数的倍数就是将这个数依次乘1，2，3，4 ， 5······ 2.一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数就是它本身。 3. 2、5的倍数的特征与奇偶数 （1）5的倍数个位上是0或5。 （2）2的倍数个位上是0、2、4、6、8。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的数个位上的数字一定是0； （4）是2的倍数的数叫偶数；不是2的倍数的数叫奇数。 4. 3的倍数的特征 3的倍数好判断，计算各位数字和，只要是3的倍数，此数定是3的倍数。 知识点02：找因数和质数 1.找一个数的全部因数的方法： （1）找某数的因数很容易，借助乘法算式依次找； （2）最小因数都是1； （3）最大因数是自己； 2. 找质数的方法： （1）质数的因数只有1和它本身； （2）合数除1和它本身以外还有别的因数； （3）除0和2以外，所有的偶数都是合数。 易错知识点01：倍数与因数的认识及求法 1.因数与倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是倍数或因数。 2.只在自然数（0除外）范围内研究倍数与因数，所以小数之间不存在倍数与因数的关系。 3.不是所有能除尽的算式都存在倍数与因数关系。 4. 找一个数的因数时不要忘记了１和它本身这两个因数。 易错知识点02：2、5、3的倍数的特征 1.0是2的倍数，0也是偶数，自然数中最小的偶数是0，没有最大的偶数。 2.1—9每个数的倍数都是有规律的，可以牢记这个规律，也可以用麻烦的办法去求。 3.2的倍数一定是偶数，各个数位上数字之和是3的倍数的数一定是3的倍数。 4.同时是2，3的倍数的特征，个位上的数必须是0，2，4，6，8且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的特征，个位上必须是0或5，且各个数位上数字之和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的特征，各个数位上数字之和是3的倍数，且个位上是0。 易错知识点03：奇数偶数质数合数 1.奇数不一定只有1和它本身两个因数，还可能有其他因数。 2.最小的奇数是1，最小的质数是2，最小的合数是4。 考点讲练1：奇数与偶数的初步认识 【母题】（2023秋•岱岳区期末）下列说法中正确的是　　 A．所有的质数都是奇数。 B．最小的质数和合数都是偶数。 C．一个非0自然数一定有2个因数。 D．与奇数相近的是偶数，与质数相邻的是合数。 【思路点拨】是质数，2不是奇数； 最小的质数是2，最小的合数是4，它们都是偶数； 的因数只有1； 与奇数相近的是偶数，与质数相邻的不一定是合数，例如2。 【规范解答】解：是质数，2不是奇数；故原题说法错误； 最小的质数是2，最小的合数是4，它们都是偶数；故原题说法正确； 的因数只有1；故原题说法错误； 与奇数相近的是偶数，与质数相邻的不一定是合数，例如2。故原题说法错误。 故选：。 【考点评析】此题考查了奇数与偶数、合数与质数的初步认识，要求学生掌握。 【训练1】（2023秋•泉州期末）被称为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想，是数学中一个著名的难题。猜想认为：每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数（即奇质数）之和。下列式子中能反映这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】既是奇数又是质数的数叫奇素数，要反映每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，一要看这个数是大于4的偶数，二是写成两个数的和中的每个加数必须都是奇素数。 【规范解答】解：，中的45是奇数也是合数； 中的数40是偶数，11和29是质数，符合条件； 中的38不是质数； 中的18是合数不是质数，1不是质数。 故选：。 【考点评析】此题要反映这个猜想必须具备两个条件：一个数是大于4的偶数，并且表示出两个奇素数的和。 【训练2】（2021秋•平原县期末）三个连续奇数的和是45，这三个奇数分别是 　13，15，17　，其中最小的一个奇数至少再加 　　就是3的倍数，最大的奇数至少加 　　就是合数，并把这个合数分解质因数是 　　。 【思路点拨】三个连续奇数的和是45，用求出中间的一个，根据相邻奇数之间相差2，分别用减2和加2求出另外两个数，各个数位上的数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，合数是除了1和它本身，还有其他约数的数。据此解答。 【规范解答】解： 所以三个连续奇数的和是45，这三个奇数分别是13，15，17。 6是3的倍数，15也是3的倍数。 所以其中最小的一个奇数至少再加2就是3的倍数。 18是合数 所以最大的奇数至少加1就是合数。 把18分解质因数是： 故答案为：13，15，17；2；1；。 【考点评析】本题考查了有关奇数，3的倍数，合数的知识及分解质因数的方法。 考点讲练2：公倍数和最小公倍数 【母题】（2023秋•甘井子区期末）关于6和10的公倍数，下面说法不正确的是　　 A．它们的公倍数是它们最小公倍数的倍数。 B．它们公倍数的个数是无限的。 C．它们的公倍数是它们公因数的倍数。 D．它们的最小公倍数是60。 【思路点拨】对于选项，根据公倍数和最小公倍数的定义即可判断选项说法是否正确； 对于选项，根据公倍数的定义即可判断选项说法是否正确； 对于选项，根据公倍数和公约数的定义即可判断选项说法是否正确； 对于选项，根据最小公倍数的求法，求出6和10的最小公倍数，即可判断选项说法是否正确。 【规范解答】解：选项，最小公倍数是指两个数的公倍数之中最小的数，所以最小公倍数和其他公倍数之间是倍数关系，故选项说法正确； 选项，两个数的最小公倍数有无数个，故选项说法正确； 选项，两个数的公因数，一定是这两个数的因数，所以也一定是这两个数的公倍数的因数，因此两个数的公倍数是他们的公因数的倍数，故选项说法正确； 选项，6和10的最小公倍数是30，故选项说法错误。 故选：。 【考点评析】本题主要考查两个数的公倍数、最小公倍数的性质，关键是要理解公倍数、最小公倍数的定义。 【训练1】（2022秋•天府新区期末）在20、11、44、18、25、60中，2、3、5的公倍数有 　60　。 【思路点拨】由于2、3、5互质，所以2、3、5的最小公倍数是它们的乘积，最小公倍数的倍数都是它们的公倍数。 【规范解答】解：，30是2、3、5的最小公倍数，60是30的倍数，所以在20、11、44、18、25、60中，2、3、5的公倍数有60。 故答案为：60。 【考点评析】此题需要学生熟练掌握求几个数最小公倍数的方法。 【训练2】五（1）班学生不到60人，进行队列表演，每行12人或者每行16人都正好每行同样多人，这个班的学生共有　48　人． 