期末复习（压轴题60题）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

期末复习（压轴题60题） 一、单选题 1．如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 2．三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为（  ） A． B． C． D． 3．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 5．如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 6．如图，在中，D在上，E在上，且，，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 7．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为(    )． A． B． C． D． 9．如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 11．如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 12．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 15．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 16．如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 ． 17．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ．    18．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为 时，和全等． 19．若的整数部分是a，的小数部分是b，则 ． 20．如图， ， ．，点在线段上以1的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为（），则当点的运动速度为 时，与全等． 21．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 22．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 23．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 . 24．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为 ． 25．如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为 ． 26．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    27．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为 ． 三、解答题 28．如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 29．（1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断此时：与的大小关系，并说明理由? （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于E，F两点，连接，判断此时：、与的数量关系， 并说明理由? 30．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______； 根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）①若，，则______； ②若，则______． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 31．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 32．问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 33．已知在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：填“”“”或“”)； (2)【特例启发，解答题目】如图，当为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；提示：过点作，交于点 (3)【拓展结论，设计新题】在等边中，点在直线上，点在线段的延长线上，且．若的边长为，，求的长．(利用备用图探究) 34．（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①请直接写出的度数为_____； ②试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明； （2）拓展探究： 图2，和均为等腰三角形，，点A、D、E在同－直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数线段之间的数量关系，并说明理由．    35．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 36．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； (3)当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 37．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ； (2)如图2，，，．点D为的中点，求证：； (3)如图3，四边形，对角线，相交于点E，点F是边的中点，，，试探索与的数量关系，并证明． 38．把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 39．已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 40．如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 41．（1）如图①，点C在上，，，，．则______； （2）如图②，在中，，，过点C作，且，试求的面积； （3）如图③，在四边形中，，的面积为12，且的长为6，求的面积． 42．图是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图，将仪器放置在上，使点（与顶点重合，，  分别在边， 上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线吗?请判断并说明理由． (2)如图，在（）的条件下，过点作垂直 于点， 若，，的面积是，求的长和的值． 43．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 44．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，．    (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由． (2)求的长． 45．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一： ；方法二： ； (2)【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 ； (3)【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：，，求的值． 46．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 47．如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 48．在中，，D为上一点，连接，将绕C点逆时针旋转至，连接，过C作交于F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 49．【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 50．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形且． (1)当点B在y轴负半轴上时， ①如图1，若，则______度； ②如图2，交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分； (2)如图3，当点B在y轴正半轴上且时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 51．如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 52．在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，求的长度． 53．如图，在中，．动点P以每秒的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，设点P运动的时间为t秒．    (1)当时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)若点P运动到边上，且使得，求t的值． 54．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1：连，求证：； (2)如图1：求证：； (3)若将绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段与交点为H，若，求出线段的长． 55．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 56．问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段之间满足的等量关系式为 ． 探索：如图②，在与中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 57．如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 58．