期末押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：浙教版2024七上全部内容）-2024-2025学年七年级数学上学期重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

期末押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：浙教版2024七上全部内容】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在下列数中：0，，，，3.14，，0.3131131113…（每两个3之间依次多一个1），有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数一一判断即可． 【详解】解：在下列数中：0，，，，3.14，，0.3131131113…（每两个3之间依次多一个1），有理数为：0，，，3.14，一共4个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次，数据765000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．是多项式 C．0不是单项式 D．的次数2 【答案】B 【分析】本题考查了单项式和多项式的有关概念，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数． 【详解】解：A．的系数是，故原说法不正确； B．是多项式，正确； C．0是单项式，故原说法不正确； D．的次数3，故原说法不正确； 故选B． 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．263 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，根据题意可知，这个数是负数，且百位是2，十位是6，个位是2，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，“”所表示的数是， 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特殊解法，正确将所求方程变形为是解题的关键． 先把所求方程变形为，设，则，根据题意可得关于m的一元一次方程的解为，则可求出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故选：D． 6．（23-24七年级上·河北沧州·期中）如图，线段，点为线段上一点，，点，分别为和的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的性质；根据线段的和差，可得的长，根据线段中点的性质，可得、的长，根据线段的和差，可得的长． 【详解】由线段的和差，得 ， 由点是的中点， 所以； 由点是的中点，得 ， 由线段的和差，得 故选：D． 7．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（　　） n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 A．＝16 B． C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3 D． 【答案】C 【分析】根据表格中数据及算术平方根的概念分析判断． 【详解】解：由表格可得：， ， 故选项A不符合题意； 由表格可得：， ， 故选项B不符合题意； 由表格可得，， 只有3个正整数满足，分别是263；264；265， 故选项C符合题意； 由题意可得：， ， 故选项D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题基础． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是个位数字不为零的两位数，将的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数，若恰好是某个整数的平方，则这样的数共有（   ） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 【答案】D 【分析】设两位数，则，则都为正整数，，，那么得到，因为c是某整数，而且是9的倍数，进一步得到或或，然后再分类讨论，列式计算，即可作答．此题主要考查了整式的加减应用，列代数式，有理数的混合运算，难度比较大，要求学生有比较好的分析问题和解决问题的能力才能熟练地解决题目的问题． 【详解】解：依题意，设两位数， 则， 则都为正整数，，， 则， 又∵c是某整数，而且是9的倍数， ∴是正整数， ∴或或， 当时，则 此时对应的两位数分别为，一共8个； 当时，则 此时对应的两位数分别为，一共5个； 当时，结合，， 则无解， ∴（个）， 综上这样的数共有个， 故选：D． 9．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（    ） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1 【答案】A 【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，， 整数使关于的方程有整数解， 或或或， 解得：或或或0， 和为， 故选：A． 【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 10．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查垂线，角平分线，对顶角、邻补角，掌握垂直定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系是正确判断的关键． 根据垂直定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系逐项进行判断即可． 【详解】①平分， ， ， ， 而， ， 即 ， 因此①正确； ②， ， ， ， ，因此②正确； ③平分， ， 只有当 时, ， 而与是否垂直不确定，因此③不正确； ④∵平分平分， ，， ， 即 ，因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选: B． 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如果，那么的值为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了非负数的性质，有理数的乘方，先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入数值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：16． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知a、b、c的位置如图：则化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简绝对值，整式的加减运算，利用数轴表示大小，解题的关键是掌握绝对值的定义． 