【思路点拨】由题意得：要求这个班有多少人，因为这个班的学生不到60人，所以也就是求12和16的最小公倍数是多少，根据求两个数的最小公倍数的方法进行解答即可． 【规范解答】解：， ， 因为这个班的学生不到60人， 所以12和16的最小公倍数为：； 答：这个班有48人． 故答案为：48． 【考点评析】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答． 【训练3】填数． 【思路点拨】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；两个公有的因数叫做这两个数的公因数，其中最大的一个就是它们的最大公因数；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大倍数；两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小一个就是它们的最小公倍数． 【规范解答】解： 【考点评析】此题考查的目的是理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义以及求法． 考点讲练3：因数、公因数和最大公因数 【母题】（2022秋•永春县期末）下面　　组数的公因数只有1。 A．7和14 B．24和25 C．17和51 D．48和50 【思路点拨】根据互质数的含义：公因数只有1的两个数叫做互质数；据此依次分析、即可得出结论。 【规范解答】解：、7和14不是互质数，除了1之外还有其它的公因数7，不符合题意； 、24和25是互质数，只有公因数1，符合题意； 、17和51不是互质数，除了1之外还有其它的公因数17，不符合题意； 、48和50不是互质数，除了1之外还有其它的公因数2，不符合题意。 故选：。 【考点评析】本题考查了公因数的意义，解答此题的关键是：判断两个数是不是只有公因数1，只要看这两个数是不是互质数即可。 【训练1】（2021秋•于洪区期末）18的因数有 　1、2、3、6、9、18　，24的因数有 　　，18和24的公因数有 　　，最大公因数是 　　。 【思路点拨】首先找一个数的因数，可以一对一对的找，把18和24分别写出两个数的乘积，然后每一个乘积中的因数都是它们的因数，再写出18和24的公因数和最大公因数是多少即可。 【规范解答】解：因为，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18； 因为，所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 所以18和24的公因数有：1、2、3、6，最大公因数是6。 即：18的因数有1、2、3、6、9、18，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，18和24的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。 故答案为：1、2、3、6、9、18；1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、3、6；6。 【考点评析】此题考查了找一个数的因数和找两个数的公因数、最大公因数的方法，要熟练掌握。 【训练2】（2022秋•成华区期末）如图，这幅图的内容完全正确。 　　（判断正误） 【思路点拨】根据找一个数的因数的方法找出12和18的因数，然后根据两个数公有的因数叫做这两个数的公因数，找出它们的公因数即可。 【规范解答】解： 12的因数有：1、2、3、4、6、12 18的因数有：1、2、3、6、9、18 12和18的公因数有：1、2、3、6。 18的因数中没有8，并且缺少18，所以题干错误。 故答案为：。 【考点评析】此题主要考查了找一个数的因数的方法和公因数的意义。 【训练3】（2015秋•红花岗区期末）7和13的公因数只有1．　　．（判断对错） 【思路点拨】7是质数、13也是质数，所以7和13是互质数，那么它们的公因数只有1．据此判断即可． 【规范解答】解：因为7是质数、13也是质数，所以7和13是互质数，那么它们的公因数只有1． 因此，7和13的公因数只有1．这种说法是正确的． 故答案为：． 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握公因数的意义以及求两个数的公因数的方法及应用． 考点讲练4：求几个数的最大公因数的方法 【母题】（2023秋•沈河区期末）如果、是非0自然数），则、的最大公因数是　　 A． B． C．1 D．无法确定 【思路点拨】如果、是非0自然数），则、互质，互质的两个数的最大公因数是1。据此解答。 【规范解答】解：如果、是非0自然数），则、互质，所以、的最大公因数是1。 故选：。 【考点评析】明确互质的两个数的最大公因数是1是解题的关键。 【训练1】（2023秋•渭滨区期末）54和36的最大公因数是 　18　；12和18的最小公倍数是 　　。 【思路点拨】先分解质因数，两数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数。据此解题。 【规范解答】解： 所以，54和36的最大公因数是18； 所以，12和18的最小公倍数是36。 【考点评析】熟悉最小公倍数和最大公因数的求法是解决本题的关键。 【训练2】（2023秋•岷县期末）和为非0自然数，，那么和的最大公因数是 　　，最小公倍数是 　　。 【思路点拨】当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数，据此解决即可。 【规范解答】解：因为，、是不为0的自然数， 最大公因数是：， 最小公倍数是：。 故答案为：，。 【考点评析】明确当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数是解决本题的关键。 【训练3】（2023春•新北区校级期末）把45厘米、60厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余． （1）每根短彩带最长是多少厘米？ （2）一共可以剪成多少段？ 【思路点拨】要把两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根彩带最长是多少厘米，就是求45、60的最大公因数，求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，可以先分别把这两个数分解质因数，再把这两个数的公有质因数相乘，最后用两条彩带的总厘米数除以每段长度求剪成的段数，由此解决问题即可． 【规范解答】解：， ， 所以45和60的最大公因数是：， ， ， （根； 答：每根彩带最长是15厘米，一共能剪成这样长的短彩带7根． 