专题05 一元一次方程的解法和应用（考题猜想，易错必刷55题17种题型专项训练）（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材北京版

专题05 一元一次方程的解法和应用（易错必刷55题17种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 列一元一次方程求值 · 与同类项结合列方程求值 · 与方程的解结合求值 · 解一元一次方程 · 给方程错误解求正确解 · 解分母为小数的一元一次方程 · 解是特殊的值时求字母的值 · 行程问题 · 配套问题 · 工程问题 · 销售问题 · 比赛积分问题 · 数字问题 · 几何问题 · 数轴动点线段问题 · 和差倍分问题 · 水电费问题 一、列一元一次方程求值（3个小题） 1．已知关于x的方程中，的解比的解大1，求a的值． 【答案】 【分析】分别求出两个一元一次方程的解，再根据的解比的解大1，建立关于a的方程，解方程即可． 【详解】解； 移项得：， 系数化为1得：； 移项得；， 合并同类项得：， 系数化为1得：； ∵的解比的解大1， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确求出对应方程的解是解题的关键． 2．如果方程的解与方程的解相同， 求式子的值． 【答案】 【分析】求出的解，把解代入中，可求得a的值，即可求得代数式的值． 【详解】解方程，       得x=10． 把x=10代入方程4x﹣（3a+1）=6x+2a﹣1中， 得：4×10﹣（3a+1）=6×10+2a﹣1， 解得a=﹣4， ∴ 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的概念，解一元一次方程，求代数式的值，掌握这些知识是关键． 3．（1）用方程解答：的5倍与2的和等于的3倍与4的差，求． 将下列解答过程补充完整： 列方程为： ； 解方程，移项： （依据 ）； 移项的目的： ； 解得： （2）小刚解方程去分母时出现了错误，请你能帮他改正，解答下列问题． 解：去分母，得； 改为： ，（依据 ）； 去括号，得 ，（依据 ）； 解得： 【答案】（1）；，等式的性质1；通过移项，把未知项移到方程的一边，已知项移到方程的另一边，为合并同类项做准备；； （2），等式的性质2；，乘法分配律； 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据一元一次方程的解法步骤求解即可． 【详解】（1）解：列方程为：； 解方程，移项：（依据等式的性质1）； 移项的目的：通过移项，把未知项移到方程的一边，已知项移到方程的另一边，为合并同类项做准备； 解得：． 故答案为：；，等式的性质1；通过移项，把未知项移到方程的一边，已知项移到方程的另一边，为合并同类项做准备；． （2）解：改为，（等式的性质2）； 去括号，得，（乘法分配律）； 解得：． 故答案为：，等式的性质2；，乘法分配律；． 【点睛】本题考查解一元一次方程，理解题意，熟练掌握一元一次方程的解法以及注意点是解答的关键． 二、与同类项结合列方程求值（2个小题） 4．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握同类项的定义：两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的次数也分别相同，根据题意，得，，解出，，即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查根据同类项求代数式的值，根据同类项的定义，得到，进而求出的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：7． 三、与方程的解结合求值（3个小题） 6．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：4 7．已知关于x的方程的解为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；所以此题可把代入求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， ∴， ∴； 故答案为：． 8．若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，再由题意可得是关于x的方程的解，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 解得， ∵方程的解与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴， ∴， 解得． 四、解一元一次方程（5个小题） 9．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 10．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可； （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤计算即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 11．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解： 去括号，可得： 移项，可得： 合并同类项，可得： 系数化为1，可得：． （2）解： 去分母，可得： 去括号，可得： 移项，可得： 合并同类项，可得：． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了如何解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤，本题只需移项、合并同类项、系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的一般步骤，本题只需去括号、移项、合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1是解题的关键． （1）先去括号，然后移项合并，最后化系数为1可得解； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并，最后化系数为1可得解； 【详解】（1）解：去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． （2）去分母得：， 去括号得： ， 移项合并得： ， 系数化为1得： ． 五、给方程错误解求正确解（2个小题） 14．小明在对方程去分母时，错误的得到了方程，因而求得的解是．求m的值及原方程的正确解． 【答案】；． 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程．将代入方程，整理即可求出m的值；将m的值代入方程即可求出正确的解． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：； 把代入方程得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 则方程的正确解为． 15．