高一上学期期末考试13大压轴考法60题专练（第1～5章）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学上册压轴题攻略（沪教版2020必修第一册）

高一上学期期末考试13大压轴考法60题专练（第1~5章） 一．集合的包含关系判断及应用（共1小题） 1．（2022秋•浦东新区校级期末）函数，其中、为实数集的两个非空子集，又规定，，，．给出下列四个判断，其中正确判断有　　 ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．基本不等式及其应用（共1小题） 2．（2023秋•普陀区校级期末）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元． （1）设半圆的半径（米，试建立塑胶跑道面积与的函数关系； （2）由于条件限制，，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元） 三．一元二次不等式及其应用（共2小题） 3．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求的取值范围． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 四．函数的值域（共3小题） 5．（2022秋•浦东新区校级期末）函数的解析式为，值域为，1，2，，则符合要求的函数的个数为　　 A．16个 B．945个 C．2025个 D．1个 6．（2023秋•松江区期末）对于定义域为的函数，若存在区间，（其中，使得函数同时满足： ①函数在，上是严格增函数或严格减函数； ②当定义域是，时，函数的值域也是，，则称，是函数的“等域区间”； （1）若区间，是函数的“等域区间”，求实数、的值； （2）判断函数是否存在“等域区间”，并说明理由； （3）若区间，是函数的一个“等域区间”，求的最大值． 7．（2023秋•虹口区期末）若函数在区间，上的函数值的集合恰为，则称区间，为的一个“区间”．设． （1）若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； （2）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （3）求函数在，内的“区间”． 五．函数的图象与图象的变换（共1小题） 8．（2022秋•宝山区校级期末）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 六．函数的最值（共7小题） 9．（2022秋•徐汇区校级期末）函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为　　 （1）函数的定义域为；（2）； （3）函数的图像关于直线对称；（4）当时，函数的最大值为； （5）方程有四个不同的实根． A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数，若对不相等的正数，，有成立，则的最小值为 　　． 11．（2023秋•嘉定区校级期末）若集合存在正实数，使得定义域内任意都有． （1）若，证明：； （2）若，且，求实数的取值范围； （3）若，且，求函数的最小值． 12．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设． （1）若，求函数的值域； （2）已知，若函数的最大值为，求的值； （3）已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为，时，其值域为，，求的取值范围． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数，且． （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若（1），求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在，上的最小值为，求实数的值． 14．（2023秋•静安区校级期末）已知． （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）若对任意，函数在区间，上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围． 15．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数． 七．函数的奇偶性（共6小题） 16．（2024春•浦东新区校级期末）已知函数．且 （1）若，求函数的值域； （2）若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由． （3）若，，且函数在，上是严格增函数，求实数的取值范围． 17．（2023秋•普陀区校级期末）设函数的表达式为且． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：是一个常数； （3）在（2）的条件下，求的值． 18．（2023秋•黄浦区校级期末）已知． （1）当时，解不等式：； （2）对不同的值，讨论的奇偶性． 19．（2023秋•青浦区期末）已知函数，其中． （1）当时，证明：函数在区间，上是严格减函数； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 20．（2023秋•虹口区期末）已知，其中是常数，． （1）判断函数的奇偶性，请说明理由； （2）若对任意，，均有，求所有满足条件的实数的值． 21．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． （1）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由． ①； ②； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质．用反证法证明：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．（用表示） 八．抽象函数的周期性（共1小题） 22．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是 　　． 九．函数恒成立问题（共22小题） 23．（2023秋•宝山区校级期末）已知，，对于实数、，给出以下命题： 命题①：若，则（a）（b）； 命题②：若，则（a）（b）． 则以下判断正确的是　　 A．①为真命题；②为真命题 B．①为真命题；②为假命题 C．①为假命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题 24．（2023秋•黄浦区校级期末）已知函数，，若对于任意的，总存在，，使得成立，则的取值范围是 　　． 25．（2023秋•浦东新区校级期末）已知集合是具有以下性质的函数的全体：对于任意，都有，，且．给出下列四个结论： ①函数属于； ②函数属于； ③若，则在区间上是严格增函数； ④若，则对任意给定的正数，一定存在某个正数，使得当，时，恒有． 其中所有正确结论的序号是 　　． 26．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数和的表达式分别为，， 设，．现有如下四个命题： ①对任意实数，，，且，都有； ②存在实数，，，且，都有； ③存在实数，，，且，都有； ④对任意实数，存在，，且，使得； 其中的真命题有 　　．（写出所有真命题的序号） 27．（2023秋•静安区校级期末）称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域中任取，总存在唯一的满足．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为 　　． ①若，为函数，则，； ②是函数； ③是函数； ④是函数； ⑤若，，，为函数，则． 28．（2023秋•闵行区期末）在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式中的三个量、、中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数、指数函数和对数函数”．若令是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记作，若不等式对任意的，，恒成立，则实数的值为 　　． 29．（2023秋•杨浦区校级期末）设，已知，． （1）求证：函数不是偶函数； （2）若对任意的、，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，，总有成立，求实数的取值范围． 30．（2023秋•杨浦区校级期末）设函数，．记，，．