【考点评析】此题主要考查应用求最大公因数的知识解决实际问题，注意求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积． 考点讲练5：求几个数的最小公倍数的方法 【母题】（2024春•舞钢市期末）一筐苹果，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完没有余数。这筐苹果最少应有　　个。 A．30 B．60 C．90 D．120 【思路点拨】一筐苹果，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完没有余数，说明3、4、5的最小公倍数是这筐苹果的最少个数，根据三个数互质的最小公倍数是这三个数的乘积解答。 【规范解答】解：3、4、5的最小公倍数是： 答：这筐苹果最少应有60个。 故选：。 【考点评析】明确这筐苹果最少应有的个数就是3、4、5的最小公倍数是解题的关键。 【训练1】（2021秋•雁塔区期末）某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人．这个学校五年级至少有　　名学生． A．90 B．107 C．105 D．210 【思路点拨】由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数，求至少就是3、5、7的最小公倍数加2，据此解答． 【规范解答】解；：3、5、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积； 3、5、7的最小公倍数：； （名； 答：所以这个学校五年级至少有107名学生． 故选：． 【考点评析】解答本题关键是由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数． 【训练2】（2022秋•光明区期末）20和24的最大公因数是 　4　； 3和10的最小公倍数是 　　。 【思路点拨】求两个数的最大公因数和最小公倍数，首先把这两个数分别分解质因数，它们公有质因数的乘积就是它们的最大公因数；它们公有的质因数和各自单独有的质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；如果两个数互质数，它们的最大公因数是1；最小公倍数是它们的乘积；据此解答； 【规范解答】解： 20和24的最大公因数是： 3和10的最小公倍数是： 故答案为：4；30。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握求两个数的最大公因数、最小公倍数的方法。 【训练3】（2020秋•西安期末）6和10的最小公倍数是30。 　　（判断对错） 【思路点拨】利用分解质因数的方法找出6和10的最小公倍数，然后判断正误。 【规范解答】解： 6和10的最小公倍数是：，本题说法正确。 故答案为：。 【考点评析】本题考查的是求几个数的最小公倍数的方法。 考点讲练6：合数与质数的初步认识 【母题】（2023秋•平原县期末）下列说法正确的是　　 A．所有的偶数都是合数。 B．两个质数的和一定是合数。 C．一个数的最大因数一定是它的最小倍数。 【思路点拨】自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数；只有1和它本身两个因数的数叫作质数（素数），除了1和它本身，还有其他因数的数叫作合数。一个数的最大因数一定是它的最小倍数。 【规范解答】解：．2是偶数但是不是合数，故原题错误； ．，2是质数，3也是质数，5也是质数，故原题错误； ．9最大的因数是9，最小的倍数也是9，所以一个数的最大因数一定是它的最小倍数，故原题正确。 故选：。 【考点评析】此题考查了质数与合数、偶数奇数、因数与倍数的含义。 【训练1】（2023秋•坪山区期末）哥德巴赫猜想：“任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数的和”。下面的算式中符合这个猜想的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数，质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数。偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数。 【规范解答】解：，偶数16可以表示成两个质数3个13的和。 故选：。 【考点评析】本题考查的主要内容是偶数，质数的应用问题。 【训练2】（2023秋•渭滨区期末）在的自然数中，质数有 　4　个，奇数有 　　个。 【思路点拨】根据质数、奇数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；整数中，不能2整除的数叫奇数；由此解答。 【规范解答】解：在的自然数中，是质数的数是：2、3、5、7；是奇数的数是1、3、5、7、9。 在的自然数中，质数有4个，奇数有5个。 故答案为：4，5。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握质数、奇数的意义。 【训练3】填质数： 　3　　 　 　 　　 　　 　． 【思路点拨】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．再根据100以内的质数表进行解答． 【规范解答】解： ． 故答案为：3，37，3，5，13． 【考点评析】此题主要考查质数的意义以及100以内的质数表． 考点讲练7：合数分解质因数 【母题】（2021秋•禹城市期末）把36分解质因数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 【规范解答】解： 故选：。 【考点评析】本题主要考查合数分解质因数，关键是合数分解质因数的计算方法。 【训练1】（2023秋•东昌府区期末）下面式子中属于分解质因数的是　　 A． B． C． 【思路点拨】把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来叫做分解质因数，据此分析解答． 【规范解答】解：选项、因数1不是质数，所以不是分解质因数； 选项、将42分解为2、3、7三个质数相乘的形式，即将42分解质因数． 选项、因数9为合数，所以不是分解质因数； 故选：． 【考点评析】完成本题时要注意1不是质数也不是合数． 【训练2】（2023秋•市南区期末）一个合数至少有 　3　个因数，把42分解质因数是 　　。 【思路点拨】①合数是指一个大于1的自然数，除了1和它本身两个因数外，还有其它的因数。根据合数的意义解答即可； ②分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【规范解答】解：一个合数至少有3个因数，把42分解质因数是。 故答案为：3，。 【考点评析】此题考查合数的意义：合数含有3个以上的因数，及其把一个合数分解质因数的方法。 