在解关于的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，按小明的方法去分母得，把代入求出，则原方程为，然后根据解方程的步骤求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】按小明的方法去分母得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 原方程正确的解是：， 故答案为：． 六、解分母为小数的一元一次方程（3个小题） 16．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：…………第一步 方程两边同时乘以15，去分母，得 …………第二步 去括号，得…………第三步 移项，得………第四步 合并同类项，得…………第五步 系数化1，得…………第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是____________．请你写出正确的解题过程． 【答案】三，去括号未改变符号，解题过程见解析 【分析】本题考查解整式方程．根据题意先判断哪步出错，并正确解答即可得到本题答案． 【详解】解：， 原方程可化为：， 方程两边同时乘以15，去分母，得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：， 所以是原方程的解． 17．解方程： ． 【答案】 【分析】原方程整理后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可求解． 【详解】原方程整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 18．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是， 故选：D． 七、解是特殊的值时求字母的值（6个小题） 19．关于x的方程的解是整数，则整数的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先求出方程的解，再根据解是整数得到整数的取值． 【详解】解：解关于x的方程得 ∵方程的解是整数 ∴k-2等于±3或±1 故k的值为5或-1或3或1 故选D． 【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是根据方程的解得情况得到k的关系式． 20．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ． 【答案】1 【分析】根据一元一次方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解：将代入方程， ， ， ， ， 由题意可知，，， ，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的定义． 21．关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是 ． 【答案】1或-1 【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值． 【详解】解：移项合并得：， 系数化为1得：， ∵x为正整数， ∴2-k=1或2-k=3， 解得k=1或-1， 故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值． 22．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：的解为且，则方程是“商解方程”．请回答下列问题： （1）判断是不是“商解方程”； （2）若关于的一元一次方程是“商解方程”，求的值． 【答案】（1）是；（2）． 【分析】（1）解方程，并计算对应的值，根据“商解方程”的定义判断即可； （2）解方程，根据“商解方程”的定义列方程，解出即可． 【详解】解：（1） 解得，， ， 是“商解方程”； （2）由“商解方程义”的定义，得, 解关于的一元一次方程， 得, , ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解与新定义：“商解方程”，解好本题要注意两件事：①熟练掌握一元一次方程的解法；②明确“商解方程”的定义． 23．关于的一元一次方程，其中是正整数． （1）当时，求方程的解； （2）若方程有正整数解，求的值． 【答案】（1）；（2）1或4 【分析】（1）将m的值代入计算求解即可； （2）解方程得，根据m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解确定m的可能值． 【详解】（1）将m=3代入方程，得， ∴3x-1=4 3x=5 ； （2） ， ， ∵m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解， ∴m=1或m=4． 【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案． 24．【问题】将化为分数形式． 【探求】步骤①设． 步骤②． 步骤③，则． 步骤④，解得：． 【回答】（1）化为分数形式得 ； （2）化为分数形式得 ． 【答案】 【分析】(1)利用等式的基本性质，设x=0.，仿照材料中的探求过程，即可得出答案； (2)利用已知设x=0.1，进而得出10x=1+0.1 ，由 （1）中得到的0.=代入得10x=1+ ，进而求出x． 【详解】(1)设x=0.， 则10x=10×0. ∴10x =3.，则10x =3＋0. ∴10x =3+x 9x=3 x=． (2)设x=0.1 10x=10×0.1， 10x=1.，则10x=1+0. 由(1)知，0.=， 代入得 10x=1+ 解得x= 故答案为：①；② 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用以及等式的基本性质，根据题意得出等量关系是解题关键. 八、行程问题（5个小题） 25．甲、乙二人在环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒跑一圈．若两人同时同地同向跑，则第一次相遇要经过 秒． 【答案】120 【分析】两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：快者走的路程-慢者走的路程=环形跑道一圈的长度，列出方程，即可解答． 【详解】解：设环形跑道一圈为a米，x秒后第一次相遇，根据题意可得： ， 解得：， 答：120秒后第一次相遇． 故答案为：120． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是设出未知数，列方程． 26．甲、乙两地相距，A车以的速度由甲地到乙地，同时，B车以的速度由乙地到甲地，经过 它们相遇． 【答案】 【分析】A车和B车运动的路程等于甲、乙两地的距离，据此根据速度公式列出等式求解即可． 【详解】解：设A ，B两车相遇的时间为x小时， 根据题意得 解得 答：经过小时两车相遇． 故答案为：． 【点睛】此题考查一元一次方程的应用——行程问题中的相遇问题，解题关键是审清题意正确找到相等关系列出方程． 27．甲、乙两人从相距40千米的两地，同时出发，相向而行．