如图，在中，、的平分线交于点D，延长交于E，G、F分别在上，连接，其中，．    (1)当时，求的度数； (2)求证：． 59．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 60．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（压轴题60题） 一、单选题 1．如图，在中，，的面积为12，于点D，直线垂直平分，交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，根据中垂线的性质，得到，进而得到，进而得到的最小值为的长，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 2．三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：三个连续的正整数，中间的数为，则它们的积为， 故选：D． 3．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，得出，及的度数，从而找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数，从而可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得，， ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是． ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：C． 4．如图．在中，平分，交于点，点分别为上的动点，若的面积为6，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．3.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故选：D． 5．如图，在数轴上点所表示的数为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，由数轴可知，，再根据勾股定理求出长度即可，正确理解实数与数轴是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数是， 故选：． 6．如图，在中，D在上，E在上，且，，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，设则可利用等腰三角形的两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和求，，．最后利用三角形的内角和求出，可得到． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 7．如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．证明即可得到 ，故②③正确；通过 即可得到，故④正确，根据现有条件无法证明，故①错误． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ，故②③正确； 在与中， ， ， ， ，，故④正确； 根据现有条件，无法证明，故①错误； 故选：C． 8．如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为(    )． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出，由等腰三角形的性质得到．延长交于，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形面积公式推出的面积的面积，的面积的面积，即可得到的面积＋的面积的面积 ，于是得到的面积 ． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积＋的面积的面积＋的面积的面积 ， 的面积 ． 故选：B． 9．如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点， 与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，先利用证明，8字型图，得到，证明，得到，进而证明是等边三角形即可． 【详解】解：∵与都是等边三角形，点、、在同一条直线上， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴是等边三角形，故④正确； 故选D． 10．已知，，则的值为（    ） A．12 B．9 C．33 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 逆用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：当，时， ． 故选：A． 11．如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】阴影部分面积可以用边长为的正方形面积的一半减去底为，高为的三角形的面积，将与的值代入计算即可求出值． 本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键． 【详解】解：根据题意得： 当，时， ． 故选：A． 12．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合题意； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合题意； ∴，①正确，故符合题意； ∵，， ∴，④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C． 13．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则拼成长方形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据题意，利用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出长方形的面积，再化简整理即可． 【详解】解：根据题意，得： 故选：C． 14．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得：． 故选：C． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 15．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，． ∵， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值， ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 16．如果关于的二次三项式是完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式，解题的关键是掌握：如果一个二次三项是完全平方式，则满足如下特征：两项符号相同且为平方形式，第三项为前面两项（在平方的形式下）的底数积的倍且符号不限．据此解答即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或， ∴的值是或． 17．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 18．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，点从点运动到点，点的运动速度为每秒钟，当运动时间为 时，和全等． 【答案】4秒或0秒 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．当4秒或0秒时，和全等，根据定理推出即可． 【详解】解：当4秒或0秒时，和全等， 理由是：，， ， ①当时， 在和中， ， ， ②当时， 在和中， ， ， 点的运动速度为每秒钟， 当运动时间为4秒或0秒时，和全等． 故答案为：4秒或0秒． 19．若的整数部分是a，的小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用夹值法估算出的范围是解此题的关键．求出的范围，得到a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：． 20．如图， ， ．，点在线段上以1的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为（），则当点的运动速度为 时，与全等． 【答案】1或1.5 【分析】本题主要考查全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．设点的运动速度是 ，则有，，，若与全等，有两种情况：①，；②，．分别求解即可． 【详解】解：设点的运动速度是 ， 则有，，， ∵， ∴与全等，有两种情况： ①，， 则， 解得 ， 则， 解得 ； ②，， 则，， 解得，． 故答案为：1或1.5． 21．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 22．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 23．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 . 【答案】1 【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可． 【详解】过点P作交于点F，如图， ∴，，是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∴，， ∵，， ∴， ∵， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键． 24．如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为 ． 【答案】 【分析】根据△A1B1A2为等边三角形，可知∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，根据∠MON=30°，进而可得∠A1B1O=30°，由此可知△OA1B1为等腰三角形，同理可证△OA2B2为等腰三角形，OA2 =A2B2= A2A3=2，依次类推可知△OA3B3为等腰三角形，则OA3 =A3B3= A3A4=，同理可知△OA4B4为等腰三角形，则OA4 =A4B4= A4A5=，由此可找到边长的变化规律推导出边长即可． 