【训练3】（2023秋•历下区期末）分解质因数。 25、32、21、70、65 【思路点拨】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【规范解答】解： 【考点评析】熟练掌握合数分解质因数的方法是解题的关键。 考点讲练8：2、3、5的倍数特征 【母题】（2023秋•厦门期末）妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。每支玫瑰3元，每支郁金香5元，每支马蹄莲10元，妈妈付了50元，找回的钱不可能是　　 A．5元 B．10元 C．13元 D．25元 【思路点拨】因为10的倍数的个位是0，根据5的倍数的特点可知，5的倍数的个位是0或5，所以花费的钱数的个位应是0或5，找回的钱数的个位数应是5或0；据此判断即可。 【规范解答】解：因为10的倍数的个位是0，5的倍数的个位是0或5，所以花费的钱数的个位应是0或5，找回的钱数的个位数应是5或0，本题中妈妈付了50元，售货员找回的钱不可能是13元。 故选：。 【考点评析】灵活掌握5的倍数的特点，是解答此题的关键。 【训练1】（2023秋•青岛期末）42□这个三位数，既是2的倍数，又是3的倍数，□中有　　种填法。 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据2和3的倍数特征解答即可。2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8；3的倍数特征：各个数位上的数相加的和能被3整除。 【规范解答】解：是2的倍数，这个三位数是420、422、424、426、428； 是3的倍数，、、、，这个三位数，420、423、426、429； 既是2的倍数，又是3的倍数，这个三位数是420、426，□中有2种填法。 故选：。 【考点评析】解答这道题的关键是熟练掌握2和3的倍数特征。 【训练2】（2023秋•沈阳期末）作为亚运会主场馆的杭州奥体博览城核心区占地1543700平方米，下列选项中错误的一项是　　 A．横线上的数是2的倍数 B．横线上的数是5的倍数 C．横线上的数既是2的倍数，又是5的倍数 D．横线上的数既是3的倍数，又是5的倍数 【思路点拨】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数，3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数，如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 【规范解答】解：1543700末尾是0，是2的倍数，也是5的倍数； 1543700不是3的倍数。 故选：。 【考点评析】本题考查的主要内容是2、3、5的倍数问题。 【训练3】（2023秋•东明县期末）一个四位数372□，写出所有答案。 （1）要使它是2的倍数，□可以是 　0、2、4、6、8　。 （2）要使它是5的倍数，□可以是 　　。 （3）要使它是3的倍数，□可以是 　　。 （3）要使它既含有因数2，又含有因数3，又含有因数5的数，□可以是 　　。 【思路点拨】（1）根据2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，据此解答即可； （2）5的倍数的特征：个位上是0或5的数，根据特征分析解答即可； （3）根据3的倍数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除；进行解答即可； （4）要使它同时是2、3、5的倍数，个位上必须是0。 【规范解答】解：一个四位数是372□， （1）要使它是2的倍数，□里可以填0、2、4、6、8； （2）要使它是5的倍数，□里可以填0、5； （3）要使它是3的倍数，因，12分别加上0、3、6、9的和都是3的倍数，所以□里可以填0、3、6、9； （4）要使它同时是2、3、5的倍数，□中可以填0。 故答案为：0、2、4、6、8；0、5；0、3、6、9；0。 【考点评析】本题主要考查能被2、3、5数的特征，注意牢固掌握能被2、3、5数的特征；注意基础知识的灵活运用。 考点讲练9：公因数和公倍数应用题 【母题】（2023秋•双流区期末）淘气家的厨房（如图）进行装修，不进行切割的情况下选边长　　的地砖最合适。 A．4分米 B．5分米 C．6分米 D．8分米 【思路点拨】求出30和24的最大公因数，即可解答。 【规范解答】解： 30和24的最大公因数是。 答：不进行切割的情况下选边长6分米的地砖最合适。 故选：。 【考点评析】本题考查的是最大公因数应用题，掌握求最大公因数的方法是解答关键。 【训练1】（2023秋•夏邑县期末）五（1）班有十几位同学参加学校举行的艺术节活动，无论是每排4人，还是每排6人，都多2人。五（1）班有多少人参加活动？下面观点正确的是　　 A．壮壮：“等于10，再加2，五（1）班有12人参加活动” B．安安：“4和6的公倍数是24，应该有24人参加” C．乐乐：“4和6的最小公倍数是12，再加2，五（1）班有14人参加活动” 【思路点拨】无论是每排4人，还是每排6人，都多2人，说明总人数比6和4的公倍数多2，先求出6和4的最小公倍数，根据五（1）班有十几位同学参加，确定人数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】解： （人 （人 ．每排4人或每排6人，12人刚好，不符合题意； ．五（1）班有十几位同学参加，人数在10和20之间，不符合题意； ．4和6的最小公倍数是12，再加2，五（1）班有14人参加活动，符合题意。 故选：。 【考点评析】本题考查的是最小公倍数应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。 【训练2】（2023秋•历下区期末）五年级一班的学生分组扫雪，2人一组余1人，3人一组余1人，5人一组也余1人，这个班至少有多少人？ 【思路点拨】要求这个班至少有多少人，根据题意，也就是求比2、3和5的最小公倍数多1的数是多少． 【规范解答】解： 2、3和5的最小公倍数是30， （人 答：这个班至少有学生31人． 【考点评析】解决此题关键是把要求的问题，转化成是求比2、3和5的最小公倍数多1的数是多少，再根据求几个数最小公倍数的方法求解即可． 【训练3】（2023春•南岸区期末）小明家贮藏室长16分米，宽12分米，如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（砖须整块），可以选择边长是几分米的地砖？最长是几分米？ 【思路点拨】先求出16和12的公因数，即是可以选择地砖的边长；找出16和12的最大公因数，即为正方形地砖最大的边长，据此解答． 