甲的速度为4千米/时，甲、乙两人的速度之比为2：3，当两人相距10千米时，则所需要的时间是 小时． 【答案】3或5/5或3 【分析】先求出乙的速度，然后分两种情况：当两人还没相遇，两人相距10千米时和当两人相遇后，两人相距10千米时，分别计算即可． 【详解】∵甲的速度为4千米/时，甲、乙两人的速度之比为2：3， ∴乙的速度为6千米/时， 设经过x小时，甲、乙两人相距10千米， 当两人还没相遇，两人相距10千米时， 可得：， 解得：； 当两人相遇后，两人相距10千米时， 可得：， 解得：； 答：经过3或5小时，甲、乙两人相距10千米． 故答案为：3或5． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 28．据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，再利用车速度之间的关系列方程，再解方程即可． 【详解】解：设通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小艺爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则 ， 解得：， ∴， 答：通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是每小时千米． 29．2023年10月，“弈启杯”国际象棋比赛在北京市怀柔区雁栖湖展览馆举行，早上开始正式比赛，小明一家三口早上可以乘坐动车或自驾前往怀柔雁栖湖站，自驾距离要比动车运行距离多5千米，运行时间如下表，如果动车运行的速度是汽车速度的2倍，小明一家出发，自驾前往怀柔雁栖湖站，结果正好到达．求汽车行驶的速度． 车次 昌平北站 怀柔雁栖湖站 【答案】汽车行驶的速度为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，自驾用时68分钟，动车用时32分钟，设汽车行驶的速度为千米分钟，根据自驾距离要比动车运行距离多5千米得：，即可解得答案． 【详解】解：由已知可得，自驾用时68分钟，动车用时32分钟， 设汽车行驶的速度为千米分钟， 根据题意得：， 解得， 答：汽车行驶的速度为1.25千米分钟，即． 九、配套问题（4个小题） 30．列方程解应用题． 某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 【答案】有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键．设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设有x名工人加工桌面，则加工桌腿的有名， 根据题意得，， 解得：， 名，   答：有20名工人加工桌面，40名工人加工桌腿． 31．某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该厂有44名工人，每名工人每小时可以制作筒身50个或制作筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设应该分配名工人制作筒身，根据一个筒身配两个筒底，列出方程即可． 【详解】解：设应该分配名工人制作筒身，则制作筒底的工人有名， 由题意，得：； 故选C． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 32．列方程解应用题： 某车间有88名工人生产甲、乙两种零件，每名工人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个． 已知2个甲种零件和1个乙种零件配成一套，问应分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 【答案】40名工人生产甲种零件，48名工人生产乙种零件 【分析】设应分配x人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配x名工人生产甲种零件，名工人生产乙种零件， 根据题意列方程，得 ． 解得： ∴ 答：应分配40名工人生产甲种零件，48名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解． 33．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装4块大月饼和8块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉，现共有面粉，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？最多可生产多少盒盒装月饼？ 【答案】应用面粉生产大月饼，面粉生产小月饼才能生产最多的盒装月饼．最多可生产12500盒盒装月饼 【分析】设用面粉生产大月饼，用面生产小月饼，根据每盒中装4块大月饼和8块小月饼，列出方程，可得，即可求解． 【详解】解：设用面粉生产大月饼，用面生产小月饼， ∵每盒中装4块大月饼和8块小月饼， ， 解得， 共生产了：（盒）． 答：应用面粉生产大月饼，面粉生产小月饼才能生产最多的盒装月饼．最多可生产12500盒盒装月饼． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 十、工程问题（3个小题） 34．整理一批数据，由一个人做要40小时完成．现由x人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，假设这些人的工作效率相同，则可列方程为 （用含x的式子表示）． 【答案】 【分析】由一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．题中存在的相等关系是：这部分人4小时的工作增加2人后8天的工作全部工作．设全部工作是1，这部分共有人，就可以列出方程． 【详解】解：解：设应先安排人工作， 根据题意得：一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，工作量为，再增加2人和他们一起做8小时的工作量为：， 故可列式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 35．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作，根据工作总量工作时间工作效率列出方程求解即可． 【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作． 依题意列方程，得． 解得． 答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作． 36．用两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台型机器比型机器一天多生产2件产品，3台型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每台型机器一天生产件产品． 答： 方法二 分析：设每箱装件产品，则3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每箱装件产品． 