期末复习（易错题60题38个考点）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

期末复习（易错题60题38个考点） 一．二次根式有意义的条件（共1小题） 1．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【答案】C 【解答】解：根据题意，得 2x﹣4≥0， 解得，x≥2． 故选：C． 二．二次根式的性质与化简（共2小题） 2．化简二次根式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：若二次根式有意义，则﹣≥0， ﹣a﹣2≥0，解得a≤﹣2， ∴原式＝＝． 故选：B． 3．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 【答案】B 【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+c＞b，a+b＞c， 即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0； ∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c． 故选：B． 三．分母有理化（共1小题） 4．观察下列等式： ①； ②； ③；… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简：； （2）计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝2； （2）原式＝+…+＝﹣1． 四．同类二次根式（共1小题） 5．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴m2﹣3＝5m+3，解得m＝6或m＝﹣1， 当m＝﹣1时，＝无意义，故m＝6． 五．一元二次方程的定义（共1小题） 6．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+2＝1 B． C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0 【答案】C 【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 六．一元二次方程的解（共1小题） 7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1 【答案】A 【解答】解：把x＝0代入方程得： |a|﹣1＝0， ∴a＝±1， ∵a﹣1≠0， ∴a＝﹣1． 故选：A． 七．解一元二次方程-配方法（共1小题） 8．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【答案】D 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 八．根的判别式（共1小题） 9．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k＞0 C．k≥ D．k＞ 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2+4＝9k+4≥0， 解得：k≥， 又∵方程中含有 ∴k≥0， 故选：A． 九．根与系数的关系（共1小题） 10．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 【答案】A 【解答】解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2， ∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3， ∴m2+2m﹣1+1＝3， 解得：m＝1或m＝﹣3， ∵方程有两实数根， ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0， 即m≤， ∴m＝1不合题意，舍去， ∴m＝﹣3； 故选：A． 一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 11．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 一十一．一元二次方程的应用（共1小题） 12．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　8　队参赛． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴共7×4＝28场比赛． 设比赛组织者应邀请x队参赛， 则由题意可列方程为：＝28． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍去）， 所以比赛组织者应邀请8队参赛． 故答案为：8． 一十二．坐标确定位置（共1小题） 13．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 　23　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图中可以发观，第n排的最后的数为：n（n+1） ∵第6排最后的数为：×6（6+1）＝21， ∴（7，2）表示第7排第2个数，则第7排第二个数为21+2＝23． 故答案填：23． 一十三．坐标与图形性质（共2小题） 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（　　） A． B． C．1+ D．3 【答案】C 【解答】解：作AC的中点D，连接OD、BD， ∵OB≤OD+BD， ∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值， ∵BD＝＝，OD＝AD＝AC＝1， ∴点B到原点O的最大距离为1+． 故选：C． 15．如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是　（，）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题可知，M是△ABC的重心，点M的坐标是（，），即（，）． 一十四．二次函数的图象（共1小题） 16．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0； A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误； B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确； C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误； D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误． 解法二： ①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意； ②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意； 故选：B． 一十五．二次函数的性质（共2小题） 17．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，中，a＝1＞0， ∴此函数开口向上， ∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴x＝m≥1． 故选：C． 18．