【规范解答】解：（1）16和12的公因数有：1、2、4 所以可以选择边长是1分米、2分米、4分米的地砖； （2）， 所以16和12的最大公因数是，即正方形地砖的边长最长是4分米； 答：可以选择边长是1分米、2分米、4分米的地砖，最长是4分米． 【考点评析】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数． 1．（2023秋•渭滨区期末）一个数是合数，下面说法错误的是　　 A．它不可能是质数 B．它至少有三个因数 C．它可能是偶数也可能是奇数 D．它一定是2的倍数 【思路点拨】一个非0的自然数，除了1和它本身外没有别的因数的数，叫质数，还有其它因数的，叫合数；合数至少有三个因数；能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数，据此解答． 【规范解答】解：一个数是合数，它不可能是质数，所以选项正确； 根据合数的概念可知：合数至少有三个因数，所以选项正确； 比如：8是偶数，9是奇数，但8和9都是合数，所以选项正确； 比如：9是合数但不是2的倍数，所以选项不正确； 故选：． 【考点评析】解答本题要明确奇数，偶数，质数，合数的概念，注意质数、合数与奇数、偶数的分类标准不相同． 2．（2023秋•兰溪市期末），下列结论错误的是　　 A．24是840的因数 B．35是840的因数 C．840是24的倍数 D．840的因数只有24和35 【思路点拨】若整数能够被整除，叫做的倍数，就叫做的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【规范解答】解：，下列结论错误的是840的因数只有24和35，因为840的因数还有很多。 故选：。 【考点评析】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 3．（2023秋•岱岳区期末）用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是　　 A．2的倍数 B．3的倍数 C．5的倍数 D．无法确定 【思路点拨】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【规范解答】解：用5、6、7三个数字任意组成一个三位数，这个三位数一定是3的倍数。 故选：。 【考点评析】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。 4．（2024春•舞钢市期末）在非0的自然数中，既不是质数，也不是合数的是　1　． 【思路点拨】自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外，还有别的因数的数为合数．由此可知，在非0的自然数中，既不是质数，也不是合数的是1． 【规范解答】解：根据质数与合数的意义可知， 在非0的自然数中，既不是质数，也不是合数的是1． 故答案为：1． 【考点评析】质数只有两个因数，合数最少有三个因数，1只有1个因数，即它本身． 5．（2024春•海城市期末）三个连续奇数的和是177，这三个数的平均数是　59　，其中最大的数是　　． 【思路点拨】（1）由平均数总数量总个数先求出平均数； （2）由于是连续的奇数，则每相邻的两个奇数相差2，则平均数是中间的数，最大的数比平均数大2． 【规范解答】解：（1）平均数为：； （2）． 故答案为：59，61． 【考点评析】解决本题要先求出平均数，再结合3个连续奇数的特点解答，即每相邻的两个奇数相差2，则平均数是中间的数，最大的数比平均数大2． 6．（2023秋•兰溪市期末）用“3”、“0”、“4”、“5”中的3个数，组成一个同时是2，3，5的倍数的数，这个数有 　2　种不同的情况。 【思路点拨】同时是2、3、5的倍数的数的个位数字一定是0，且各个数位上数字之和是3的倍数。 【规范解答】解： 9能被3整除，7、8不能被3整除。 所以这个数是由0、4、5组成，有2种不同的情况。 故答案为：2。 【考点评析】本题考查了2、3、5的倍数特征，要熟练掌握。 7．（2023秋•岱岳区期末）有一个三位数，如何这个三位数是3的倍数，那么可能是 　1、4、7　；如果这个数即使2的倍数也是5的倍数，那么就是 　　。 【思路点拨】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6或8； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【规范解答】解：这个三位数是3的倍数，，12是3的倍数，381是3的倍数； ，15是3的倍数，384是3的倍数； ，18是3的倍数，387是3的倍数。 那么可能是1、4、7。 这个数即使2的倍数也是5的倍数，个位数字必须是0，那么就是0。 故答案为：1、4、7；0。 【考点评析】熟练掌握2、3、5的倍数特征是解答本题的关键。 8．（2023秋•渭滨区期末）三位数“31□”既是偶数，也是3的倍数，“□”里可能是 　2　或 　　。 【思路点拨】三位数“31□”既是偶数，也是3的倍数，个位上是0、2、4、6、8，同时要要满足各个数位上的数字相加的和是3的倍数。据此解答。 【规范解答】解： 4不是3的倍数。 6是3的倍数。 8不是3的倍数。 10不是3的倍数。 12是3的倍数。 故“□”里可能是2或8。 故答案为：2，8。 【考点评析】本题考查了3的倍数特征。 9．（2024春•宜春期末）一个非0的自然数，不是质数就是合数。 　　（判断对错） 【思路点拨】根据质数、合数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；1既不是质数也不是合数；据此判断即可。 【规范解答】解：自然数根据因数个数的多少可以分为：质数、合数和1三类； 因此，一个非0的自然数不是质数就是合数，此说法错误。 故答案为：。 【考点评析】此题考查的目的是理解质数、合数的意义，明确：1既不是质数也不是合数。 10．（2024春•商水县期末）两个数的最小公倍数一定比这两个数大。 　　（判断对错） 【思路点拨】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。据此解答即可。 【规范解答】解：两个数的最小公倍数不一定比这两个数大，例如3和6的最小公倍数是6。 所以原题说法错误。 故答案为：。 【考点评析】明确两个数为倍数关系时，这两个数的最小公倍数是较大的数是解题的关键。 11．（2021秋•三原县期末）面包师要把28块面包用塑封袋进行包装，每个塑封袋装同样多，袋数大于1且小于28，共有几种包装方法？ 【思路点拨】根据题意，面包师要把28块面包用塑封袋进行包装，每个塑封袋装同样多，袋数大于1且小于28，求共有几种包装方法，就是求28的因数，但不包括1和28本身，据此解答。 【规范解答】解：28的因数有1、18、2、14、4、7。 所以每袋2块，装14袋； 每袋14块，装2袋； 每袋4块，装7袋； 每袋7块，装4袋。 答：共有4种包装方法。 【考点评析】本题的关键是求出28的因数，但是根据题意，具体运用时不包括1和28本身。 