对于的非空子集，若对任意，都有，则称函数在集合上封闭． （1）若，，，，分别判断函数和是否在集合上封闭； （2）设，，区间，（其中，若函数在集合上封闭，求的最大值； （3）设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间，（其中上封闭，证明：存在，使得． 31．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数是定义域在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 32．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数． （1）求该函数的定义域，并证明其为奇函数； （2）判断函数在上的单调性，并说明理由； （3）对于任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 33．（2023秋•青浦区期末）已知函数，其中，记，且函数是偶函数． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 34．（2023秋•虹口区期末）已知，其中是常数，． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）若对任意实数，均有，求实数的取值范围． 35．（2023秋•杨浦区校级期末）已知奇函数的定义域为， （1）求实数，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当，时，恒成立，求的取值范围． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，记． （1）解不等式：； （2）设为实数，若存在实数，，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中，均为实数），若对于任意的，，均有，求，的值． 37．已知函数，记． （1）若，解不等式：； （2）设为实数，当时，若存在实数，，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中、均为实数），若对于任意的，，均有，求正数的最小值及此时、的值． 38．（2023秋•宝山区校级期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数则称在上具有性质． 若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制． （1）设是，上只有性质的奇函数，求，时不等式的解集； （2）设为，上具有性质的偶函数．若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间，上的限制是具有性质的奇函数，在，，上的限制是具有性质的偶函数．若对于，上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 39．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数； （1）当时，求证在上是单调递减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的零点个数． 40．（2023秋•宝山区校级期末）已知，函数在区间，上有最大值4和最小值1． （1）求、的值； （2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 41．（2023秋•闵行区期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的、都有成立，则称函数是函数在上的“函数”． （1）若，，，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，，，函数是函数在上的“函数”，且（2），求证：对任意的、都有． 42．（2023秋•宝山区校级期末）若函数与满足：对任意，，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”．已知函数是函数在集合上的“约束函数”． （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数的取值范围； （3）若为严格减函数，（1），，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数． 43．（2023秋•杨浦区校级期末）已知、是非空数集，且，记，，，． （1）若，，，求； （2）是否存在实数，使得，，且，？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （3）若，且，，函数是上的严格增函数，求集合和． 44．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中，为实数，且．（1）当时，求实数； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）试求满足的所有的实数的值． 一十．对数函数的图象（共1小题） 45．（2023秋•宝山区校级期末）已知，有下列命题： ①函数在区间上是严格增函数； ②函数的图像关于直线成轴对称； ③函数的图像与轴有且仅有两个公共点； ④若，但，则． 其中真命题的序号是 　　． 一十一．函数零点的判定定理（共1小题） 46．（2022秋•浦东新区校级期末）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 一十二．函数的零点与方程根的关系（共13小题） 47．（2022秋•徐汇区校级期末）关于的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 48．（2022秋•徐汇区校级期末）是定义在区间，上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是　　 A．若，则函数的图象关于原点对称 B．若，，则方程有大于2的实根 C．若，，则方程有两个实根 D．若，，则方程有三个实根 49．（2022秋•松江区校级期末）已知函数，有下列两个结论： ①的值域为； ②对任意的正有理数，存在奇数个零点 则下列判断正确的是　　 A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 50．（2023秋•普陀区校级期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，．则关于的方程在区间，上解的个数为 　　． 51．（2023秋•宝山区校级期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图像关于轴对称； ②如果方程为常数）有解，则解的个数一定是偶数． ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 　　． 52．（2023秋•松江区期末）已知函数的表达式为，若方程有四个不相等的实根，2，3，，且，则的取值范围是 　　． 53．（2023秋•闵行区期末）已知，其中、． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； （3）记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围． 54．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数． （1）求方程的解； （2）若关于的方程在，上有实数解，求实数的取值范围； （3）若，1，2，，将区间，划分成2021个小区间，且满足，使得和式恒成立，试求出实数的最小值并说明理由． 55．（2023秋•浦东新区校级期末）对于实数和，定义运算“”： ，设，若函数恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 　　． 56．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，在，时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 57．（2023秋•宝山区校级期末）已知，． （1）若，求的取值范围； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围； 58．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数的表达式为． （1）求函数的零点； （2）解不等式：； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 59．（2022秋•闵行区校级期末）设，函数． （1）若，求函数在区间，上的最大值； （2）若，写出函数的单调区间（不必证明）； （3）若存在，，使得关于的方程（a）有三个不相等的实数解，求实数的取值范围． 