【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2， ∵∠MON=30°， ∴∠A1B1O=30°， ∴△OA1B1为等腰三角形， ∴A1B1= OA1， ∴A1B1= A1A2= OA1， ∵OA1=1 ， 同理可知△OA2B2为等腰三角形， ∴OA2 =A2B2= A2A3=2， 同理可知△OA3B3为等腰三角形， ∴OA3 =A3B3= A3A4=， 同理可知△OA4B4为等腰三角形， ∴OA4 =A4B4= A4A5=， 依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=, ∴△A2021B2021A2022的边长为：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，归纳，总结，验证，应用的能力，能够发现规律并应用规律是解决本题的关键． 25．如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为 ． 【答案】8 【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．即可求出答案. 【详解】解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD=DE， ∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC， ∴S△ADC=S△ABC， ∴； 故答案为：8. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键． 26．如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是 °．    【答案】105° 【详解】由图a知，∠EFC=155°. 图b中，∠EFC=155°，则∠GFC=∠EFC-∠EFG=155°-25°=130°. 图c中，∠GFC=130°，则∠CFE=130°-25°=105°. 故答案为105°. 点睛：在长方形的折叠问题中，因为有平行线和角平分线，所以存在一个基本的图形等腰三角形，即图b中的等腰△CEF，其中CE=CF，这个等腰三角形是解决本题的关键所在. 27．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，BC＝5，若点 M、N 分别是线段 AC、AB上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为 ． 【答案】8 【详解】如图作点B关于AC的对称点B′，连接B′A交DC于点E，则BM+MN的最小值等于的最小值 作交于，则为所求； 设,, 由，， h+5=8，即BM+MN的最小值是8. 点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键． 三、解答题 28．如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此； （3）由和根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3）解：是等边三角形． 理由如下： ，， 是等边三角形． 29．（1）如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是 ； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，判断此时：与的大小关系，并说明理由? （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于E，F两点，连接，判断此时：、与的数量关系， 并说明理由? 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，利用三角形的三边关系可求解； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：延长至，使，连接，   ，，， ， ， 连接， ，， ∴是的垂直平分线， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 30．现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______； 根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）①若，，则______； ②若，则______． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）；（2）①6；②13；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，整式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）两种方法计算大正方形的面积可得答案； （2）①由，可得，而，故； ②由，知，又，故； （3）由，得，又，故；即图中阴影部分面积为16.5． 【详解】解：（1）大正方形的面积用面积公式计算为，用小正方形面积加上4个长方形面积为， ∴关于、的关系式可表示为：； 故答案为：； （2）①， ， ， ， ， ； 故答案为：6； ②， ， ， ， ， 故答案为：13； （3）根据题意得：， ， ， ， ； ； 图中阴影部分面积为16.5． 31．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 32．问题背景： (1)如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点．且．探究图中线段之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：，请你写出证明过程． 探索延伸： (2)如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明推出，再依次证明，，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，再依次证明，，推出，可得． 【详解】（1）解：证明如下：在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． （2）解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点G使，连接，如图， ， ． 在和中， ， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 33．已知在等边中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：填“”“”或“”)； (2)【特例启发，解答题目】如图，当为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；提示：过点作，交于点 (3)【拓展结论，设计新题】在等边中，点在直线上，点在线段的延长线上，且．若的边长为，，求的长．(利用备用图探究) 【答案】(1) (2)，见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2）得：是等边三角形，， ，， ， ． 34．（1）问题发现： 如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接． ①请直接写出的度数为_____； ②试猜想线段与线段有怎样的数量关系，并证明； （2）拓展探究： 图2，和均为等腰三角形，，点A、D、E在同－直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数线段之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1） ； ．证明见解析；（2）；；理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）①由条件和均为等边三角形，易证，从而得到：．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数．②由可得； （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，，进而判断出；根据，可得，所以，据此判断出． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②，证明如下： ∵， ∴． （2）；理由如下： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， 即， ∴， ∴． ∴． 在等腰直角中，为斜边上的高， ∴， ∴． ∴． 35．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 36．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； (3)当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)； (2)时，多项式有最大值为20； (3)，时，多项式有最小值为13． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可解答； （2）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答； （3）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）∵， ， ， ∵， ∴当时，多项式有最大值为20； （3）， ， ， ， ， ∵， ∴当，时，多项式有最小值为13 37．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点E．使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是： ； (2)如图2，，，．点D为的中点，求证：； (3)如图3，四边形，对角线，相交于点E，点F是边的中点，，，试探索与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 39．已知是等边三角形，是的中点，点在射线上，点在射线上，． (1)如图①，若点与点重合，求证：； (2)如图②，若点在线段上，点在线段上，，求的值． 