12．（2021秋•南安市期末）张阿姨去华莱士买汉堡，已知每个汉堡的价格是5元，张阿姨付给收银员40元，找回8元。你认为收银员找给张阿姨的钱对吗？请说明理由。 【思路点拨】5的倍数特征是：个位上是0或5的数；由每个汉堡的价格是5元，则她花的钱数一定是5的倍数，即她花的钱数一定是几十元，或几十五元，据此解答。 【规范解答】解：由分析可知：收银员找给张阿姨的钱不对，因为张阿姨花的钱数一定是几十元，或几十五元，付给的钱是40元，所以找回的钱一定是整十元或带有五元的钱，所以找回8元是不对的。 【考点评析】本题主要考查5的倍数特征是：个位上是0或5的数。 13．（2023秋•武功县期末）有56瓶饮料，选哪种包装盒能正好把这些饮料全部装完？ 4瓶盒 5瓶盒 【思路点拨】根据整除的意义，谁能整除56，就选哪种包装盒的，据此解答即可。 【规范解答】解： 答：选4瓶盒包装盒能正好把这些饮料全部装完。 【考点评析】依据整除的意义解决问题。 14．（2022秋•南安市期末）明明在分糖果时遇到这样的问题： 一共有88颗糖果，自己留下了10颗，剩下的平均分给5个小朋友。 明明想：我至少再放回多少颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果的数量是整数？请结合文字或算式等方式进行说理。 【思路点拨】一共有88颗糖果，自己留下了10颗，剩下的颗不能平均分给5个小朋友。求大于的5的倍数最小是多少，即可找到答案。 【规范解答】解：（颗 （颗 （颗 答：明明至少再放回2颗糖果，就能使每个小朋友分到的糖果的数量是整数。 【考点评析】本题主要考查5的倍数的特征。 15．（2021秋•莲都区期末）自主探索。 任何一个大于1的整数，要么是一个质数，要么是若干个质数的乘积。 （1）认真阅读学习材料，照样子把下面整数写成几个质数相乘的形式。 　2　　　　　　　　　 （2）有人把质数称为自然数的“数根”，广泛应用于金融、密码及网络安全技术中，生活中的一些问题也常常用这样的方法来解决： 王奶奶要给三位年龄不同的小朋友过生日，已经知道他们的年龄乘积是693。三位小朋友的年龄分别是多少岁？ 【思路点拨】（1）分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解； （2）把693分解质因数即可解答。 【规范解答】解：（1） （2） 所以三位小朋友的年龄分别是（岁、7岁、11岁。 答：三位小朋友的年龄分别是9岁、7岁、11岁。 故答案为：2，13；3，5，7。 【考点评析】根据题中提供的信息，把合数分解质因数即可解答。 16．（2021秋•城阳区期末）阅读并举例。 伟大数学家陈景润在研究著名的“哥德巴赫猜想”（任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式）中取得了一系列重大成就，赢得了极高的国际声誉。请你根据划线部分内容举出一个例子。 　（答案不唯一）　 【思路点拨】根据偶数、奇数、质数、合数的意义，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。据此解答即可。 【规范解答】解： 故答案为：（答案不唯一）。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握偶数、奇数、质数、合数的意义及应用。 17．（2024春•郧阳区期中）食品店买来85个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【思路点拨】能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；能被5整除的数的特征：个位上是0或5的数；再根据能被2、5整除的数的特征进行判断能否正好装完． 【规范解答】解：85个面包，如果每2个装一袋，不能正好装完，因为85的个位上是5，所以85不能被2整除； 如果每5个装一袋，能正好装完，因为85的个位上是5，所以85能被5整除； 答：如果每2个装一袋，不能正好装完；如果每5个装一袋，能正好装完． 【考点评析】此题考查能被2、5整除的数的特征及其运用． 18．（2021秋•清城区期末）分桃子。 一共有32个桃子，如果2个装一盘，能正好装完吗？如果5个装一盘，能正好装完吗？为什么？ 【思路点拨】一个数的个位上是0、2、4、6、8的数，这个数就是2的倍数；一个数的个位上的数字是0或5，这个数就是5的倍数；由于32的个位为2，所以不是5的倍数，是2的倍数，由此即可解答本题。 【规范解答】解：由分析可知，2个装一盘，能正好装完，因为32是2的倍数；5个装一盘，不能正好装完，因为32不是5的倍数。 【考点评析】本题主要考查了倍数的应用，解题的关键是掌握2、5的倍数特征。 19．（2023秋•柘城县期末）某工厂有男职工96人，女职工72人，再一次劳动中分成小组，要求每个小组的男职工人数相等，女职工人数也相等，最多能分成多少个小组？每个小组有多少人？ 【思路点拨】首先列举出96与72的所有因数，进而找出最大公因数，即为分成的小组数量；接下来算出每个小组中男职工与女职工的数量，然后进行求和即可。 【规范解答】解：分别求出96与72的所有因数： 96的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，96。 72的因数有1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72。 所以96与72的最大公因数为24。 （人 答：最多能分成24个小组，每个小组有7人。 【考点评析】本题是一道关于最大公因数应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握利用列举法求最大公因数的方法。 20．（2023秋•郫都区期末）一间长，宽的书房地面要铺正方形地砖，为了不影响美观，方砖不切割，下面三种型号的方砖中选一种既符合要求又节约用钱的方砖，选哪一种？需要用多少块方砖？共需多少钱？ 【思路点拨】分别求出书房和方砖的面积，符合美观需要方砖的面积是书房面积的因数，符合节约用钱需要每平方分米的费用要低，结合这两点即可解答本题。 【规范解答】解： 这三种不同型号的方砖面积中，36和9是720的因数，即符合要求的有方砖②和③。 方砖②每平方分米的价格为（元 方砖③每平方分米的价格为（元 ，即符合节约用钱的方砖是方砖②。 所以既符合要求又节约用钱的方砖是方砖②。 （块 （元 答：既符合要求又节约用钱的方砖选方砖②，需要用20块方砖，共需1080元钱。 【考点评析】本题考查了公因数的应用以及最优化方案的选择问题。 21．（2024春•沛县期中）一个自然数的倍数总是　　它的因数． A．大于 B．小于 C．等于 D．不小于 【思路点拨】一个数的最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身；据此判断即可． 