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　4　s； 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得焰火引爆处为抛物线的顶点处，顶点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间， 则t＝﹣20×＝4s， 故答案为4s． 一十六．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1， 与x轴的一个交点为（x1，0）， 且0＜x1＜1， ∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＞0； ∵对称轴是直线x＝﹣1，则＝﹣1， ∴b＝2a． ∵a＞0， ∴b＞a； 再取x＝1时，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0． ∴①、③正确． 故选：C． 20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA＝3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．①② 【答案】A 【解答】解：∵点B坐标（﹣1，0），对称轴是直线x＝1， ∴A的坐标是（3，0）， ∴OA＝3，∴①正确； ∵由图象可知：当x＝1时，y＞0， ∴把x＝1代入二次函数的解析式得：y＝a+b+c＞0，∴②错误； ∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴a＜0，c＞0， ∴ac＜0，∴③错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，∴④正确； 故选：A． 一十七．二次函数的最值（共1小题） 21．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4， 对称轴是：x＝﹣1 ∵a＝1＞0， ∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5， x＝﹣1时y有最小值，是﹣4， 故选：B． 一十八．抛物线与x轴的交点（共3小题） 22．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 【答案】D 【解答】解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点； 当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数， 当22﹣4（k﹣3）≥0， k≤4 即k≤4时，函数的图象与x轴有交点． 综上k的取值范围是k≤4． 故选：D． 23．抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是　±12　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意：p2﹣4×9×4＝0， 解得p＝±12． 24．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＝0或m＞4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根， 即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根； 从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个， 当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根． |x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根， 综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根． 故答案为m＝0或m＞4． 一十九．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题） 25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C 【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点， ∵∠BAD＝∠CAE＝90°，即∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE ∴∠BAC＝∠DAE 又∵AB＝AD，∠ACB＝∠E＝90° ∴△ABC≌△ADE（AAS） ∴BC＝DE，AC＝AE， 设BC＝a，则DE＝a，DF＝AE＝AC＝4BC＝4a， CF＝AC﹣AF＝AC﹣DE＝3a， 在Rt△CDF中，由勾股定理得， CF2+DF2＝CD2，即（3a）2+（4a）2＝x2， 解得：a＝， ∴y＝S四边形ABCD＝S梯形ACDE＝×（DE+AC）×DF ＝×（a+4a）×4a ＝10a2 ＝x2． 故选：C． 二十．二次函数的应用（共2小题） 26．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　1.5　； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 【答案】（1）如图所示； （2）1.5． （3）2.1米 【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示： （2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高， 即m＝1.5， 故答案为：1.5． （3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5， 将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5+m， 由题意可知，当横坐标为2+＝时，纵坐标的值大于2+0.5＝2.5， ∴﹣×（）2++0.5+m≥2.5， 解得m≥1.6， ∴水管高度至少向上调节1.6米， ∴0.5+1.6＝2.1（米）， ∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到2.1米才能符合要求． 27．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（30，150）；（80，100）分别代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180； （2）设利润为w元， 由题意得： w＝（x﹣30）（﹣x+180） ＝﹣x2+210x﹣5400， ∴w＝﹣x2+210x﹣5400（30≤x≤80）； 令﹣x2+210x﹣5400＝3600， 解得x＝60或x＝150（舍）， ∴如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为60元； （3）由（2）知，w＝﹣（x﹣105）2+5625， ∵﹣1＜0， ∴当x≤105时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤80， ∴当x＝80时，w最大，最大为5000元． ∴当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是5000元． 二十一．二次函数综合题（共6小题） 28．