【答案】(1)证明详见解析 (2)12 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到平分，求出的度数，再利用三角形内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求解． （2）由等边三角形的性质易得，过点作交于点，进而得到是等边三角形，然后利用证明，进而得到，最后利用线段的和差来求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． 是的中点， 平分， ． ，点与点重合， ， ， ． （2）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． 如图3，过点作交于点． ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【点晴】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，线段的和差．理解等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解答关键． 40．如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2) (3)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； （3）解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 41．（1）如图①，点C在上，，，，．则______； （2）如图②，在中，，，过点C作，且，试求的面积； （3）如图③，在四边形中，，的面积为12，且的长为6，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为12且的长为6， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 42．图是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图，将仪器放置在上，使点（与顶点重合，，  分别在边， 上，沿 画一条射线， 交于点，是的平分线吗?请判断并说明理由． (2)如图，在（）的条件下，过点作垂直 于点， 若，，的面积是，求的长和的值． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析； (2)，的值为． 【分析】（）由判定,然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （）过点作于点，由三角形的面积公式即可求出，再有三角形面积相等得出的值即可； 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：是的平分线，理由如下： 在和中， ∴ ∴， ∴是的平分线； （2）解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设三角形的BC边上的高为， ∴， ∴， ∴，即， ∴的值为． 43．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 44．小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，．    (1)小明认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)同意他的看法，理由见解析. (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键． （1）根据“直角三角形两锐角互余”以及垂直的定义，即可证明结论； （2）证明，易得，然后由求解即可． 【详解】（1）解：同意他的看法，即，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 答：的长是9． 45．如图①是一个长为，宽为m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形． (1)【知识生成】请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）：方法一： ；方法二： ； (2)【得出结论】根据（1）中的结论，请你写出代数式，，之间的等量关系为 ； (3)【知识迁移】根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足：，，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式和数形结合思想进行求解． （1）分别运用大正方形面积减去4个矩形面积和直接运用阴影部分边长的平方表示出图②中阴影部分的面积； （2）根据第（1）小题结果进行求解； （3）运用第（2）小题结果代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 图②中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； （2）解：由（1）题可得， ， 代数式，，之间的等量关系可表示为：， 故答案为：； （3）解：由（2）题结果可得， ， ， 当，时， ． 46．阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，， 则，， ∴ (1)【类比探究】若满足．求的值； (2)【联系拓展】若满足，则______；（直接写出结论，不用说明理由．） (3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？ 【答案】(1)； (2)； (3)阴影部分的面积和为平方单位． 【分析】（）根据题目提供的方法，进行计算即可； （）设，，则，，然后利用进行计算即可； （）由题意得，，，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为平方单位得，设，，根据即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，熟练掌握，，与间的关系． 【详解】（1）设，， 则，， 所以， ， ， ； （2）设，， 则，， 所以， ， ， ， 故答案为：； （3）由题意得，，， ∴阴影部分的面积和为， ∵长方形的面积为， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴ ， ， ； ∴阴影部分的面积和为平方单位． 47．如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等；线段和线段垂直，理由见解析 (2)存在，或，使得与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，在解题时注意分类讨论思想的运用． （1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：，，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）解：（1）与全等，线段和线段垂直．理由如下： 当时，， 又，即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， 即线段和线段垂直． （2）存在，或，使得与全等． 理由：依题意得： ①若， 则， 则， 解得； ②若， 则， 则， 解得：， 综上所述，存在或，使得与全等． 48．在中，，D为上一点，连接，将绕C点逆时针旋转至，连接，过C作交于F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）将绕C点逆时针旋转至可得是等腰直角三角形，再判定，即可证明结论； （2）如图：连接，根据是的垂直平分线可得，再根据中，，即可证明结论； （3）根据可得，设,则，再根据中，即可解得，进而得到的长即可． 【详解】（1）证明：绕C点逆时针旋转至可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． （3）解：∵，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设,则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴． 49．【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是利用倍长中线模型构造全等三角形证明线段关系． （1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， 根据一线三垂直模型证明，可得，，进而证明，即可得到，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接，可得，可得，，再证明，进而证明，从而可得，由，可得，即可证明结论； （3）由可得，，再结合，可得，由此得出结论． 【详解】（1）过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：； ∴， 又∵，， ∴， ∴，即F为的中点． （2）延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）由（2）得：， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，． 50．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上的动点，连接作等腰直角三角形且． (1)当点B在y轴负半轴上时， ①如图1，若，则______度； ②如图2，交x轴于点E，轴与交于点F，若，求证：平分； (2)如图3，当点B在y轴正半轴上且时，若，取点，连接交x轴于点Q．当点B运动时，的长度是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 【答案】(1)①20；②见解析 (2)长度不变， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质； （1）根据同角的余角相等即可解决问题； （2）如图2中，证明，可得垂直平分，利用等腰三角形的性质即可解决问题； （3）如图3中，过点C作轴于点H，证明，可得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】（1）①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵是等腰直角三角形且 ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 即 ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴平分； （2）的长度不变，． 