首先根据数轴得到，然后化简绝对值，然后根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴图可知，， ∴， ∴ 故答案为：． 13．（24-25七年级上·浙江·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，根据新定义和无理数的估算方法分别求出的值，再根据有理数四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）我们知道写成小数形式即，反过来，无限循环小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．以无限循环小数0.7为例：设，由可知，，所以，则，于是．运用以上方法，可求得写成分数形式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了小数转化为分数，掌握转化方法是解题关键． 设，即，得到，然后得出，进而求解即可． 【详解】设，即， ∴， ∴，则， ∴． 故答案为：． 15．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 16．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为 ． 【答案】10或20或70 【分析】根据时间和速度分别得和的度数，再由角的和与差表示出，即可列方程求解可得结论，需要注意分类讨论． 【详解】由题意得： 当与没有相遇前，此时，， ， ∴， 解得：； 当与相遇以后在右边时，此时，， ， ∴， 解得：； 当与相遇以后在左边时，此时，， ， ∴， 解得：； 综上所述，当时，两条射线旋转的时间t的值为10或20或70． 故答案为：10或20或70． 【点睛】本题考查了角度运动问题，分类讨论并画出图形是解题的关键． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2) (3)2 (4) 【分析】（1）先计算有理数的加法运算、再计算有理数的减法即可； （2）先根据乘法分配律进行计算，再进行加减计算即可； （3）先计算乘方、再计算乘除，最后再计算加减即可； （4）先计算乘方、绝对值、再计算括号里的，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、含乘方的有理数的四则混合运算、有理数的运算法则及绝对值，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法是解决问题的关键． （1）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设． (1)求． (2)当b为时，代数式的值分别是，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了整式的加减和化简求值，熟练掌握整式运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）把分别代入（1）中的结果得出，，再计算即可． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）由（1）可得，， 当b为1时，， 即， 当b为2时， 当b为4时，， 即， ∴ ． 20．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)15 (2)9 【分析】本题主要考查线段和线段的中点，掌握线段和差计算，数形结合分析方法是解题关键． （1）根据，可求得，据此即可求得答案； （2）先求得，进而可求得，根据线段中点的定义，可求得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴． 21．（22-23七年级上·浙江金华·期末）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：a（cm）、b（cm）、c（cm）；大长方体的长、宽、高分别为：（cm）、（cm）、（cm）． (1)做这两个纸盒共需要材料多少平分厘米？ (2)做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平分厘米材料 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算出小长方体纸盒所需材料和大长方体纸盒所需材料，将两者相加； （2）大长方体纸盒所需材料减去小长方体纸盒所需材料． 【详解】（1）小长方体纸盒所需材料：， 大长方体纸盒所需材料：， 所以一共所需材料： （2） 【点睛】本题考查整式的乘法与整式的加减，解题的关键是根据题意，列出正确的式子． 22．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图 1，把一副三角板拼在一起，边 放在直线 上，其中，．    (1)求图 1 中的度数； (2)如图 2，三角板固定不动，将三角板绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线 上方，设． ①若 平分，求α； ②若，求α． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据可得结论； （2）①先求出，再根据角平分线的定义求出，进而可得到结论； ②分射线在内部和射线在内部两种情况求解即可． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的α的值为或． 23．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 24．（23-24七年级上·浙江台州·期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 驶出时间 (1)求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为，标记40．（只要求写数字，单位为）． (2)一列货运列车以的速度匀速行驶开往永康南站，在通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟 【分析】（1）根据路程=速度×时间求出各段距离即可； （2）①分别求出货车和客车到终点永康南站前的时间，然后比较即可判断客运列车是否与货运列车发生追尾事故；假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟，根据客车和货车行驶的路程方程列方程求解即可； ②分别计算停仙居南站、 停磐安南站、 停壶镇站等待的时间，然后比较即可求解． 【详解】（1）解：客运列车的行驶速度； 临海南到仙居南铁路公里数：； 仙居南到磐安南铁路公里数：； 磐安南到壶镇铁路公里数：； 标注在示意图中 （2）解：  货运列车速度． 客运列车的行驶速度． ①  首先判断到终点永康南站前，客运列车是否与货运列车发生追尾事故． 由题意可得，以临海南站为起点，客运列车比货运列车晚10分钟出发． 临海南至永康南：铁路总里程为． 货运列车用时为， 客运列车行驶时间为．三站停车总时长． ，客运列车总用时比货运列车少，但很接近，所以猜测两车在壶镇至永康段追尾． 