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y＝﹣x2+x+2的图象相交于点D，E． （1）写出点A，点B的坐标； （2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值； （3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当y＝0时，有， 解得：x1＝4，x2＝﹣1， ∴A、B两点的坐标分别为（4，0）和（﹣1，0）． （2）∵⊙Q与x轴相切，且与交于D、E两点， ∴圆心Q位于直线与抛物线对称轴的交点处， ∵抛物线的对称轴为，⊙Q的半径为H点的纵坐标m（m＞0）， ∴D、E两点的坐标分别为：（﹣m，m），（+m，m） ∵E点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． （3）存在． ①如图1， 当∠ACF＝90°，AC＝FC时，过点F作FG⊥y轴于G， ∴∠AOC＝∠CGF＝90°， ∵∠ACO+∠FCG＝90°，∠GFC+∠FCG＝90°， ∴∠ACO＝∠CFG， ∴△ACO≌△CFG， ∴CG＝AO＝4， ∵CO＝2， ∴m＝OG＝2+4＝6； 反向延长FC，使得CF＝CF′，此时△ACF′亦为等腰直角三角形， 易得yC﹣yF′＝CG＝4， ∴m＝CO﹣4＝2﹣4＝﹣2． ②如图2， 当∠CAF＝90°，AC＝AF时，过点F作FP⊥x轴于P， ∵∠AOC＝∠APF＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，∠FAP+∠OAC＝90°， ∴∠ACO＝∠FAP， ∴△ACO≌△∠FAP， ∴FP＝AO＝4， ∴m＝FP＝4； 反向延长FA，使得AF＝AF′，此时△ACF’亦为等腰直角三角形， 易得yA﹣yF′＝FP＝4， ∴m＝0﹣4＝﹣4． ③如图3， 当∠AFC＝90°，FA＝FC时，则F点一定在AC的中垂线上，此时存在两个点分别记为F，F′， 分别过F，F′两点作x轴、y轴的垂线，分别交于E，G，D，H． ∵∠DFC+∠CFE＝∠CFE+∠EFA＝90°， ∴∠DFC＝∠EFA， ∵∠CDF＝∠AEF，CF＝AF， ∴△CDF≌△AEF， ∴CD＝AE，DF＝EF， ∴四边形OEFD为正方形， ∴OA＝OE+AE＝OD+AE＝OC+CD+AE＝OC+2CD， ∴4＝2+2•CD， ∴CD＝1， ∴m＝OC+CD＝2+1＝3． ∵∠HF′C+∠CGF′＝∠CF′G+∠GF′A， ∴∠HF′C＝∠GF′A， ∵∠HF′C＝∠GF′A，CF′＝AF′， ∴△HF′C≌△GF′A， ∴HF′＝GF′，CH＝AG， ∴四边形OHF′G为正方形， ∴OH＝CH﹣CO＝AG﹣CO＝AO﹣OG﹣CO＝AO﹣OH﹣CO＝4﹣OH﹣2， ∴OH＝1， ∴m＝﹣1． ∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+， ∴y的最大值为． ∵直线l与抛物线有两个交点，∴m＜． ∴m可取值为：﹣4、﹣2、﹣1或3． 综上所述，直线l上存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形，m的值为﹣4、﹣2、﹣1或3． 29．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3）， ∴， 解得， 故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 则点C的坐标为（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4）， 设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F， ∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12， ∵DC＝DE， ∴m2+9＝m2+8m+16+1， 解得m＝﹣1， ∴点D的坐标为（0，﹣1）； （3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1， 根据勾股定理，CD＝＝＝， 在△COD和△DFE中， ∵， ∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF＝∠DCO， 又∵∠DCO+∠CDO＝90°， ∴∠EDF+∠CDO＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°， ∴CD⊥DE， ①分OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴＝， 即＝， 解得DP＝， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则＝＝， 即＝＝， 解得DG＝1，PG＝， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0， 所以点P（﹣，0）， 当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2， 所以，点P（，﹣2）； ②OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴＝， 即＝， 解得DP＝3， 过点P作PG⊥y轴于点G， 则＝＝， 即＝＝， 解得DG＝9，PG＝3， 当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8）， 当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10）， 综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）． 30．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x． （2）P（2，）或（3，4）． （3）． 【解答】解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x． （2）设直线AB的解析式为：y＝kx+t， 将A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t， ∴， 解得． ∵A（4，0），B（1，4）， ∴S△OAB＝×4×4＝8， ∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4， 过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图， ∴S△PAB＝S△PNB+S△PNA＝PN×BE+PN×AM＝PN＝4， ∴PN＝． 设点P的横坐标为m， ∴P（m，﹣m2+m）（1＜m＜4），N（m，﹣m+）， ∴PN＝﹣m2+m﹣（﹣m+）＝． 解得m＝2或m＝3； ∴P（2，）或（3，4）． （3）∵PD∥OB， ∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC， ∴△DPC∽△BOC， ∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB， ∵＝＝，＝＝， ∴+＝． 设直线AB交y轴于点F．则F（0，）， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图， ∵∠PDC＝∠OBC， ∴∠PDG＝∠OBF， ∵PG∥OF， ∴∠PGD＝∠OFB， ∴△PDG∽△OBF， ∴PD：OB＝PG：OF， 设P（n，﹣n2+n）（1＜n＜4）， 由（2）可知，PG＝﹣n2+n﹣， ∴+＝＝＝PG＝﹣（n﹣）2+． ∵1＜n＜4， ∴当n＝时，+的最大值为． 31．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）， ， 解得：a＝﹣1，b＝2． 故抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）存在 将点D代入抛物线解析式得：m＝3， ∴D（2，3）， 令x＝0，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝OB， ∴∠OCB＝∠CBO＝45°， 如图， 在y轴上取点G，使GC＝CD＝2， 在△CDB与△CGB中 ∵BC＝BC、∠DCB＝∠BCO、GC＝DC（SAS） ∴△CDB≌△CGB， ∴∠PBC＝∠DBC， ∵点G（0，1）， 设直线BP：y＝kx+1， 代入点B（3，0）， ∴k＝﹣， ∴直线BP：y＝﹣x+1， 联立直线BP和二次函数解析式： ， 解得：或（舍）， ∴P（﹣，）． （3）直线BC：y＝﹣x+3，直线BD：y＝﹣3x+9， 当0≤t≤2时，如图： 设直线C′B′：y＝﹣（x﹣t）+3 联立直线BD求得F（，）， S＝S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF ＝×2×3﹣×t×t﹣×（2﹣t）（3﹣） 整理得：S＝﹣t2+3t（0≤t≤2）． 当2＜t≤3时，如图： H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3） S＝S△HIB＝[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3﹣t） 整理得：S＝t2﹣6t+9（2＜t≤3） 综上所述：S＝． 32．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线AC的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标． 【答案】（1）证明见解答； （2）①C（﹣4，1）；②y＝x+3； （3）抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣． 【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD， ∴∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD， 在△ACB和△BDE中， ， ∴△ACB≌△BDE（AAS）； （2）解：①∵一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B， ∴A（0，3），B（﹣1，0）， ∴OA＝3，OB＝1， 过点C作CG⊥x轴于点G，如图， 则∠BGC＝90°＝∠AOB， ∴∠CBG+∠BCG＝90°， ∵线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC， ∴BC＝AB，∠ABC＝90°， ∴∠ABO+∠CBG＝90°， ∴∠BCG＝∠ABO， ∴△BCG≌△ABO（AAS）， ∴BG＝OA＝3，CG＝OB＝1， ∴OG＝OB+BG＝1+3＝4， ∴C（﹣4，1）； ②设直线AC的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3； （3）解：抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝． ∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点， 当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 当x＝0时，y＝﹣4， ∴C（0，﹣4）， 当点M在x轴上方时，如图，过点Q作QL∥BM，过点B作BF⊥BQ，交BL与于点F，过点F作FG⊥x轴于点G， 则∠BOQ＝∠QBF＝∠BGF＝90°，∠BQF＝∠MBQ， ∴∠OBQ+∠OQB＝90°，∠OBQ+∠FBG＝90°， ∴∠OQB＝∠FBG， ∴△OBQ∽△GFB， ∴＝＝， ∵tan∠BQF＝tan∠MBQ＝＝， ∴＝＝， ∴FG＝，BG＝， ∴F（，﹣）， 设直线FQ的解析式为y＝mx+n，则， 解得：， ∴直线FQ的解析式为y＝﹣x﹣1， ∵BM∥QF， ∴设直线BM的解析式为y＝﹣x+d，把B（4，0）代入，得﹣+d＝0， 解得：d＝， ∴直线BM的解析式为y＝﹣x+， 联立得， 解得：，（舍去）， ∴M（﹣，）； 当点M在x轴下方时，如图，过点Q作QE⊥BQ，交BM于点E，过点E作EF⊥y轴于点F， 则∠QFE＝∠BOQ＝∠BQE＝90°， ∵tan∠MBQ＝， ∴＝tan∠MBQ＝， ∴EQ＝BQ＝， ∵∠OBQ+∠BQO＝90°，∠BQO+∠EQF＝90°， ∴∠OBQ＝∠EQF， ∴△QEF∽△BQO， ∴＝＝，即＝＝， ∴EF＝，QF＝， ∴OF＝OQ+QF＝1+＝， ∴E（，﹣）； 设直线BM的解析式为y＝m′x+n′，则， 解得：， ∴直线BM的解析式为y＝x﹣， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴M（﹣，﹣）； 综上所述，抛物线上存在点M，使得tan∠MBQ＝，点M的横坐标为﹣或﹣． 33．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　（﹣2，0）　，　（3，0）　，　（0，4）　． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）． ②． （3）存在，m＝． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）； 令y＝0，则﹣x2+x+4＝0， ∴x＝﹣2或x＝3， ∴A（﹣2，0），B（3，0）． 故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）． （2）①∵CP∥x轴，C（0，4）， ∴P（1，4）， ∴CP＝1，AB＝5， ∵CP∥x轴， ∴＝＝． ②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4． 设点P的横坐标为m， 则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）． ∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m， ∵PQ∥AB， ∴＝＝＝﹣（m﹣）2+， ∴当m＝时，的最大值为． 另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解． （3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3． 过点C作CF∥x轴交抛物线于点F， ∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°， ∴∠MCF＝∠BCP， 延长CP交x轴于点M， ∵CF∥x轴， ∴∠PCF＝∠BMC， ∴∠BCP＝∠BMC， ∴△CBM为等腰三角形， ∵BC＝5， ∴BM＝5，OM＝8， ∴M（8，0）， ∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4， 令﹣x2+x+4＝﹣x+4， 解得x＝或x＝0（舍）， ∴存在点P满足题意，此时m＝． 二十二．三角形中位线定理（共3小题） 34．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 【答案】A 【解答】解：过E作EM∥AB与GC交于点M， ∴△EMF≌△DGF， ∴EM＝GD， ∵DE是中位线， ∴CE＝AC， 又∵EM∥AG， ∴△CME∽△CGA， ∴EM：AG＝CE：AC＝1：2， 又∵EM＝GD， ∴AG：GD＝2：1． 故选：A． 35．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长＝△ABC的周长×＝1×＝，第三个三角形的周长为＝△ABC的周长××＝（）2，第10个三角形的周长＝（）9，故选C． 