一十三．绝对值不等式的解法（共1小题） 60．（2023秋•普陀区校级期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数恒成立，并指出等号成立时的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上学期期末考试13大压轴考法60题专练（第1~5章） 一．集合的包含关系判断及应用（共1小题） 1．（2022秋•浦东新区校级期末）函数，其中、为实数集的两个非空子集，又规定，，，．给出下列四个判断，其中正确判断有　　 ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数与图象来研究，分析可得答案． 【解答】解：由题意知函数、的图象如图所示， 设，，，， ，，， ，，则． 而，，故①错误． 对于②，若，，，则，，，， 则，故②错误． 设，，，， ，则． ，，，， ，，故③错误． 若取．故④错误． 故选：． 【点评】考查对题设条件的理解与转化能力，本题中题设条件颇多，审题费时，需仔细审题才能把握其脉络，故研究时借用两个函数的图象，借助图形的直观来帮助判断命题的正误，以形助数，是解决数学问题常用的一种思路． 二．基本不等式及其应用（共1小题） 2．（2023秋•普陀区校级期末）某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形和分别以、为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元． （1）设半圆的半径（米，试建立塑胶跑道面积与的函数关系； （2）由于条件限制，，问当取何值时，运动场造价最低？（精确到元） 【分析】（1）跑道的面积等于一个大圆减去一个小圆加上一个大矩形减去一个小矩形， （2）将实际问题的最值转化成数学问题的最值，用函数单调性求最值 【解答】解：（1）塑胶跑道面积 （2）设运动场造价为则 ，，函数是的减函数 当，运动场造价最低为636510元 答：塑胶跑道面积与的函数关系 当，运动场造价最低为636510元 【点评】本题考查建立数学模型的能力；用单调性求最值的方法． 三．一元二次不等式及其应用（共2小题） 3．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式的解集是． （1）求实数的值； （2）当的解集为时，求的取值范围． 【分析】（1）由题得出的两个解为，，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围． 【解答】解：（1）由题得的两个解为，， 代入得，解得， 所以． （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要， 解得， 即， 综上的取值范围为，． 【点评】本题考查二次不等式的应用，属于中档题． 4．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）将，代入不等式，即可求出． （2）由求出集合的表示，然后求出集合，根据集合算出，再由建不等式组，解不等式组即可得出结果． 【解答】解：（1）若，由， ，解得， 所以． （2） 由，解得， ，或 又， 所以 所以实数的取值范围，． 【点评】本题考查集合的运算，属于中档题． 四．函数的值域（共3小题） 5．（2022秋•浦东新区校级期末）函数的解析式为，值域为，1，2，，则符合要求的函数的个数为　　 A．16个 B．945个 C．2025个 D．1个 【分析】先求出值域，1，2，中每个函数值对应的自变量构成的集合，1，2，，根据函数的定义，要产生一个函数值，1，2，只要从相应的集合，1，2，中取出至少一个元素，这些元素构成了，1，2，的一个非空子集，1，2，，可以确定非空子集的个数，的定义域为集合，1，2，的并集，从而求出的定义域的个数即为不同的函数的个数． 【解答】解：满足解析式为，值域为，1，2，， ①，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有15个； ②，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有7个； ③，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个； ④，解得，，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个； 要使值域为，1，2，，则①②③④中的解组合后形成的定义域， 即定义域为，因此定义域的组合情况有：种， 故符合要求的函数的个数为945． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的定义，考查了元素与集合的关系，以及集合子集的定义，属于中档题． 6．（2023秋•松江区期末）对于定义域为的函数，若存在区间，（其中，使得函数同时满足： ①函数在，上是严格增函数或严格减函数； ②当定义域是，时，函数的值域也是，，则称，是函数的“等域区间”； （1）若区间，是函数的“等域区间”，求实数、的值； （2）判断函数是否存在“等域区间”，并说明理由； （3）若区间，是函数的一个“等域区间”，求的最大值． 【分析】（1）判断函数单调性，依题意列方程组求解即可； （2）判断函数在，上的单调性，再将问题转化为判断方程是否有两个不相等的实数根，即可求解； （3）将问题等价于方程有两个同号的实数根，结合韦达定理可求解． 【解答】解：（1）因为区间，是函数的“等域区间”， 且函数在，上单调递增， 所以，解得； （2）设，是函数的“等域区间”， 则在，上单调． 所以，或，． 因此，在，上为增函数． 则，． 即方程有两个解，． 又可化为，而无实数解． 所以，函数不存在“等域区间”； （3）由在和上均为增函数， 由已知得函数在“等域区间” ，上单调， 所以，或，，且在，上为单调递增， 则，， 即，是方程的两个同号的实数根， 等价于方程有两个同号的实数根， 注意到，则只要△， 或， 而由韦达定理知， 所以 ， 其中或， 所以当时，取得最大值． 【点评】本题考查了函数的基本性质，考查了函数思想及转化思想，属于中档题． 7．（2023秋•虹口区期末）若函数在区间，上的函数值的集合恰为，则称区间，为的一个“区间”．设． （1）若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； （2）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （3）求函数在，内的“区间”． 【分析】（1）去绝对值，即可求出函数的单调递增区间； （2）根据“区间”的定义，验证不成立即可； （3）根据“区间”的定义，列方程组，解此方程组即可求得结果． 【解答】解：（1）， 函数在区间单调递增． （2）函数在区间，单调递增，在区间上单调递减， （1）， 所以区间不是函数的一个“区间”． （3）当时，，且在上单调递减， 因为区间，为的一个“区间”， 所以，， 所以，化简得， 所以，解得或或（舍， 所以，． 所以函数在，内的“区间”为，． 【点评】本题考查新定义的理解，函数的单调性判断，属中档题． 五．函数的图象与图象的变换（共1小题） 8．（2022秋•宝山区校级期末）已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的函数值的正负即可判断． 【解答】解：由图知，的定义域为，的定义域为，，， 令时，或，且， ，则函数的定义域为，，，关于原点对称， 因为为偶函数，为奇函数，所以，， 则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故，错误； 对于，当，时，，，所以，故错误； 对于，由图知，当时，，当，时，，结合奇函数的对称性可得时的图象，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的图象的判断，考查逻辑推理能力，属于中档题． 六．函数的最值（共7小题） 9．（2022秋•徐汇区校级期末）函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为　　 （1）函数的定义域为；（2）； （3）函数的图像关于直线对称；（4）当时，函数的最大值为； （5）方程有四个不同的实根． A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】对于（1）：函数的定义域为且，即可判断（1）是否正确； 对于（2）：先计算，再计算，即可判断（2）是否正确； 对于（3）：由函数的奇偶性的定义可得，即可判断（3）是否正确； 对于（4），（5）：作出函数与的图像，即可判断（4）（5）是否正确． 【解答】解：对于（1）：函数的定义域为且，故（1）错误； 对于（2）：，故（2）正确； 对于（3）：因为，所以关于轴对称，故（3）错误； 对于（4），（5）：， 作出函数与的图像如图所示： 所以当时，， 方程有四个不同的根，故（4）（5）正确， 故选：． 