答： 【答案】每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 【分析】选择方法一：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，根据每箱装产品的件数一样列出等式，即可求解；选择方法二：设每箱装件产品，根据两种机器每台一天生产产品的数量关系列出等式即可求解． 【详解】解：方法一：，； 设每台型机器一天生产件产品， 依题意列方程，得， 解得， 所以， 答：每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品；   方法二：，；    设每箱装件产品， 依题意列方程，得， 解得， 所以， 答：每台型机器一天生产40件产品，每箱装24件产品． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，列出一元一次方程是解题的关键． 十一、销售问题（4个小题） 37．2023年12月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个30元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小雅原计划购买手提袋多少个？ (2)艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共50本作为奖品，其中新年日历标价每本20元，画册标价每本10元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计560元．问老师购买了新年日历和画册各多少本？ 【答案】(1)15个； (2)新年日历：20本，画册：30本． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用问题；解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设小雅原计划购买手提袋x个，则实际购买了个，根据对话内容列出方程即可得出结果； （2）设老师购买了新年日历y本，根据两种物品的购买总费用560元，列出方程即可得出结果． 【详解】（1）（1）解：设小雅原计划购买手提袋x个，则实际购买了个， 由题意得：． 解得：； 答：小雅原计划购买手提袋15个； （2）（2）解：设老师购买了新年日历y本，，则购买画册本， 由题意得：， 解得：， 则：（本）． 答：老师购买了新年日历20本，购买画册30本． 38．列方程解应用题： 某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？ 【答案】购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键；设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服套．根据“买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元”，再建立方程求解即可． 【详解】解：设公司购买A款式运动服x套，则购买B款式运动服套． 根据题意可得，． 解得：，则． 答：公司购买A款式运动服30套，购买B款式运动服20套． 39．某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%． (1)每件A种商品利润率为______，B种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 【答案】(1)，50 (2)20件 (3)750元或850元 【分析】（1）设B种商品的进价为x元，根据利润除以进价=利润率就可以直接求出结论； （2）设甲种商品购进y件，则乙种商品购进（50-y）件，由甲、乙两种商品的进价之和为2100建立方程求出其解即可． （3）设小华一次性购买A，B商品的实际总金额为a元，分两种情况：当小华此次购物打折前的总金额超出500元，但不超过800元时；当小华此次购物打折前的总金额超出800元时，分别列方程求解． 【详解】（1）A种商品的利润率为， 设B种商品的进价为x元，由题意，得 ， 解得， 故答案为：，50； （2）设A种商品购进y件，则B种商品购进件，由题意，得 ， 解得， ∴该商场购进A种商品20件； （3）设小华一次性购买A，B商品的实际总金额为a元， ∵，， ∴当小华此次购物打折前的总金额超出500元，但不超过800元时， ，解得； 当小华此次购物打折前的总金额超出800元时， ，解得； ∴小华此次购物打折前的总金额为750元或850元． 【点睛】本题考查了分式方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润÷进价=利润率的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据甲乙两种商品的进价之和建立方程是关键． 40．某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)甲50件，乙115件 (2)9折 【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据“第一次以4450元购进甲、乙两种商品”列方程求解即可； （2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据“乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样”列方程求解即可． 【详解】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得： 解得 所以，第一次购进甲种商品50件，则购进乙种商品115件． （2）设第二次甲商品是按原价打m折销售，根据题意得： 解得 答：第二次甲商品是按原价打9折销售． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系是解题的关键． 十二、比赛积分问题（3个小题） 41．如表是某次篮球联赛积分榜的一部分 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 光明 远大 钢铁 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分； (2)设某队胜场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含的整式填空）； (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值． 【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分 (2)， (3)3 【分析】（1）设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积分，根据光明队胜9场负5场积23分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设胜了x场，则负了（14-x）场，由胜一场积2分负一场积1分即可得出结论； （3）根据负场总积分是胜场总积分的n倍即可得出关于x的一元一次方程，解方程求出x值，再根据x、n均为正整数即可得出n的值． 