36．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5cm，BC＝8cm，DE＝4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2 【答案】B 【解答】解：连接MN，作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC， ∴BF＝CF＝BC＝×8＝4， 在Rt△ABF中，AF＝＝， ∵M、N分别是AB，AC的中点， ∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN＝8÷2＝4， ∴NM＝BC＝DE， ∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点， ∴阴影三角形的高是AF÷2＝1.5÷2＝0.75， ∴S阴影＝4×0.75÷2＝1.5．故选B． 二十三．圆的认识（共1小题） 37．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了　2L　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为圆向前滚动的距离是Lm，所以人前进了2Lm． 二十四．圆周角定理（共4小题） 38．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对圆周角的度数为（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【答案】D 【解答】解：如图，连接OA、OB，过O作AB的垂线； 在Rt△OAC中，OA＝1，AC＝； ∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°； ∴∠D＝∠AOB＝60°； ∵四边形ADBE是⊙O的内接四边形， ∴∠AEB＝180°﹣∠D＝120°； 因此弦AB所对的圆周角有两个：60°或120°； 故选：D． 39．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解法一： ∵∠D＝∠A，∠DCA＝∠ABD， ∴△AEB∽△DEC； ∴＝； 设BE＝2x，则DE＝5﹣2x，EC＝x，AE＝2（5﹣2x）； 连接BC，则∠ACB＝90°； Rt△BCE中，BE＝2x，EC＝x，则BC＝x； 在Rt△ABC中，AC＝AE+EC＝10﹣3x，BC＝x； 由勾股定理，得：AB2＝AC2+BC2， 即：72＝（10﹣3x）2+（x）2， 整理，得4x2﹣20x+17＝0，解得x1＝+，x2＝﹣； 由于x＜，故x＝﹣； 则DE＝5﹣2x＝2． 解法二：连接OD，OC，AD， ∵OD＝CD＝OC 则∠DOC＝60°，∠DAC＝30° 又AB＝7，BD＝5， ∴AD＝2， 在Rt△ADE中，∠DAC＝30°， 所以DE＝2． 故选：A． 40．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：设⊙A交x轴于D，连接CD，则CD是直径， 在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2， 则OD＝＝4， tan∠CDO＝＝， 由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO， 则tan∠OBC＝， 故选：D． 41．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，则∠CAB等于（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【答案】D 【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°， ∴两弧所对圆心角相差20°， ∴2∠A﹣2∠C＝20°， ∴∠A﹣∠C＝10°…①； ∵∠CEB是△AEC的外角， ∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②； ①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°． 故选：D． 二十五．相交弦定理（共1小题） 42．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：由相交弦定理得：PA•PB＝PC•PD， ∴DP＝＝＝6． 故选：D． 二十六．点与圆的位置关系（共1小题） 43．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 【答案】B 【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝2+1， ∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+； 故选：B． 二十七．三角形的外接圆与外心（共2小题） 44．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，那么∠BAC等于（　　） A．35° B．110° C．145° D．35°或145° 【答案】D 【解答】解：①当点O在三角形的内部时， 则∠BAC＝∠BOC＝35°； ②当点O在三角形的外部时， 则∠BAC＝（360°﹣70°）＝145°． 故选：D． 45．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【答案】D 【解答】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心， 由题意得：OA2＝12+22＝5， OC2＝12+22＝5， AC2＝12+32＝10， ∴OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC是直角三角形， ∴∠AOC＝90°， ∵AO＝OC＝， ∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积 ＝﹣OA•OC﹣AB•1 ＝﹣××﹣×2×1 ＝﹣﹣1 ＝﹣， 故选：D． 二十八．三角形的内切圆与内心（共1小题） 46．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10＝　π　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）图1，过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，垂足为E、F，则∠OEC＝∠OFC＝90° ∵∠C＝90° ∴四边形OECF为矩形 ∵OE＝OF ∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r，则OE＝OF＝r，AD＝AE＝3﹣r，BD＝4﹣r ∴3﹣r+4﹣r＝5，r＝＝1 ∴S1＝π×12＝π （2）图2，由S△ABC＝×3×4＝×5×CD ∴CD＝ 由勾股定理得：AD＝＝，BD＝5﹣＝ 由（1）得：⊙O的半径＝＝，⊙E的半径＝＝ ∴S1+S2＝π×+π×＝π （3）图3，由S△CDB＝××＝×4×MD ∴MD＝ 由勾股定理得：CM＝＝，MB＝4﹣＝ 由（1）得：⊙O的半径＝，：⊙E的半径＝＝，：⊙F的半径＝＝ ∴S1+S2+S3＝π×+π×+π×＝π ∴图4中的S1+S2+S3+S4＝π 则S1+S2+S3+…+S10＝π 故答案为：π． 二十九．扇形面积的计算（共1小题） 47．