【点评】本题考查函数的图像和性质，解题中注意转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题． 10．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数，若对不相等的正数，，有成立，则的最小值为 　　． 【分析】对于函数整理变形，再利用，可得，利用基本不等式求解最小值． 【解答】解：， 由不相等的正实数，，且， 则， 则， 因为， 所以， 故，则， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 故的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 11．（2023秋•嘉定区校级期末）若集合存在正实数，使得定义域内任意都有． （1）若，证明：； （2）若，且，求实数的取值范围； （3）若，且，求函数的最小值． 【分析】（1）利用（1），判断，即可证明； （2）题意转化为在定义域内恒成立，利用二次函数图象与性质，即可得出答案； （3）由，推出，得到在，都成立，然后分离变量，通过当时，当时，当时，分别求解最小值即可． 【解答】解：（1）证明：，集合存在正实数，使得定义域内任意都有， （1），， ， （2），且， ， △，解得， 实数的取值范围为； （3），且， ，得到在，都成立， ，即，解得， 当时，（1）； 当时，（1）； 当时，； 综上所述，． 【点评】本题考查函数的新定义，由新定义问题转化为函数恒成立问题，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 12．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设． （1）若，求函数的值域； （2）已知，若函数的最大值为，求的值； （3）已知，若存在两个不同的正实数、，使得当函数的定义域为，时，其值域为，，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解； （2）令，可得的最大值为，结合二次函数性质分析求解； （3）令，由题意可知在内有两个零点，结合二次函数零点分布求解． 【解答】解：（1）若，则， 因为，则， 所以函数的值域为． （2）令，则， 因为，可知开口向下，对称轴为， 当，二次函数取到最大值， 整理得，解得或， 且，所以． （3）令， 因为，开口向上，对称轴， 可知在内单调递增， 且在内单调递增， 可知在内单调递增， 由题意可知：至少有2个不同的正根， 即，整理得， 可得在内有两个零点， 且，则，解得， 所以的取值范围． 【点评】本题主要考查函数的单调性和最值，属于中档题． 13．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数，且． （1）若，判断的奇偶性和单调性； （2）若（1），求使不等式恒成立时实数的取值范围； （3）若，且在，上的最小值为，求实数的值． 【分析】（1）根据奇函数定义判断， （2）根据奇函数，单调性转化为，即恒成立，△，求解． （3）令，由（1）可知为增函数，转化求解． 【解答】解：（1）的定义域为，关于原点对称，且， 为奇函数， ，递减，递减， 故是减函数； （2） 且． （1），， 又，且， ， 故在上单调递减， 不等式化为， ，即恒成立， △， 解得； （3）（1），，即， 解得或（舍去）， ， 令，由（1）可知为增函数， ，（1）， 令， 若，当时，，； 若时，当时，，解得，无解； 综上，． 【点评】本题考查了函数的性质，运用解决综合问题，属于难题． 14．（2023秋•静安区校级期末）已知． （1）当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）若对任意，函数在区间，上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求的取值范围． 【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可； （2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的根的个数问题，通过讨论和即可求出答案． （3）对任意，函数在区间，上总有意义，得对，恒成立，求得，根据题意得出，即对任意恒成立，利用二次函数在区间上恒成立求得的范围． 【解答】解：（1）当时，， 所以，解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即， 所以， 当时，则，解得，经过验证此时满足题意； 当时，①若△，则，此时解得．经过验证满足题意； ②若△时，方程有两不等实根，设为，，显然，， 由，得， 因为，所以， 即，， 所以，都满足，所以此时不满足题意． 综上可得或； （3）因为对任意，函数在区间，上总有意义，所以对，恒成立， 因为在，上为减函数， 故只需对任意恒成立， 所以只要， 故，解得， 对任意，函数在区间，上单调递减， 所以函数在区间，上最大值为，最小值为， 所以， 所以， 即对任意恒成立， 令， 当时，对任意不恒成立； 当时，在上单调递增， 所以时，取得最大值，且最大值为， 所以当时不满足； 当，时，对任意恒成立，有以下三种情况： ①△，解得，结合，，得，； ②，由，得，而，，故此情况无解； ③，解得，此时无解． 所以实数的取值范围是，． 【点评】本题考查了对数函数的性质、二次函数的性质、恒成立问题、转化思想、分类讨论思想，属于难题． 15．（2022秋•浦东新区校级期末）已知函数，． （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数． 【分析】（1）根据题意问题可转化为任意，使得，由二次函数的性质可得△，解得实数的取值范围． （2）若函数在上单调递减，又在上为减函数，由复合函数的单调性可得在上为增函数且任意，， 进而解得的取值范围． （3）当时，，推出在上无零点，分情况讨论函数的零点，即可得出答案． 【解答】解：（1）若函数的定义域为， 则任意，使得， 所以△，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若函数在上单调递减， 又因为在上为减函数， 所以在上为增函数且任意，， 所以，且（1）， 即，且， 解得， 所以的取值范围为，． （3）因为当时，， 所以，， 所以在上无零点， ①当时，过点，且对称轴， 作出的图象，可得只有一个零点， ②当时，过点，且对称轴， 当△，即时，只有一个零点， 当△，即时，的零点为，由两个零点，， 当△，即时，令，解得，，且，， 若，即时，函数有3个零点，，， 若，即时，函数有1个零点， 若，即时，函数有2个零点，， 综上所述，当，，时，只有一个零点， 当或时，有两个零点， 当，时，有三个零点． 【点评】本题考查函数的性质，零点，参数的取值范围，解题中注意数形结合思想的应用，属于难题． 七．函数的奇偶性（共6小题） 16．（2024春•浦东新区校级期末）已知函数．且 （1）若，求函数的值域； （2）若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由． （3）若，，且函数在，上是严格增函数，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为． （2）由函数奇偶性定义即可解得． （3）利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数的取值范围是． 【解答】解：（1）若可得函数，由指数函数值域易知，所以，因此可得，即该函数的值域为． （2）若，则函数，显然定义域为， 假设存在正数，使得函数是偶函数，即满足， 又易知，即可得，即， 解得， 此时为偶函数，符合题意， 所以存在正数，使得函数是偶函数． （3）若，，则， 取，，，且 则， 若函数在，上是严格增函数，则可知， 由于，所以， 又易知，所以在，上恒成立即可， 即，因此求得即可， 因此可不予考虑，只需考虑时成立即可； 当，易知，显然为减函数，所以；当且仅当时，等号才成立，显然取不到等号， 因此． 即实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 17．（2023秋•普陀区校级期末）设函数的表达式为且． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：是一个常数； （3）在（2）的条件下，求的值． 【分析】（1）求出定义域，根据奇偶性的定义求解即可； （2）根据为奇函数，得到，进而求解； （3）利用（2）的结论，即，与首末等距离的两项相加即可． 【解答】解：（1）为奇函数，理由如下： 的定义域为，， ， 为上的奇函数； （2）由（1）知，为上的奇函数，即， 令取，则， ，， ， 是一个常数； （3）由（2）知，， 令，则，即， ， 即． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了函数性质在函数求值中的应用，属于中档题． 18．（2023秋•黄浦区校级期末）已知． （1）当时，解不等式：； （2）对不同的值，讨论的奇偶性． 【分析】（1）由不等式即为，利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用函数奇偶性的定义求解． 【解答】解：（1）当时，， 则不等式即为， 即，解得， 所以， 所以不等式的解集为：； （2）若为奇函数， 则恒成立，即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 所以； 若为偶函数， 则恒成立，即恒成立， 即恒成立，所以， 当时，既不是奇函数，也不是偶函数． 综上，，为奇函数； ，为偶函数； 时，既不是奇函数，也不是偶函数． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于中档题． 19．（2023秋•青浦区期末）已知函数，其中． （1）当时，证明：函数在区间，上是严格减函数； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【分析】（1）任意取 ，，且，，利用作差法比较与的大小即可判断； （2）结合函数奇偶性的定义，检验与的关系即可判断． 【解答】（1）证明：任意取 ，，且，， 所以，， 则， 即， 所以数在区间，上是严格减函数； （2）解：函数定义域为， ， 不是奇函数， ，， 当时，，即为偶函数， 当时，函数是非奇非偶函数． 【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于中档题． 20．（2023秋•虹口区期末）已知，其中是常数，． （1）判断函数的奇偶性，请说明理由； （2）若对任意，，均有，求所有满足条件的实数的值． 【分析】（1）通过对分类讨论，利用奇、偶函数的定义可判断函数的奇偶性； （2）依题意，可得对任意，，恒成立，通过对分，，三类讨论，可求得所有满足条件的实数的值． 【解答】解：（1）当时，，满足，故为偶函数； 当时，，满足，故为奇函数； 当时，由基本初等函数的性质可知，为非奇非偶函数； （2）对任意，，均有，即恒成立， 可化为恒成立，① 当时，； 当时，，①式可化为恒成立，即，故； 当时，，①式可化为恒成立，即，故； 综上所述，所有满足条件的实数的值为1． 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查转化与化归思想及运算能力，属于中档题． 21．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质． （1）判断下列函数是否具有性质（1），并说明理由． ①； ②； （2）已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质．用反证法证明：是偶函数； （3）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围．（用表示） 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案； （2）性质的定义列不等式，假设若不为偶函数，即，得出与题意矛盾，进而可得出是偶函数； （3）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得的取值范围． 【解答】解：（1）对任意，得， 所以具有性质（1）； 对任意，得， 取时，有（1）， 所以不具有性质（1）； （2）设二次函数满足性质， 则对任意，满足， 若不为偶函数，即，即， 即，取， 则，矛盾， 所以，此时， 满足，即为偶函数； （3）由于，函数的定义域为， ， 若函数具有性质，则对于任意实数， 有 ，即， 即， 由于函数在上递增，得， 即， 当时，得，对任意实数恒成立， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即， 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即． 综上所述，的取值范围为，． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性，考查转化能力，属于难题． 八．抽象函数的周期性（共1小题） 22．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为，满足，且当，时，．若对任意，，都有，则的取值范围是 　　． 【分析】由，得，分段求解析式，结合图象可得的取值范围． 【解答】解：因为，， ，时，，， ，时，，，，； ，时，，，，， 当，时，由解得或， 若对任意，，都有，则． 故答案为：，． 【点评】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题． 九．函数恒成立问题（共22小题） 23．（2023秋•宝山区校级期末）已知，，对于实数、，给出以下命题： 命题①：若，则（a）（b）； 命题②：若，则（a）（b）． 则以下判断正确的是　　 A．①为真命题；②为真命题 B．①为真命题；②为假命题 C．①为假命题；②为真命题 D．①为假命题；②为假命题 【分析】令，在上分别讨论函数，的奇偶性和单调性，从而结合函数的基本性质逐项判断命题的真假． 【解答】解：令． 因为，所以是奇函数， 易知幂函数，在上增函数，因此也在上增函数； 又因为，所以是偶函数， 令，假设任意，且， 则 ， 由，且知，，， 所以， 即函数在上单调递增函数， 从而结合复合函数单调性可知，偶函数在上单调递增， 在上单调递减，又． 对一命题①．当时，，故（a）（b），又，所以（a）（b）， 所以（a）（a）（b）（a），即（a）（b）成立，故命题①真命题； 对于命题②．当，即时，， 当时，，则，所以（a）（b）， 又，所以（a）（b）， 所以（a）（a）（b）（a），即（a）（b）成立； 当时，， 因为在上单调递增，又， 所以在上，则（a）（b）成立； 又当时，，，所以在，上恒成立， 则（a）（b）成立； 故当时，（a）（b）成立； 综上，时，均有（a）（b）成立，故命题②真命题． 故选：． 【点评】本题考查了函数的单调性与奇偶性，命题真假的判断，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 24．（2023秋•黄浦区校级期末）已知函数，，若对于任意的，总存在，，使得成立，则的取值范围是 　，，　． 【分析】由题意可得函数的值域是的值域的子集，利用奇函数及对勾函数的性质求得的值域为；分、求出的值域，再根据集合的包含关系求解即可． 【解答】解：由于对任意的，，总存在，，使得成立， 所以函数的值域是的值域的子集， 又因为， ， 所以为奇函数， 当，时， ， 令， 由对勾函数的性质可知当，时，单调递减， 所以在，上单调递增， 所以在，上单调递增， 又因为，且函数在处连续， 所以函数在，上单调递增， ，， 所以的值域为； 又因为的对称轴为， 当时，在，单调递增， ，（2）， 所以，， 由，解得：； 当时，在，单调递减， ，（2）， 所以，， 由，解得：， 综上所述，或． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了转化思想、奇函数、对勾函数的性质，考查了二次函数的性质及分类讨论思想，属于中档题． 25．（2023秋•浦东新区校级期末）已知集合是具有以下性质的函数的全体：对于任意，都有，，且．给出下列四个结论： ①函数属于； ②函数属于； ③若，则在区间上是严格增函数； ④若，则对任意给定的正数，一定存在某个正数，使得当，时，恒有． 其中所有正确结论的序号是 　①③④　． 【分析】由指数和对数的运算性质，结合集合的性质，可判断①②；由函数的单调性的定义和集合的性质，可判断③④． 【解答】解：函数，由，可得， 由，，可得， 即有，故①正确； 函数，当时，， 由．，可得， ，即，故②错误； 由．，不妨设，可得，则，即， 则在区间上是严格增函数，故③正确； 若，由上面的结论可得在区间上是严格增函数， 则对任意给定的正数，一定存在某个正数，使得当，时，恒有，故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查集合的性质，以及函数的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 26．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数和的表达式分别为，， 设，．现有如下四个命题： ①对任意实数，，，且，都有； ②存在实数，，，且，都有； ③存在实数，，，且，都有； ④对任意实数，存在，，且，使得； 其中的真命题有 　②③　．（写出所有真命题的序号） 【分析】根据，的定义，分别构造函数和，求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，再结合选项逐一判断即可． 