【详解】（1）设胜一场积a分，则由远大队胜、负积分可知负一场积分， ∴由光明队可得： 解得： ∴ ∴胜一场积2分，负一场积1分 （2）设胜了x场，则负了（14-x）场， ∴胜场总积分为分，负场总积分为（）分 （3）∵负场总积分是胜场总积分的倍 ∴ 解得： ∵x和n均为正整数， ∴ ∴解得（舍去），（舍去）、、（舍去） 故答案为：3 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键． 42．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： （1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分； （2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题） 【答案】（1）5，2；（2）D，答对了12道题，见解析 【分析】（1）根据A的得分可求出每答对一题的加分，根据B或C的得分可求出每打错一题的减分； （2）设小刚答对x道题，则答错道题，列方程对每个选项分析即可； 【详解】解：（1）答对一题加：100÷20=5分， 打错一题减：(18×5-86) ÷2=2分， 故答案为：5，2；          （2）设他答对x道题，则答错道题． A. 若，解得x=，故不符合题意； B．若，解得x=，故不符合题意； C．若，解得x=，故不符合题意； D．若，解得，符合题意； 答：学生小刚答对了12道题． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 43．某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 2 88 C 64 D 10 40 （1）参赛者E说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗?并说明理由； （2）补全表格，并写出你的研究过程． 【答案】（1）不可能，理由见解析；（2）见解析． 【分析】（1）由参赛者A可得答对一道得5分，结合参赛者B可得答错一道扣1分，然后求出参赛者E的得分即可； （2）根据共作答20道，可补全参赛者B、D；设参赛者C答对x道，答错(20-x)道，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）不可能，理由如下： 由参赛者A可得答对一道得5分，结合参赛者B可得答错一道扣1分 则参赛者E的得分为：5×10-1×10=40分 所以参赛者E说他错了10个题，不可能得50分； （2）由试题共设20道选择题，每题必答，则参赛者B答对20-2=18道；参赛者D答错20-10=10道； 设参赛者C答对x道，答错(20-x)道 5x-（20-x）=64，解得x=15 所以参赛者C答对14道，答错6道． 故答案为： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 14 6 64 D 10 10 40 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5分、答错一道扣1分成为解答本题的关键． 十三、数字问题（2个小题） 44．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（    ） A．45 B．27 C．72 D．54 【答案】D 【分析】此题应先设个位数字为，十位数字为，再由“将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数小9”得，即算出原来的两位数． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意得，， 解得：． 则原来的两位数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解决此类题的关键． 45．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为15 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设十位上的数字为，根据个位上的数字与十位上的数字之和是6，新数比原数的三倍多6，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为15． 十四、几何问题（3个小题） 46．如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    【答案】8 【分析】本题考查了利用一元一次方程组解决图形面积的问题，由图可得出小长方形的长是宽的三倍，再设小长方形的宽为，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由图可知：小长方形的长是宽的三倍，设小长方形的宽为，故小长方形的长为，可得：， 解得：， 小长方形的宽为，长为， 故小长方形的周长为：， 故答案为：8． 47．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为，则图中阴影部分周长和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设小正方形的边长为，可得出长方形的长和宽，根据其周长可建立方程求解，进而可求阴影部分周长． 【详解】解：设小正方形的边长为， 则：， ∵长方形的周长为， ∴ 解得： ∴，，， ∴阴影部分周长和为： 故答案为： 48．如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为的正方形拼成，则大长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的宽为，根据题意列出方程解得，再根据大长方形的面积是五个小长方形的面积和一个正方形面积相加的和，即可求解． 【详解】解：设小长方形的宽为， 根据题意，有， 解得， 大长方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正方形和长方形面积公式，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 十五、数轴动点线段问题 十六、和差倍分问题（4个小题） 49．有A，B两袋大米，A袋大米重千克，它的比B袋的少8千克．若设B袋有x千克大米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意中所给出的数量关系列出方程即可． 【详解】解：设B袋有x千克大米， 根据题意可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，理清题目中的数量关系是解本题的关键． 50．《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》《雅》《颂》三部分．其中《颂》和《风》的篇数之和为200篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的，则《风》有 篇． 【答案】160 【分析】设《风》有篇，表示出《颂》的篇数，再根据《颂》的篇数恰好是《风》篇数的，列出方程，解之即可． 