过点C作轴于点H，如图所示 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 51．如图，点M，N分别是边长为的等边边上的动点，点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为1秒，连接交于点D. (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，连接，若，探究与之间的数量关系，并证明； (3)如图丙，在点M，N运动的过程中，是否存在以点M，N，C为顶点的三角形是直角三角形的情况，若存在，请直接写出对应的运动时间t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 (3)或，理由见详解 【分析】（1）根据可证明； （2）在上截取，证明，得出，证出，则可得出结论； （3）分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）解：证明：∵点M从顶点A沿向点C运动，点N同时从顶点C沿向点B运动，它们的速度都为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：存在．或， 理由如下， 由题意可得， ∴ ∵以点为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∵， ∴， ∴ 即 解得：， 当， ∵， ∴， ∴ 即： 解得：， 综上所述，或，时，以点为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 52．在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，求的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求解； （2）①由勾股定理可求，由可证，可得，，由勾股定理可得，即可求解； ②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下：是中点，， ， 中， ； （2）解：①证明：如图，延长至点，使，连接，，， ， 中，， ， ，， ， ，， ， ，即， 中，， ， ； ②解：当点在线段上时， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，延长至点，使，连接，，，   中，， 又， ， ，，， ，， ， ， ， ， 中，， ， ． ， ． 综上所述：的长度为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 53．如图，在中，．动点P以每秒的速度从点A出发，沿A→C→B→A的路径运动回到A点结束，设点P运动的时间为t秒．    (1)当时，求的面积； (2)若平分，求t的值； (3)若点P运动到边上，且使得，求t的值． 【答案】(1)32 (2)9秒 (3)16.8秒 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质等，理解题意，熟练掌握直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． （1）依题意得秒时，运动的路程，此时点在边上，则，由勾股定理求出，进而可得的面积； （2）当平分时，点在边上，过点作于，设，证和全等得，，则，，在中由勾股定理求出，进而得，据此可得的值； （3）过点作于，先利用三角形的面积公式求出，再利用勾股定理求出，进而得，则，据此得，由此可得的值． 【详解】（1）解： ，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动回到点结束， 当运动的时间秒时，运动的路程，此时点在边上，如图1所示：   ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ； （2）解：当平分时，点在边上， 过点作于，设，如图2所示：   ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， （秒， 即当平分，的值为9秒； （3）解：过点作于，如图3所示：    由三角形的面积公式得：， ， 在中，，， 由勾股定理得： ，于， ， ， ， ， （秒． 点运动到边上，且使得，的值为16.8秒． 54．已知和都是等腰直角三角形，． (1)如图1：连，求证：； (2)如图1：求证：； (3)若将绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段与交点为H，若，求出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到，，，得到，即得； （2）设直线与直线交于点C，根据，得到，根据三角形外角性质得到，即得； （3）根据等腰直角三角形性质得到，根据，，点A，M，N恰好在同一条直线上，得到，得到，根据勾股定理得到，即得． 【详解】（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， 即， ∴； （2）设直线与直线交于点C， 由（1）知，， ∴， ∴ ， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）知，， ∵，点A，M，N恰好在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和全等三角形综合．熟练掌握等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，旋转性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 55．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得： ，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 56．问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B，重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段之间满足的等量关系式为 ． 探索：如图②，在与中，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】问题：；探索：，理由见解析；应用：6 【分析】（1）问题：证明，根据全等三角形的性质解答； （2）探索：连接，根据全等三角形的性质得到，得到，根据勾股定理计算即可； （3）应用：过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）问题：， 理由如下：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）探索：， 理由如下：连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， 在中，，又， ∴； （3）应用：过点A作，使，连接， ∵， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 57．如图，和是等腰三角形且，，垂足为． (1)试说明的理由 (2)猜想和的位置关系，并说明理由； (3)试说明：． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据领补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 58．如图，在中，、的平分线交于点D，延长交于E，G、F分别在上，连接，其中，．    (1)当时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得，再根据外角性质即可求出 ； （2）在线段上取一点，使，连接，证明，得到，利用全等三角形的性质与外角性质得出，，证明，从而得到，即可证明结论． 【详解】（1）解：在中，∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （2）解：在线段上取一点，使，连接，如图所示：   平分， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， 为的一个外角， ，   为的一个外角， ， 平分， ， ， ∵， 在和中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的作辅助线是解决问题的关键． 59．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . (2)请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . (3)若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【答案】(1)， (2) (3)1，3，2 (4)①，；② 【分析】本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【详解】（1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 60．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； （3）能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【详解】（1） ，，， 为等边三角形 即 为等边三角形 ， 为直角三角形，且 （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，， 在和中 ， 由勾股定理得， 即； （3）在中，，， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接 ，，，， 是等边三角形 ， 、、、四点共线 在中， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$