【解答】解：①若，则在定义域内单调递增， 由为二次函数，所以不可能在定义域上单调递增，故①错误； ②令，则， △，当时，此时△，此时有两个不同实根， 不妨设为，，且，当和时，， 故在和上单调递增； 故存在和使 ，故②正确； ④当时，△，此时，在定义域上单调递增， 至多有一个根，由此不存在，使得，故④错误； ③令，则， △，当时，△，此时有两个不同实根， 不妨设为，且，当时，， 故在上单调递减，在，上单调递增， 故一定存在，，使得， 即，故③正确． 故答案为：②③． 【点评】本题考查了命题真假的判断，不等式恒成立与能成立问题，考查了转化思想，属难题． 27．（2023秋•静安区校级期末）称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域中任取，总存在唯一的满足．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为 　②⑤　． ①若，为函数，则，； ②是函数； ③是函数； ④是函数； ⑤若，，，为函数，则． 【分析】①：举例，说明不成立；②：根据函数定义的判断可以证明为函数；③：取时满足的不是唯一的，判断不是函数；④：取，满足的无穷多解，判断不是函数；⑤：由函数得，一定可求得两根，，显然，，，所以，，恒成立，求得的范围． 【解答】解：①：对，，对任意的，取，满足， 若即，则，由得，且是唯一的， 所以，为函数，但，，故①错误； ②：，其图象可看作由的图象向右平移个单位，向下平移2个单位得到，故的图象关于点中心对称， 所以对定义域内任意有成立，的定义域为，值域，，，在上均为单调函数， 对定义域内任意，取也在定义域内，都有， 若满足，则，由值域知故，故，又在上均为单调函数，故满足的是存在且唯一的， 所以是函数，故②正确； ③，定义域为，，，取，由得，即，解得或，故不是唯一的，所以不是函数，故③错误； ④：，取，由（1）得， 即，当时均成立，故不是唯一的， 所以不是函数，故④错误； ⑤：若为函数，显然， 则满足的是唯一的， 由得，，，， 即，一定可求得两根，， 显然，，， 按函数定义知，，， 所以，，，即恒成立， 所以，解得．故⑤正确； 故答案为：②⑤． 【点评】本题主要考查了函数的恒成立问题，考查了函数图象的变换，属于难题． 28．（2023秋•闵行区期末）在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式中的三个量、、中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数、指数函数和对数函数”．若令是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记作，若不等式对任意的，，恒成立，则实数的值为 　　． 【分析】根据指对互化以及换底公式得出，再分和两种情况，可得的符号，进而根据函数的恒成立问题，列出的关系式，求解即可． 【解答】解：由题意知，， 所以， 所以且， 当时，，， 不等式等价于，即对任意的恒成立， 所以； 当时，，， 不等式等价于，即对任意的恒成立， 所以， 综上，． 故答案为：． 【点评】本题考查函数的恒成立问题，熟练掌握指对的运算法则，函数的恒成立问题是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 29．（2023秋•杨浦区校级期末）设，已知，． （1）求证：函数不是偶函数； （2）若对任意的、，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，，，总有成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在，的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解． 【解答】解：（1）证明：由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在，上单调递增， 则（1），， 所以， 由于在，上单调递增， 所以（2）， 要使对任意的、，，总存在，，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，（1），， （2），（1）， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是． 【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 30．（2023秋•杨浦区校级期末）设函数，．记，，．对于的非空子集，若对任意，都有，则称函数在集合上封闭． （1）若，，，，分别判断函数和是否在集合上封闭； （2）设，，区间，（其中，若函数在集合上封闭，求的最大值； （3）设，，若函数的定义域为，函数和的图象都是连续的曲线，且函数在区间，（其中上封闭，证明：存在，使得． 【分析】（1）结合所给新定义，利用函数单调性得出定义域为时的函数值域即可得解； （2）结合所给新定义，分、及进行讨论即可得； （3）利用反证法，由函数和的图象都是连续的曲线，运用零点的存在性定理中蕴含的思想，假设不存在，使得，则必有对任意，恒成立或恒成立，从而分情况进行讨论后得出与已知条件矛盾的点即可得证． 【解答】解：（1）由函数在区间，上单调递增，故，， 故函数不在集合上封闭； 由函数在区间，上单调递减，故， 此时有，故函数在集合上封闭； （2）当时，由函数在集合上封闭， 则有，解得，此时； 当时，由， 此时函数不可能在集合上封闭； 当时，由函数在集合上封闭， 则有，解得，此时， 综上所述，的最大值为2； （3）证明：假设不存在，使得， 即对任意，， 由函数的图象是连续的曲线， 故对任意，恒成立或恒成立， 若对任意，恒成立， 则当，时，有（b），则（b）（b），， 即有，此时函数不可能在区间，上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 若对任意，恒成立， 则当，时，有（a），则（a）（a），， 即有（a），此时函数不可能在区间，上封闭， 与已知条件矛盾，故对任意，不成立； 故存在，使得． 【点评】本题考查函数的新定义问题，考查运算求解能力，属于中档题． 31．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数是定义域在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证． （2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明． （3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于，恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果． 【解答】解：（1）函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合． （2）在上是增函数．证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数． （3）因为对任意的，，不等式恒成立， 所以对于，恒成立， 因为是定义域在上的奇函数，所以对于，恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于，恒成立， 而函数在，上的最大值为（2），所以， 所以实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题． 32．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数． （1）求该函数的定义域，并证明其为奇函数； （2）判断函数在上的单调性，并说明理由； （3）对于任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据对数的性质，结合函数奇偶性的定义进行求解即可； （2）根据对数的单调性，结合函数单调性的定义进行判断说明即可； （3）根据函数单调性的性质，结合任意性的定义进行求解即可． 【解答】解：（1）因为， 由，解得或， 即函数的定义域为，，， 证明：因为函数的定义关于原点对称， 又因为， 所以该函数是奇函数； （2）函数在上单调递增，理由如下： 设，，，则有， 因为， 所以， 即， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以有，， 因此函数在上单调递增； （3）因为，即， 所以， 由（2）可知函数在，上单调递增， 而函数在，上也单调递增， 所以函数在，上单调递增， 显然当时，函数有最小值， 且最小值为， 因此要想对于任意，，不等式恒成立， 只需， 即实数的取值范围为． 【点评】本题考查了对数函数的性质、对复合函数的奇偶性的证明、单调性的判断，考查了转化思想，属于中档题． 33．