【规范解答】解：因为一个数的最大因数是它本身，最小的倍数是它本身，所以一个自然数的倍数总是不小于它的因数， 故选：． 【考点评析】此题考查了因数和倍数意义，注意一个数的最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身． 22．（2023秋•无棣县期末）下列描述中，说法错误的是　　 A．大于2的偶数都是合数。 B．将15分解质因数是：。 C．个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。 D．31既是奇数也是质数。 【思路点拨】．整数中，是2的倍数的数叫做偶数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 ．分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 ．2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数；既是2的倍数又是5的倍数特征：个位上是0的数。 ．整数中，不是2的倍数的数叫做奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【规范解答】解：．大于2的偶数都是合数，原题说法正确； ．1不是质数，所以分解质因数中不能出现1；将分解质因数是：，原题说法错误； ．个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数，原题说法正确； ．31既是奇数也是质数，原题说法正确。 故选：。 【考点评析】熟练掌握合数、质数、奇数、偶数、2和5的倍数特征以及分解质因数的方法是解题的关键。 23．（2023秋•贵阳期末）暑假期间，小明、小华、小强三个小朋友去游泳馆游泳，小明每2天去一次，小华每3天去一次，小强每4天去一次，三人在8月1日同时来到游泳馆，下一次同时来的日期是　　 A．8月9日 B．8月13日 C．8月15日 D．无法确定 【思路点拨】求出2、3、4的最小公倍数，再用8月1日加上最小公倍数，即可解答。 【规范解答】解： 2、3、4的最小公倍数。 8月1日天月13日 答：下一次同时来的日期是8月13日。 故选：。 【考点评析】本题考查的是最小公倍数的应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。 24．（2023秋•华州区期末）某校要派一些学生参加公益活动，要求人数在之间，把这些学生不管是分成6人一组，还是9人一组，都正好分完。参加这次公益活动的学生至少有　　人。 A．78 B．66 C．54 D．72 【思路点拨】求出6和9的最小公倍数，再扩大合适倍数，即可解答。 【规范解答】解： 6和9的最小公倍数是：。 （人 答：参加这次公益活动的学生至少有72人。 故选：。 【考点评析】本题考查的是最小公倍数应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。 25．（2023秋•赤坎区期末）若、均为非零自然数），则、的最小公倍数是　　 A． B． C． D．2 【思路点拨】根据和是自然数，且，可知和是倍数关系，倍数关系的两个数的最小公倍数是较大数，据此解答。 【规范解答】解：由，得，可知和是倍数关系，，所以、的最小公倍数是。 故选：。 【考点评析】本题主要考查倍数关系的两个数的最小公倍数，倍数关系的两个数的最小公倍数是较大数。 26．（2024春•阿荣旗期末）李阿姨家的月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨5月1日给月季和君子兰同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是5月 　13　日。 【思路点拨】先求出两种花间隔天数的最小公倍数，再根据起点时间经过时间终点时间，推算出下次同时浇水日期。 【规范解答】解： （天 5月1日天月13日 答：下次再给这两种花同时浇水应该是5月13日。 故答案为：13。 【考点评析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 27．（2023秋•泉州期末）在一个长，宽的房间地面上铺正方形地砖，为了确保不浪费，正方形地砖的边长最长是 　6　分米，一共需要 　　块地砖。（地砖的边长要求是整分米数） 【思路点拨】根据题意，正方形地砖把房间的地面铺满，则地砖的边长是长、宽的公因数；地砖的最大边长就是长、宽的最大公因数：30、24分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可求出地砖的最大边长。再看长、宽分别有几个这样的最大公因数，最后相乘，求出地砖的块数。 【规范解答】解： 30和24的最大公因数是： 即正方形地砖的边长最大是6分米。 （块 （块 （块 即一共需要20块地砖。 故答案为：6；20。 【考点评析】明确长、宽的最大公因数是正方形地砖的最大边长是解题的关键。 28．（2014春•相城区期末）16和18的最大公因数是 　2　，最小公倍数是 　　． 【思路点拨】根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解． 【规范解答】解： 所以16和18的最大公因数是2，最小公倍数是； 故答案为：2，144． 【考点评析】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答． 29．（2023秋•延庆区期末）16的因数有 　1、2、4、8、16　；24的因数有 　　； 　　既是16的因数，又是24的因数。 【思路点拨】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。根据找一个数的因数的方法，分别找出16、24的因数，进而求出16和24的公因数。 【规范解答】解：16的因数有1、2、4、8、16； 24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24； 16和24的公因数有1、2、4、8。 故答案为：1、2、4、8、16；1、2、3、4、6、8、12、24；1、2、4、8。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握找一个数的因数的方法、求两个数的公因数的方法及应用。 30．两个数的最小公倍数是150，最大公因数是10，并且这两个数没有倍数的关系．这两个数的和是　80　． 【思路点拨】两个数独有的质因数的乘积是：，，又因为这两个数没有倍数的关系，所以不可能是1和15，否则的积就是积的倍数，与已知矛盾，因此这两个数只能是：，．据此解答即可． 【规范解答】解：，， 又因为大数不是小数的倍数，所以不可能是1和15，否则的积就是积的倍数，与已知矛盾，因此这两个数只能是： ， 故答案为：80． 