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是　π﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积是： S阴影部分面积＝S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积 ＝ ＝π﹣2． 故答案为：π﹣2． 三十．圆锥的计算（共1小题） 48．用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为　174　cm2（精确到1cm2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：直径为10cm的玻璃球，玻璃球半径OB＝5，所以AO＝18﹣5＝13，由勾股定理得，AB＝12， ∵BD×AO＝AB×BO，BD＝＝， 圆锥底面半径＝BD＝，圆锥底面周长＝2×π，侧面面积＝×2×π×12＝π≈174cm2． 三十一．比例的性质（共1小题） 49．如果x：y＝2：3，则下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：可设x＝2k，y＝3k．通过代入计算， 进行约分，A，B，C都正确； D不能实现约分，故错误． 故选：D． 三十二．相似三角形的性质（共1小题） 50．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是　（1，4）或（3，1）或（3，4）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2， 故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）； △ABC≌△BAP3， 此时P的坐标为（3，1）； ∴格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）． 三十三．相似三角形的判定与性质（共4小题） 51．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（　　） A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 【答案】A 【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴AD＝FD， ∴△ADF是等腰三角形， 同理△ABE是等腰三角形， AD＝DF＝9； ∵AB＝BE＝6， ∴CF＝3； ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝，可得：AG＝2， 又BG⊥AE， ∴AE＝2AG＝4， ∴△ABE的周长等于16， 又∵▱ABCD ∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2， ∴△CEF的周长为8． 故选：A． 52．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： 【答案】C 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC 又∵∠B＝∠ACD＝90°， ∴△CBA∽△ACD ＝＝＝， ∵＝（）2＝ ∴△ABC与△DCA的面积比为4：9． 故选：C． 53．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 54．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA． （1）求证：BC＝CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA， ∴＝， ∵∠DCE＝∠ACD， ∴△CDE∽△CAD， ∴∠CDB＝∠DAC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴BC＝CD； （2）解：方法一：如图，连接OC， ∵BC＝CD， ∴∠DAC＝∠CAB， 又∵AO＝CO， ∴∠CAB＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴AD∥OC， ∴＝， ∵PB＝OB，CD＝， ∴＝ ∴PC＝4 又∵PC•PD＝PB•PA ∴4•（4+2）＝OB•3OB ∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12， 在Rt△ACB中， AC＝＝＝2， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90° ∴∠FDA+∠BDC＝90° ∠CBA+∠CAB＝90° ∵∠BDC＝∠CAB， ∴∠FDA＝∠CBA， 又∵∠AFD＝∠ACB＝90°， ∴△AFD∽△ACB ∴ 在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝， ∴在Rt△APF中有，， 求得DF＝． 方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD， 易证△PCO∽△PDA，可得＝， △PGO∽△PFA，可得＝， 可得，＝，由方法一中PC＝4代入， 即可得出DF＝． 三十四．位似变换（共1小题） 55．在平面直角坐标系中，△COD与△AOB位似比为，位似中心为原点O，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），则其对应点A的坐标是 　（﹣6，﹣4）或（6，4）　． 【答案】（﹣6，﹣4）或（6，4）． 【解答】解：∵△COD与△AOB位似比为，且点C的坐标为（﹣3，﹣2）， ∴它的对应点A的坐标是：（﹣6，﹣4）或（6，4）． 故答案为：（﹣6，﹣4）或（6，4）． 三十五．概率公式（共1小题） 56．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负． （1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？ （2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ （3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张， 故甲摸出“石头”的概率为；（3分） （2）若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜， 这样的卡片共有8张，故乙获胜的概率为；（6分） （3）若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出， 若甲先摸出“锤子”，则甲获胜（即乙摸出“石头”或“剪子”）的概率为； 若甲先摸出“石头”，则甲获胜（即乙摸出“剪子”）的概率为； 若甲先摸出“剪子”，则甲获胜（即乙摸出“布”）的概率为； 若甲先摸出“布”，则甲获胜（即乙摸出“锤子”或“石头”）的概率为．（10分） 故甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大．（12分） 三十六．几何概率（共1小题） 57．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B．π C．π D． 【答案】C 【解答】解：∵如图所示的正三角形， ∴∠CAB＝60°， 设三角形的边长是a， ∴AB＝a， ∵⊙O是内切圆， ∴∠OAB＝30°，∠OBA＝90°， ∴BO＝tan30°AB＝a， 则正三角形的面积是a2，而圆的半径是a，面积是a2， 因此概率是a2÷a2＝． 故选：C． 三十七．利用频率估计概率（共2小题） 58．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 59．