（2023秋•青浦区期末）已知函数，其中，记，且函数是偶函数． （1）求函数的表达式； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由偶函数的定义可得的图像关于直线对称，结合二次函数的对称轴求得，即可得到所求解析式； （2）令，由对数函数的单调性可得的范围，再由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围． 【解答】解：（1）函数是偶函数，可得， 即的图像关于直线对称， 由函数的对称轴为， 可得，解得， 则； （2）令，由，，可得，， 不等式在上恒成立， 即为，即， 即有在，恒成立， 由， ，，，， 可得，取得最大值， 则，即的取值范围是，． 【点评】本题考查函数的奇偶性和函数恒成立问题解法，考查转化思想、方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 34．（2023秋•虹口区期末）已知，其中是常数，． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）若对任意实数，均有，求实数的取值范围． 【分析】（1）由定义域为，且为奇函数，可得，再根据奇偶性验证即可； （2）由对任意实数，均有，可得对恒成立，转化为即可求解． 【解答】解：（1）因为 为常数）的定义域为， 且为奇函数， 所以，即， 当时，， 则有为奇函数， 故实数的值为； （2）若对任意实数，均有， 则有对恒成立， 又，且， 故当，即时，有最大值1， 故符合题意， 即实数的取值范围是，． 【点评】本题考查根据函数奇偶性求参数，考查函数恒成立问题，属中档题． 35．（2023秋•杨浦区校级期末）已知奇函数的定义域为， （1）求实数，的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当，时，恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解； （2）利用函数单调性定义证明； （3）由，时，恒成立，令，转化为，，时恒成立求解． 【解答】解：（1）因为函数是奇函数， 所以，即， 即，即， 整理得， 所以，即，则， 因为定义域为，关于原点对称，所以； （2）在，上递增． 证明：任取，，，且， 则， 因为， 所以，又， 所以，即， 所以在，上递增； （3）因为，， 所以， 又当，时，恒成立， 所以，，时恒成立， 令，则，，时恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是． 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，记． （1）解不等式：； （2）设为实数，若存在实数，，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中，均为实数），若对于任意的，，均有，求，的值． 【分析】（1）函数，，即为，即为，可得解集； （2）根据，利用换元法，求解最值，即可求解的取值范围； （3）根据（其中，均为实数），，，均有，建立关系即可求解，的值． 【解答】解：（1）函数，， 即为，即为， 即有，解得， 即解集为，； （2）存在实数，，使得成立， 即为， ， ， ，，，设，则， 由于函数在区间，上是增函数，， ， 故，， （3） ， 令，，，，， ． 若对于任意的，，均有， 即对任意，，． 函数在，的最小值为，最大值为． 其对称轴为 （1）当时，即，可得取得最小值为：①， 可得取得最大值为：②， 由①②解得：，不满足） （2）当时，即，可得取得最小值为：③， 最大值在或处取得：④或⑤， 由③④或③⑤解得：，． （3）（1）当时，即，可得取得最大值为：⑥， 可得取得最小值为：⑦， 由⑥⑦解得：，不满足） 综上可得：，． 【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用． 37．已知函数，记． （1）若，解不等式：； （2）设为实数，当时，若存在实数，，使得成立，求的取值范围； （3）记（其中、均为实数），若对于任意的，，均有，求正数的最小值及此时、的值． 【分析】（1）由题意将不等式转化为，因式分解后即可得解； （2）将原方程有解转化在，上有解，利用层层函数的单调性求得在，上的值域，从而得解； （3）原不等式恒成立等价于在，上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得的最小值为，从而关于，的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解． 【解答】解：（1）因为，， 当时，， 由，得，整理得， 即， 所以，即， 故不等式的解集为，． （2）当时，， 则， 因为存在实数，，使得成立， 所以在，上有解， 整理得到在，上有解， 因为在，上为增函数，则，， 而为增函数，则， 而为减函数，则， 所以的值域为， 故． （3）因为， 所以， 令，，，则，， 因为对于任意的，，均有， 所以对任意的，恒成立， 分别取，得， 故 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为， 此时，整理得， 故，故，从而， 所以． 下证：在，上恒成立． 设， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故在，上恒成立． 综上，，． 【点评】本题考查了指数函数、对勾函数及二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题． 38．（2023秋•宝山区校级期末）若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数则称在上具有性质． 若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制． （1）设是，上只有性质的奇函数，求，时不等式的解集； （2）设为，上具有性质的偶函数．若关于的不等式在，上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间，上的限制是具有性质的奇函数，在，，上的限制是具有性质的偶函数．若对于，上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）由在，上具有性质，可得，再由奇函数的定义可得的值，由指数不等式的解法可得所求解集； （2）由在，上具有性质和偶函数的定义，可得的解析式，再由参数分离和指数函数和函数的单调性，可得所求取值范围； （3）分别求得在，上的值域，当或时，的值域，结合不等式恒成立思想和分类讨论思想，可得所求取值范围． 【解答】解：（1）是，上具有性质的奇函数，可得为常数）， 则， 又为，上的奇函数，则， 即，整理可得， 解得，即， 当，时，不等式，即为， 可得，即， 则原不等式的解集为，； （2）为，上具有性质的偶函数， 可得为，上的偶函数，则， 即，整理可得， 解得，即， 若关于的不等式在，上有解， 可得，即为在，上有解． 设，由，，可得，， 则在，上有解． 即为在，上有解． 由在，递增，可得的最小值为， 所以，即， 即有的取值范围是； （3）由题意可得当时，；当或时，， 可得当时，，；当或时，，． 对于，上的任意实数，，，不等式恒成立， 可得时，， 即有， 解得； 时，， 即为，解得． 即的取值范围是，． 【点评】本题考查函数的新定义的理解和应用，以及函数恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 39．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数； （1）当时，求证在上是单调递减函数； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）讨论函数的零点个数． 【分析】（1）当时，利用函数单调性的定义即可判断在的单调性，并用定义证明． （2）利用参数分离法将不等式恒成立，进行转化，求的取值范围； （3）根据函数的单调性和最值，即可得到结论． 【解答】（1）证明：当，且时，， 设，则， 又，所以，， 所以， 所以，即， 故当时，在上单调递减． （2）解：由得， 变形为，即， 而， 当即时， 所以，即的取值范围是，． （3）解：由可得，变为， 令， 作的图象及直线，由图象可得： 当或时，有1个零点． 当或或时，有2个零点； 当或时，有3个零点． 【点评】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法． 40．（2023秋•宝山区校级期末）已知，函数在区间，上有最大值4和最小值1． （1）求、的值； （2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围； （3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数的单调性及取值情况列方程求解即可得，的值； （2）将不等式，转化为在，上恒成立，利用函数取值即可求得实数的取值范围； （3）原方程化为，令，得到方程，通过二次方程实根分布，可得的不等式组，再求出的范围． 