验证追尾：假设两车在壶镇至永康南段追尾，设货运列车的行驶时间为t分钟． 根据题意可知： ， 解得：， 追尾点与临海南站的距离为； ②  临海南至永康南铁路总行程为． 因， 所以，若货车不等待客车先通过，两车在壶镇至永康南段将会追尾． 为避免两车追尾，因此货运列车可以停靠在仙居南站、磐安南站或壶镇站等待客运列车先通过．        停仙居南站：货车用时为分钟，客车用时为分钟，货车等待时间：分钟，所以货车停仙居站等待客车通过要7分钟． 停磐安南站：分钟，分钟，所以货车停磐安南站等待客车通过要3分钟． 停壶镇站：分钟，分钟（客车在站点停3分钟），所以货车停壶镇站要4分钟． 综上所述，货运列车停靠在磐安南站用时最少，最少为3分钟． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．用到的公式为：路程=速度×时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末押题重难点检测卷（提高卷） 【考试范围：浙教版2024七上全部内容】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）在下列数中：0，，，，3.14，，0.3131131113…（每两个3之间依次多一个1），有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）据国家文化和旅游部10月8日公布2024年国庆节期间全国国内出游765000000人次，数据765000000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列说法正确的是（   ） A．的系数是3 B．是多项式 C．0不是单项式 D．的次数2 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，如表所示．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．263 D． 5．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·河北沧州·期中）如图，线段，点为线段上一点，，点，分别为和的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）根据表中的信息判断，下列语句正确的是（　　） n 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 A．＝16 B． C．只有3个正整数n满足16.2＜＜16.3 D． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知是个位数字不为零的两位数，将的个位数字与十位数字互换后，得到另一个与之不同的两位数，若恰好是某个整数的平方，则这样的数共有（   ） A．3个 B．5个 C．8个 D．13个 9．（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（    ） A．﹣8 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣1 10．（23-24七年级上·浙江·期末）如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论： ①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如果，那么的值为 ． 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知a、b、c的位置如图：则化简 ． 13．（24-25七年级上·浙江·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知是有理数，表示不超过的最大整数，如，，，等，那么的值为 ． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）我们知道写成小数形式即，反过来，无限循环小数写成分数形式即．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．以无限循环小数0.7为例：设，由可知，，所以，则，于是．运用以上方法，可求得写成分数形式为 ． 15．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 16．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期中）已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为 ． 三、解答题（8小题，共72分） 17．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）解方程： (1) (2)． 19．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设． (1)求． (2)当b为时，代数式的值分别是，求的值． 20．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，为线段延长线上一点，为线段上一点，，． (1)若，求的长； (2)若，为的中点，求的长． 21．（22-23七年级上·浙江金华·期末）放置在水平地面上两个无盖（朝上的面）的长方体纸盒，大小、形状如图．小长方体的长、宽、高分别为：a（cm）、b（cm）、c（cm）；大长方体的长、宽、高分别为：（cm）、（cm）、（cm）． (1)做这两个纸盒共需要材料多少平分厘米？ (2)做一个大的纸盒比做一个小的纸盒多多少平分厘米材料 22．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图 1，把一副三角板拼在一起，边 放在直线 上，其中，．    (1)求图 1 中的度数； (2)如图 2，三角板固定不动，将三角板绕点 O 顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线 上方，设． ①若 平分，求α； ②若，求α． 23．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 24．（23-24七年级上·浙江台州·期末）台州西站到永康南站现有一条设计时速为的单轨普速铁路．客车以的平均速度行驶，从“铁路12306”可查得它在各站点的到达时间和驶出时间如下表： 到达站点 临海南 仙居南 磐安南 壶镇 永康南 到达时间 驶出时间 (1)求临海南、仙居南、磐安南、壶镇相邻两站之间的铁路公里数，并标注在下面相应的铁路示意图上．例如永康南与壶镇两站的公里数为，标记40．（只要求写数字，单位为）． (2)一列货运列车以的速度匀速行驶开往永康南站，在通过临海南站． ①若货运列车中途不停靠站点进行避让，它在到达永康南站前与客车有追尾危险吗？如果有追尾危险，请确定在它驶离临海南站多少千米时会追尾． ②为了确保列车运行安全，货运列车需要在客运列车追上前进入火车站，停靠在货车等待轨道等待客运列车通过（如图2）．请问：该货运列车应该停靠在哪个火车站等待客运列车通过才能使等待的时间最少？并求出停靠等待的时间（精确到1分钟）． 学科网（北京）股份有限公司 $$