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 　24　个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%， ∴口袋中白色球的个数很可能是（1﹣15%﹣45%）×60＝24个． 故答案为：24． 三十八．模拟试验（共1小题） 60．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】A 【解答】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是≈0.33； B、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率是； C、抛一枚硬币，出现正面的概率； D、任意写一个整数，它能被2整除的概率，即为偶数的概率为． 由用频率去估计概率的统计图可知当试验次数到600次时频率稳定在33%左右，故符合条件的只有A． 故选：A． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/13 10:37:57；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题60题38个考点） 一．二次根式有意义的条件（共1小题） 1．要使二次根式有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 二．二次根式的性质与化简（共2小题） 2．化简二次根式的结果是（　　） A． B． C． D． 3．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　） A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a 三．分母有理化（共1小题） 4．观察下列等式： ①； ②； ③；… 回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简：； （2）计算：． 四．同类二次根式（共1小题） 5．若最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　 　． 五．一元二次方程的定义（共1小题） 6．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．xy+2＝1 B． C．x2＝0 D．ax2+bx+c＝0 六．一元二次方程的解（共1小题） 7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1 七．解一元二次方程-配方法（共1小题） 8．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 八．根的判别式（共1小题） 9．若关于x的方程有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k＞0 C．k≥ D．k＞ 九．根与系数的关系（共1小题） 10．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3 一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题） 11．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 一十一．一元二次方程的应用（共1小题） 12．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 　 　队参赛． 一十二．坐标确定位置（共1小题） 13．将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 　 　． 一十三．坐标与图形性质（共2小题） 14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（　　） A． B． C．1+ D．3 15．如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是　 　． 一十四．二次函数的图象（共1小题） 16．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 一十五．二次函数的性质（共2小题） 17．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1 18．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为　 　s； 一十六．二次函数图象与系数的关系（共2小题） 19．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0＜x1＜1，下列结论：①9a﹣3b+c＞0；②b＜a；③3a+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 20．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA＝3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（　　） A．①④ B．①③ C．②④ D．①② 一十七．二次函数的最值（共1小题） 21．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 一十八．抛物线与x轴的交点（共3小题） 22．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4 23．抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则p的值是　 　． 24．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 一十九．根据实际问题列二次函数关系式（共1小题） 25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 二十．二次函数的应用（共2小题） 26．某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　 　； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）． 27．某超市销售一种商品，成本价为30元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式： （2）如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？ （3）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 二十一．二次函数综合题（共6小题） 28．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．过动点H（0，m）作平行于x轴的直线l，直线l与二次函数y＝﹣x2+x+2的图象相交于点D，E． （1）写出点A，点B的坐标； （2）若m＞0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值； （3）直线l上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 29．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标． 30．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． （1）求抛物线的解析式； （2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； （3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 31．