【考点评析】本题考查了数的整除性问题，它实际是考查了求最小公倍数方法的逆用，关键理解最小公倍数最大公因数两个数独有的质因数这一关系． 31．（2022秋•东昌府区期末）一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，周长是24米，这个长方形的面积是多少？ 【思路点拨】一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，周长是24米，又长方形周长（长宽）米，则长宽米，在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数．据此即可确定此长方形的长与宽是多少米，然后求出面积即可． 【规范解答】解：由于（长宽）米， 即长宽米， 长与宽分别是以米为单位的质数． ， 即宽是5米，长是7米． 则长方形面积是平方米． 答：长方形的面积是35平方米． 【考点评析】根据长方形周长公式及质数的意义确定长方形的长与宽是完成本题的关键． 32．（2021秋•阜南县期末）把下面的数填入相应的类别。 【思路点拨】因数只有1和它本身的数是质数； 因数不只有1和它本身的数是合数； 个位数是0或者5的整数是5的倍数； 个位数是0、2、4、6、8的整数是2的倍数，各个数位上的数字之和是3的倍数这个整数就是3的倍数。 【规范解答】解： 【考点评析】掌握整数的特征是解题关键。 33．食品店运来120个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？ 【思路点拨】（1）根据能被2整除的特征：即个位上是0、2、4、6、8的数判断即可； （2）根据能被3整除的特征：各个数位上的数字之和能被3整除这个数就能被3整除； （3）根据能被5整除的特征：即个位上是0或5的数判断即可；判断即可． 【规范解答】解：（1）120个位是0，能被2整除， 所以每2个装一袋，能正好装完； 答：能正好装完． （2），能被3整除， 所以每3个装一袋，能正好装完； 答：能正好装完． （3）120个位上是0，能被5整除， 所以每5个装一袋，能正好装完； 答：能正好装完． 【考点评析】此题根据能被2、3、5整除的数的特征，解决实际问题． 34．（2023秋•临安区期末）周末，妈妈和佳佳用烤箱烤了一炉饼干。 （1）烤饼干之前必须先将烤箱预热10分钟，然后才能开始烤，烤熟饼干需要18分钟，如果妈妈开始预热烤箱，那么饼干烤熟出炉的时间是 　　。 （2）佳佳挑出了31块饼干，打算把它们装袋送给朋友们品尝，有两种包装袋，一种是塑料袋，每袋装5块，另一种是纸袋，每袋装3块。如果每袋都装满，怎样装能恰好装完？ （3）佳佳：剩下的饼干块数比30多，比40少。妈妈：我把剩下饼干的装在小桶里，把装在大桶里，正好装完。（都是整块的） 问：大桶、小桶可能各装了多少块饼干？用你喜欢的方式解决这个问题。写出你的思考过程和结论。 【思路点拨】（1）出炉时刻打开烤箱时刻预热时间烤熟时间； （2）根据，即5个塑料袋，2个纸袋，恰好装满且每袋都装满； （3）剩下饼干的装在小桶里，把装在大桶里，正好装完且都是整块的。即剩下的饼干块数是大于30块，小于40块的4的倍数，即剩下32块或36块。 【规范解答】解：（1）9时40分分分时8分 答：饼干烤熟出炉的时间是。 （2）（块 答：5个塑料袋，2个纸袋，恰好装满且每袋都装满。 （3）大于30，小于40且是4的倍数为32或36，即剩下的饼干块数为32块或36块。 （块，（块 （块，（块 答：大桶可能装了24块或27块饼干、小桶可能装了8块或9块饼干。 故答案为：。 【考点评析】本题考查了时间的计算、最优化问题的应用、公倍数问题的应用。 35．（2022秋•未央区期末）丁丁家卫生间地面是一个长方形，长，宽。如果要选择正方形方砖来铺这个地面，且恰好铺满。（方砖不可切割，方砖的边长取整分米数） （1）符合条件的方砖有几种？请表示出你的思考过程。 （2）要使方砖的块数最少，每块方砖的面积是多少？ 【思路点拨】（1）要选择正方形方砖来铺这个地面，且恰好铺满，即求30和24的最大公因数，求出符合的方砖即可； （2）要使方砖的块数最少，就时求最大需选边长为多少分米，即求30和24的最大公因数，再根据正方形的面积公式：，代入数据求解即可。 【规范解答】解：（1） 所以30和24的公因数有：1、2、3、6，即符合条件的方砖有4种：边长为、、和的正方形。 答：符合条件的方砖有4种。 （2）要使方砖的块数最少，即最大需边长为6分米的方砖。 答：要使方砖的块数最少，每块方砖的面积是。 【考点评析】此题主要考查求两个数的最公因数及最大公因数的方法及应用。 36．（2023春•鱼台县期末）五年级学生参加植树活动，人数在之间．如果分成3人一组，4人一组或者6人一组都恰好分完．五年级参加植树活动的学生有多少人？ 【思路点拨】即求之间的3、4、6的公倍数，根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可． 【规范解答】解：，， 3、4、6的最小公倍数是， 因为在之间，所以五年级植树的人数应为：（人； 答：五年级参加植树的学生有48人． 【考点评析】本题考查了公倍数应用题，解答此题的关键是先求出3、4和6的最小公倍数，进而结合题意，解答得出结论． 37．（2022秋•吴中区校级期末）一间卧室长40分米，宽28分米，要铺上正方形瓷砖，尽量不破坏整个瓷砖来进行铺地，正方形瓷砖的边长最大是多少分米？共需要这样的瓷砖多少块？ 【思路点拨】求正方形瓷砖的边长最大是多少就是求40和28的最大公因数是多少，按求最大公因数的方法求出边长，根据长方形的面积公式：，正方形的面积公式：，用长方体的面积除以每块瓷砖的面积即可． 【规范解答】解：，， 40和28的最大公因数为； （块 答：正方形瓷砖的边长最大是4分米，共需要这样的瓷砖70块． 【考点评析】此题主要考查求几个数的最大公因数并解决实际问题． 38．（2021秋•如东县期末）一个班学生人数接近50人，分别按8人和12人分组，学生都正好分完．这个班共有多少人？ 【思路点拨】根据公倍数的意义，两个或者几个数公有的倍数叫做这两个或者这几个数的公倍数．因为一个数的倍数的个数是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的；先求出8和12的公倍数，再根据这个班人数接近50人来确定这个班的学生人数． 【规范解答】解：先求8和12的最小公倍数，把8和12分别分解质因数，它们的公有质因数和独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数； ， ， 8和12的最小公倍数是：； 8和12的公倍数有：24，48，； 其中接近50人的是48，所以这个班有48人． 答：这个班有48个人． 【考点评析】此题属于公倍数问题，主要根据求两个数的公倍数的方法解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$