第三章 圆3.3 垂径定理 课件 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

北师版·九年级下册 3 垂径定理 1 问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 37.4m 7.2m 探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M. 1 垂径定理及其推论 A B O C D M (1) 右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条. 连接 OA，OB，则OA = OB. 在Rt△OAM 和Rt△OBM 中， ∵OA = OB，OM = OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM = BM. ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称. A B O C D M 合作证明 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B O C D M 证明：连接 OA，OB，则OA = OB. 在Rt△OAM 和Rt△OBM 中， ∵OA = OB，OM = OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM = BM，∠AOC = ∠BOC. ∴∠AOD = 180°－∠AOC， ∠BOD = 180°－∠BOC. ∴∠AOD = ∠BOD. C D A B M O ∵⊙O关于直径CD对称， ∴当圆沿着直径CD对折时， 点A与点B重合， CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 C D A B M O 结论 AM = BM A B O C D M 垂径定理 垂直于弦的直径（半径）平分这条弦，并且平分弦所对的(两条）弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 推导格式(几何语言）： 你能用几何语言表示吗？ 定义总结 ∴AM = BM， ， . (结论) 判断下列图形，能否使用垂径定理？ C D A B O C D E O C D A B O 定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA. ∴ AB = 2AE = 16 (cm). 16 ∵ OE⊥AB， 典例精析 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直. 是 不是，因为 AB，CD 都不是直径. O A B C A B O E A B D C O E A B O C D E 一条直线： ⑤平分弦所对的劣弧 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 思考探索 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 垂径定理 A B O C D M 探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． A B O C D M (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. C D A B M O CD为⊙O的直径 条件 CD⊥AB AM = BM 结论 CD⊥AB A B O C D M 解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AM = BM，OM=OM ∴∠AMO =∠BMO = 90°. ∴ CD⊥AB. ∴△AOM≌△BOM(SSS). 证明举例 由垂径定理可得 ∵ ⊙O关于直径CD对称， ∴ 当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合， 归纳总结 垂径定理的逆定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. · O A B C D “不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 圆的两条直径是互相平分的. 特别说明： C D A B M O 几何语言 ∵CD为⊙O的直径， AM = BM， ∴ CD⊥AB， C D A B M O 还有如下正确结论： CD为直径 CD⊥AB于M AM = BM 垂径定理的本质是： 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧 知二推三 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备 （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论. 随堂练习 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ） A. CM = DM B. C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD D 2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，OC⊥AB 于 C .若 AB = ，OC = 1，则半径 OB 的长为______. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 勾股定理 1 2 1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm. 5 2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm， 弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm. 14 或 2 3.圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度. A B 0.8 解：如图，作 OC⊥AB 于点 C，连接 OA， ∴∠ACO = 90°， AC = AB. A B 0.8 ∴ 水深的最大深度为 0.8 m. ∴ 0.3 + 0.5 = 0.8 (m). 在 Rt△AOC 中，根据勾股定理，得 ∵ 直径为 1 m，∴ OA = 0.5 m. ∵ AB = 0.8 m， ∴ AC = 0.4 m. 1. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿____cm. C 图 b D C B O A D O A B 图 a 2 或 12 指弦中点到弦所对的弧中点的距离CD 练一练 例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径. 解:连接 OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为 R m,则 OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得 R = 545. ∴这段弯路的半径约为 545 m. A B C D O h r d 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 指圆心 O 到弦的距离 d + h = r 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 回顾导入 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 4.如图所示，OC 交 AB 于点 D，AD = DB，AB = 6cm，CD = 1cm，求⊙O 的半径长. 解：设圆的半径为 R，则OB = OC = R， ∵ AD = DB， ∴ OC⊥AB， 根据勾股定理，得32+（R – 1）2 = R2， 解得 R = 5 cm. 即⊙O 的半径长为 5 cm. 5. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？ 圆心在平行弦外 圆心在其中一条弦上 圆心在平行弦内 若⊙O中弦AB∥CD.那么 吗？为什么？ M N 解： 理由是：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则 ， （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）. 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的弧. 两条辅助线：连半径，作弦心距 构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 圆心到弦的距离 课堂小结 C D A B M O 课后作业 习题3.3 1、2、3、4 1. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言就是:如图，CD为⊙О的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长. 【教材P76 第1题】 知识技能 解：连接OA,设⊙O的半径为r寸，则OE=（r-1）寸. ∵CD为直径，且CD⊥AB,∴ 寸. 在Rt△AOE中， ∵OA2=AE2=OE2,∴r2=52+（r-1）2， 解得r=13. ∴CD=26寸. 2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离及∠OAB的余弦值. 【教材P76 第2题】 解：如图所示，过点O作OC⊥AB于点C， 则 . 在Rt△ACO中， 故点O到AB的距离为24mm，∠OAB的余弦值为0.6. 3.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？ 【教材P77 第3题】 解：AC=BD.理由如下: 如图所示,过点О作OE⊥AB于点E. ∵在大圆中,AE=EB,在小圆中,CE=ED, ∴AE-CE=EB-ED,即AC=BD. 数学理解 4.如图，M为⊙O内一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M，并且AM=BM. 【教材P77 第4题】 解：如图所示. 作法(1)连接OM. (2)过点M作OM的垂线,交⊙O于点A,B.线段AB即为所求的弦. $$