【详解】解：设《风》有篇， 则《颂》有篇， 根据题意得：， 解得：， 即《风》有160篇． 故答案为：160． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题目中等量关系式列出方程是解题关键． 51．列方程解应用题：某中学组织部分师生去北京展览馆参观“奋进新时代”主题成就展．如果单租45座客车若干辆，则全部坐满；如果单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求该校前去参观的师生总人数． 【答案】225人 【分析】设需要租60座的客车x辆，则需租45座的客车辆，根据总人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设需要租60座的客车x辆，则需租45座的客车辆， 根据题意得：， 解得：， ∴(人)． 答：观看戏剧演出的学生总人数为225人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 52．列方程解应用题：某校组织部分师生去北京世园公园参加志愿服务活动．为践行“绿色出行，节能减排”的环保理念，选择骑自行车和步行两种出行方式．已知参加志愿服务活动的教师和学生共30人；其中选择步行人数比选择骑自行车人数的2倍还多3人，问选择骑自行车参加志愿服务活动的共有多少人？ 【答案】9人 【分析】设选择骑自行车人数为x人，则选择步行人数有人，根据参加活动的教师和学生共30人列方程求出x的值即得到选择骑自行车人数． 【详解】解：设选择骑自行车人数为x人，则选择步行人数有人， 根据题意得， 解得， 答：选择骑自行车人数有9人． 【点睛】此题考查一元一次方程解应用，正确地用代数式表示选择骑自行车人数和选择步行人数的人数是解题的关键． 十七、水电费问题（3个小题） 53．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1) (2) (3)小林家在11月份的用电量为305度． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）由可得此时单价为每度元，利用总价等于单价乘以数量即可得到答案； （2）由小林家月份用电度，可得此时分两段计费，其中度每度元，超过部分度，每度元，从而可得答案； （3）设小林家在月份的用电量为度，由，可得，再列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴小林家4月份应付的电费(元)． 故答案为：90； （2）解：∵小林家6月份用电度， ∴小林家6月份应付的电费元， 故答案为：； （3）解：设小林家在11月份的用电量为x度， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：小林家在11月份的用电量为305度． 54．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1～4月份用水量和缴费情况： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 8 10 12 15 费用/元 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)填空：当用水量不超过10吨时，每吨收费______元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费______元； (2)若小明家5月份用水量为吨（其中），则应缴水费______元．（用含的代数式表示，并化成最简形式） (3)若小明家6月份缴纳水费29元，用列方程的方法求出小明家6月份用水多少吨？ 【答案】(1) (2) (3)小明家6月份用水吨 【分析】（1）根据1月份的条件，当用水量不超过10吨时，每吨的收费2元．根据3月份的条件，用水12吨，其中10吨应交20元，则超过的2吨收费6元，则超出10吨的部分每吨收费3元； （2）大于10吨，10吨水的费用20，超出10吨的部分按每吨3元计算，即可得出答案； （3）由题意可得出，10吨的费用20元+超过部分的费用=29元，据此列方程计算即可． 【详解】（1）由图得，元，元， ∴当用水量不超过10吨时，每吨收费2元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费3元； 故答案为：； （2）由题意得，元， 故答案为：； （3）设小明家6月份用水吨， ， ， 由题意得， 解得， 所以，小明家6月份用水吨． 【点睛】本题考查了列代数式及一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据图表找出收费方式． 55．为响应国家节能减排政策，某班开展了节电竞赛活动．通过随手关灯、提高夏季空调温度、及时关闭电源等行为小明和小玲两位同学半年共节电55度．据统计，节约1度电相当于减排0.997千克“二氧化碳”，在节电55度产生的减排量中，若小明减排量的2倍比小玲多19.94千克．设小明半年节电x度．请回答下面的问题： (1)用含x的代数式表示小玲半年节电量为 度，用含x的代数式表示这半年小明节电产生的减排量为 千克，用含x的代数式表示这半年小玲节电产生的减排量为 千克． (2)请列方程求出小明半年节电的度数． 【答案】(1)（55－x），0.997x，0.997（55－x） (2)25度 【分析】（1）根据题意列出相关的代数式即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：用含x的代数式表示小玲半年节电量为（55－x）度，用含x的代数式表示这半年小明节电产生的减排量为0.997x千克，用含x的代数式表示这半年小玲节电产生的减排量为0.997（55－x）千克． 故答案为：（55－x），0.997x，0.997（55－x） （2）列方程为： 解得： 答：小明半年节电25度． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系． $$专题05 一元一次方程的解法和应用（易错必刷55题17种题型专项训练） · 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 列一元一次方程求值 · 与同类项结合列方程求值 · 与方程的解结合求值 · 解一元一次方程 · 给方程错误解求正确解 · 解分母为小数的一元一次方程 · 解是特殊的值时求字母的值 · 行程问题 · 配套问题 · 工程问题 · 销售问题 · 比赛积分问题 · 数字问题 · 几何问题 · 数轴动点线段问题 · 和差倍分问题 · 水电费问题 一、列一元一次方程求值（3个小题） 1．已知关于x的方程中，的解比的解大1，求a的值． 2．如果方程的解与方程的解相同， 求式子的值． 3．（1）用方程解答：的5倍与2的和等于的3倍与4的差，求． 将下列解答过程补充完整： 列方程为： ； 解方程，移项： （依据 ）； 移项的目的： ； 解得： （2）小刚解方程去分母时出现了错误，请你能帮他改正，解答下列问题． 解：去分母，得； 改为： ，（依据 ）； 去括号，得 ，（依据 ）； 解得： 二、与同类项结合列方程求值（2个小题） 4．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．