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C三点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 32．【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，AC⊥BC，AB⊥BE，ED⊥BD，垂足分别为C，B，D，AB＝BE．求证：△ACB≌△BDE； 【类比迁移】（2）如图2，一次函数y＝3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC，直线AC交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线AC的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点Q（0，﹣1），连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tan∠MBQ＝，若存在，求出点M的横坐标． 33．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）A，B，C三点的坐标为 　 　，　 　，　 　． （2）连接AP，交线段BC于点D， ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； （3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 二十二．三角形中位线定理（共3小题） 34．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 35．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（　　） A． B． C． D． 36．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB＝5cm，BC＝8cm，DE＝4cm，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2 二十三．圆的认识（共1小题） 37．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B（直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了　 　m． 二十四．圆周角定理（共4小题） 38．如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对圆周角的度数为（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 39．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝，且BD＝5，则DE等于（　　） A． B． C． D． 40．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　） A． B．2 C． D． 41．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，则∠CAB等于（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 二十五．相交弦定理（共1小题） 42．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二十六．点与圆的位置关系（共1小题） 43．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣ 二十七．三角形的外接圆与外心（共2小题） 44．如果点O为△ABC的外心，∠BOC＝70°，那么∠BAC等于（　　） A．35° B．110° C．145° D．35°或145° 45．如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 二十八．三角形的内切圆与内心（共1小题） 46．如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10＝　 　． 二十九．扇形面积的计算（共1小题） 47．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是　 　． 三十．圆锥的计算（共1小题） 48．用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个不倒翁玩具，不倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为　 　cm2（精确到1cm2）． 三十一．比例的性质（共1小题） 49．如果x：y＝2：3，则下列各式不成立的是（　　） A． B． C． D． 三十二．相似三角形的性质（共1小题） 50．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是　 　． 三十三．相似三角形的判定与性质（共4小题） 51．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（　　） A．8 B．9.5 C．10 D．11.5 52．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　） A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．： 53．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 54．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA． （1）求证：BC＝CD； （2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长． 三十四．位似变换（共1小题） 55．在平面直角坐标系中，△COD与△AOB位似比为，位似中心为原点O，若点C的坐标为（﹣3，﹣2），则其对应点A的坐标是 　 　． 三十五．概率公式（共1小题） 56．甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负． （1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？ （2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ （3）若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？ 三十六．几何概率（共1小题） 57．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（　　） A． B．π C．π D． 三十七．利用频率估计概率（共2小题） 58．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 59．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是 　 　个． 三十八．模拟试验（共1小题） 60．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　） A．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$