若单项式与是同类项，则的值为 ． 三、与方程的解结合求值（3个小题） 6．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 7．已知关于x的方程的解为，则a的值为 ． 8．若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值． 四、解一元一次方程（5个小题） 9．解方程： (1)； (2)． 10．解下列方程： (1) (2) 11．解方程： (1)； (2) 12．解方程： (1)； (2)． 13．解方程 (1)． (2)． 五、给方程错误解求正确解（2个小题） 14．小明在对方程去分母时，错误的得到了方程，因而求得的解是．求m的值及原方程的正确解． 15．在解关于的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是 ． 六、解分母为小数的一元一次方程（3个小题） 16．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程： 解：原方程可化为：…………第一步 方程两边同时乘以15，去分母，得 …………第二步 去括号，得…………第三步 移项，得………第四步 合并同类项，得…………第五步 系数化1，得…………第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是____________．请你写出正确的解题过程． 17．解方程： ． 18．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 七、解是特殊的值时求字母的值（6个小题） 19．关于x的方程的解是整数，则整数的可能值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是1，则 ． 21．关于x的一元一次方程的解是正整数，整数k的值是 ． 22．我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“商解方程”．例如：的解为且，则方程是“商解方程”．请回答下列问题： （1）判断是不是“商解方程”； （2）若关于的一元一次方程是“商解方程”，求的值． 23．关于的一元一次方程，其中是正整数． （1）当时，求方程的解； （2）若方程有正整数解，求的值． 24．【问题】将化为分数形式． 【探求】步骤①设． 步骤②． 步骤③，则． 步骤④，解得：． 【回答】（1）化为分数形式得 ； （2）化为分数形式得 ． 八、行程问题（5个小题） 25．甲、乙二人在环形跑道跑步，甲80秒跑一圈，乙48秒跑一圈．若两人同时同地同向跑，则第一次相遇要经过 秒． 26．甲、乙两地相距，A车以的速度由甲地到乙地，同时，B车以的速度由乙地到甲地，经过 它们相遇． 27．甲、乙两人从相距40千米的两地，同时出发，相向而行．甲的速度为4千米/时，甲、乙两人的速度之比为2：3，当两人相距10千米时，则所需要的时间是 小时． 28．据新华网北京频道（2023年11月24日）报道，京雄高速五环至六环段主体已经完工，北京段计划于2023年12月31日全线贯通． 通车后，由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟． 小艺爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27.5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 29．2023年10月，“弈启杯”国际象棋比赛在北京市怀柔区雁栖湖展览馆举行，早上开始正式比赛，小明一家三口早上可以乘坐动车或自驾前往怀柔雁栖湖站，自驾距离要比动车运行距离多5千米，运行时间如下表，如果动车运行的速度是汽车速度的2倍，小明一家出发，自驾前往怀柔雁栖湖站，结果正好到达．求汽车行驶的速度． 车次 昌平北站 怀柔雁栖湖站 九、配套问题（4个小题） 30．列方程解应用题． 某家具厂有60名工人，加工某种有一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工3个桌面或6个桌腿．分配多少工人加工桌面，多少工人加工桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿配套？ 31．某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒．已知该厂有44名工人，每名工人每小时可以制作筒身50个或制作筒底120个．要求一个筒身配两个筒底，设应该分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 32．列方程解应用题： 某车间有88名工人生产甲、乙两种零件，每名工人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件10个． 已知2个甲种零件和1个乙种零件配成一套，问应分配多少名工人生产甲种零件，多少名工人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？ 33．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装4块大月饼和8块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉，现共有面粉，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？最多可生产多少盒盒装月饼？ 十、工程问题（3个小题） 34．整理一批数据，由一个人做要40小时完成．现由x人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，假设这些人的工作效率相同，则可列方程为 （用含x的式子表示）． 35．故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？    36．用两种型号的机器生产相同的产品，产品装入同样规格的包装箱后运往仓库．已知每台型机器比型机器一天多生产2件产品，3台型机器一天生产的产品恰好能装满5箱，4台型机器一天生产的产品恰好能装满7箱．每台型机器一天生产多少件产品？每箱装多少件产品？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设每台型机器一天生产件产品，则每台型机器一天生产件产品，3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每台型机器一天生产件产品． 答： 方法二 分析：设每箱装件产品，则3台型机器一天共生产______件产品，4台型机器一天共生产______件产品，再根据题意列方程． 解：设每箱装件产品． 答： 十一、销售问题（4个小题） 37．2023年12月，我校开展了“艺青春”艺术节系列活动，小雅同学报名了艺术集市的售卖活动．集市开始前，她在文体超市购买了若干个手提袋进行售卖，这种手提袋标价每个30元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： (1)求小雅原计划购买手提袋多少个？ (2)艺术组老师也来到文体超市，购买了新年日历和画册共50本作为奖品，其中新年日历标价每本20元，画册标价每本10元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计560元．问老师购买了新年日历和画册各多少本？ 38．列方程解应用题： 某公司计划为员工购买一批运动服，已知A款运动服每套180元，B款运动服每套210元，公司购买了这两种运动服共计50套，合计花费9600元，求公司购买两种款式运动服各多少套？ 39．某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%． (1)每件A种商品利润率为______，B种商品每件进价为______； (2)若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 不优惠 超过500元，但不超过800 按总售价打九折 超过800元 其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠 按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额． 40．某超市第一次以4450元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数是甲商品件数的2倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：利润＝售价－进价） 甲 乙 进价（元/件） 20 30 售价（元/件） 25 40 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数不变，甲商品的件数是第一次的2倍；乙商品按原价销售，甲商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润与第一次获得的总利润一样，求第二次甲商品是按原价打几折销售？ 十二、比赛积分问题（3个小题） 41．如表是某次篮球联赛积分榜的一部分 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 光明 远大 钢铁 备注：积分=胜场积分+负场积分 (1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分； (2)设某队胜场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分（用含的整式填空）； (3)若某队的负场总积分是胜场总积分的倍，其中为正整数，请直接写出的值． 42．某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况： 参赛学生 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 86 C 15 5 65 请结合表中所给数据，回答下列问题： （1）本次知识问答中，每答对一题加 分，每答错一题减 分； （2）若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，那一个可能是小刚的得分： （填写选项）； A．75；B．63；C．56；D．44 并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列方程解决问题） 43．某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 2 88 C 64 D 10 40 （1）参赛者E说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗?并说明理由； （2）补全表格，并写出你的研究过程． 十三、数字问题（2个小题） 44．一个两位数，个位数字与十位数字的和为9，如果将个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9，则原两位数是（    ） A．45 B．27 C．72 D．54 45．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 十四、几何问题（3个小题） 46．如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    47．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为，则图中阴影部分周长和为 ． 48．如图，大长方形是由5个完全相同的小长方形和一个边长为的正方形拼成，则大长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 十五、数轴动点线段问题 十六、和差倍分问题（4个小题） 49．有A，B两袋大米，A袋大米重千克，它的比B袋的少8千克．若设B袋有x千克大米，根据题意可列方程为 ． 50．《诗经》是我国第一部诗歌总集，共分为《风》《雅》《颂》三部分．其中《颂》和《风》的篇数之和为200篇，且《颂》的篇数恰好是《风》篇数的，则《风》有 篇． 51．列方程解应用题：某中学组织部分师生去北京展览馆参观“奋进新时代”主题成就展．如果单租45座客车若干辆，则全部坐满；如果单租60座的客车，则少租一辆，且余15个座位．求该校前去参观的师生总人数． 52．列方程解应用题：某校组织部分师生去北京世园公园参加志愿服务活动．为践行“绿色出行，节能减排”的环保理念，选择骑自行车和步行两种出行方式．已知参加志愿服务活动的教师和学生共30人；其中选择步行人数比选择骑自行车人数的2倍还多3人，问选择骑自行车参加志愿服务活动的共有多少人？ 十七、水电费问题（3个小题） 53．为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 54．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司按如下方式对每户用水量进行计费：当用水量不超过10吨时，每吨的收费标准相同；当用水量超过10吨时，超出10吨的部分每吨收费标准也相同．下表是小明家1～4月份用水量和缴费情况： 月份 1 2 3 4 用水量/吨 8 10 12 15 费用/元 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息，回答以下问题： (1)填空：当用水量不超过10吨时，每吨收费______元，当用水量超过10吨时，超过部分每吨收费______元； (2)若小明家5月份用水量为吨（其中），则应缴水费______元．（用含的代数式表示，并化成最简形式） (3)若小明家6月份缴纳水费29元，用列方程的方法求出小明家6月份用水多少吨？ 55．为响应国家节能减排政策，某班开展了节电竞赛活动．通过随手关灯、提高夏季空调温度、及时关闭电源等行为小明和小玲两位同学半年共节电55度．据统计，节约1度电相当于减排0.997千克“二氧化碳”，在节电55度产生的减排量中，若小明减排量的2倍比小玲多19.94千克．设小明半年节电x度．请回答下面的问题： (1)用含x的代数式表示小玲半年节电量为 度，用含x的代数式表示这半年小明节电产生的减排量为 千克，用含x的代数式表示这半年小玲节电产生的减排量为 千克． (2)请列方程求出小明半年节电的度数． $$