【解答】解：（1）函数， 因为，对称轴为，所以在区间，上是增函数， 所以，即，解得． 故，． （2）由（1）得， 则不等式为在，上恒成立， 即在，上恒成立， 又，时，，则， 所以，则． 故实数的取值范围． （3）方程，代入， 得， 化简整理得， 令，则， 因为方程有两个不相等的实数根， 所以关于的一元二次方程有两个大于0且不相等的实数根， 所以，即， 解得或． 所以的取值范围是． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，利用不等式恒成立求参数的取值范围，函数与方程的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属中档题． 41．（2023秋•闵行区期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的、都有成立，则称函数是函数在上的“函数”． （1）若，，，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由； （2）若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围； （3）若，，，函数是函数在上的“函数”，且（2），求证：对任意的、都有． 【分析】（1）依题意，得，，从而可判断函数是否是函数在上的“函数”； （2）结合题意，得即对任意的、，恒成立，即，解之可得答案； （3）分当与当两类讨论，可证得结论成立． 【解答】解：（1）根据题意，，，， 对任意的、，且， ，． 显然有， 所以函数是函数在上的“函数”； （2）因为函数是函数在上的“函数”， 所以对任意的、，恒成立， 即对任意的、，恒成立， 即对任意的、，恒成立， 即，解得，即，； （3）证明：对于、，，不妨设， 当时， 因为函数是函数在，上的“函数”， 所以． 此时成立； 当时，由、，得． ， 此时也成立． 综上得恒成立． 【点评】本题考查函数恒成立问题，考查逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题． 42．（2023秋•宝山区校级期末）若函数与满足：对任意，，都有，则称函数是函数在集合上的“约束函数”．已知函数是函数在集合上的“约束函数”． （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，，，求实数的取值范围； （3）若为严格减函数，（1），，且函数的图象是连续曲线，求证：是上的严格增函数． 【分析】（1）根据条件，得到，由得到，的关系，由此完成证明； （2）将问题转化为“时，”，构造并进行分类讨论，由此求解出结果； （3）先根据条件证明“，都有”，然后采用反证法证明“当时，（1）”和“当时，”，由此完成证明． 【解答】解：（1）因为，所以对有， 令，，且，， 因为， 所以，所以， 所以，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数． （2）当时，对称轴且开口向上， 对称轴且开口向上， 所以在上单调递增，在上单调递增， 不妨假设，则 ，即， 设， 当时，，在上单调递增，显然满足要求， 当时，为二次函数，对称轴，开口向上， 故只需即可，解得， 当时，为二次函数，对称轴，开口向下，此时不满足要求， 综上，的取值范围是，． （3）证明：不妨设，因为是严格减函数， 所以，即， 而，所以， 所以对，都有， ①首先证明：当时，（1）， 假设存在，且（1）， 设（1），则（1），（1）， 所以，使得，则（1），则（1）， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得（1）； 假设存在，使得， 设，则（1）（1），， 所以，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以不存在，使得， 由上可知，当时，（1）； ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则（1）， 设，则，， 所以，，使得，则，则， 这与“，都有”矛盾， 所以假设不成立，即对任意，，都有， 所以是上的严格增函数． 【点评】本题考查了函数新定义的综合应用，函数恒成立问题和函数的奇偶性，考查了转化思想和函数思想，属难题． 43．（2023秋•杨浦区校级期末）已知、是非空数集，且，记，，，． （1）若，，，求； （2）是否存在实数，使得，，且，？若存在，请求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由； （3）若，且，，函数是上的严格增函数，求集合和． 【分析】（1）根据，，分别代入对应的分段区间求解集合的范围再求并集即可． （2）先假设推出矛盾，故可得，代入可得，再分析当时与题设矛盾可得； （3）先根据函数的单调性确定，，再证明在上存在分界点的话，这个分界点应该满足的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合即可． 【解答】解：（1）因为， 所以，，，， 因为，， 所以，，，， 故，； （2）若，则，，不符合要求； 所以， 所以， 因为，， 所以，解得； 若，则， 因为， 所以的原象且， 所以，解得，与前提矛盾； 故； （3）因为是单调递增函数， 所以对任意的，有， 所以， 所以， 同理可证． 若存在，使得， 则， 于是， 记 ，， 所以，， 同理可知，，， 由，得， 所以， 所以， 故， 即， 此时， 对于任意，， 取中的自然数， 则，， 所以，． 综上所述，满足要求的，必有如下表示： ，，，，，其中； 或者，，，，，其中； 或者，，，； 或者，，． 【点评】本题主要考查了函数与集合的综合运用，需要根据题意确定元素与区间的包含关系．同时也考查了根据函数的单调性分析集合的问题，需要根据题意找到临界点满足的性质，属于难题． 44．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中，为实数，且．（1）当时，求实数； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）试求满足的所有的实数的值． 【分析】（1）根据得到； （2）求出，画出的图象，由恒成立可知，只需，再求出的取值范围即可； （3）结合函数对称性得到不等式或方程，检验后，舍去不合要求的解，求出答案． 【解答】解：（1）时，， 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得， （2），由题意得，解得， 当时，， 画出上的函数的图象， 令，得；令，得， 结合图象，要想恒成立， 只需，解得， 又，故， 所以的取值范围为． （3）当时，，，满足要求， 令，解得，令，解得， 若，，无解， 若，，解得， 若，分别位于，两区间时， ，解得， 此时两区间为， 而，分别在上面两个区间内，满足要求， 若，分别位于，两区间时， ，解得，此时两区间为， 而，均不在上面的两个区间内，不合要求，舍去； 若，分别位于，两区间时， ，解得，此时两区间为， ，均不在上面两区间内，不合要求，舍去； 故的解为或， 所以的取值范围为或． 【点评】本题考查了函数的奇偶性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了方程思想，数形结合思想和转化思想，属难题． 一十．对数函数的图象（共1小题） 45．（2023秋•宝山区校级期末）已知，有下列命题： ①函数在区间上是严格增函数； ②函数的图像关于直线成轴对称； ③函数的图像与轴有且仅有两个公共点； ④若，但，则． 其中真命题的序号是 　①②③　． 【分析】作出的图像，对四个选项逐一分析可得答案． 【解答】解：作出的图像如下： 由图可知，函数在区间上是严格增函数，①正确； 由，得，得函数的图像关于直线成轴对称，②正确； 函数的图像与轴有且仅有两个公共点（图中的与，③正确； 由图可知，直线与的图像有4个交点，设点的横坐标为，点的横坐标为，满足，，但的值不等于4，④错误． 故选：①②③． 【点评】本题考查函数的图象与图象的变换，考查作图能力与推理分析能力，属于中档题． 一十一．函数零点的判定定理（共1小题） 46．（2022秋•浦东新区校级期末）设，分别是函数和的零点（其中，则的取值范围是　　 A．， B． C．， D． 【分析】根据零点定义，可得，分别是和的解．结合函数与方程的关系可知，分别是函数与函数和函数交点的横坐标，所以可得，．而与互为反函数．则由反函数定义可得．再根据基本不等式，即可求得的最小值，将化为，即可得解． 【解答】解：因为，分别是函数和的零点， 则，分别是和的解， 所以，分别是函数与函数和函数交点的横坐标， 所以交点分别为， 因为， 所以，， 由于函数与函数和函数都关于对称， 所以点与点关于对称， 因为关于对称的点坐标为， 所以， 即，且， 所以， 由于所以不能取等号， 因为， 所以， 即， 故选：． 【点评】本题考查了反函数的定义及性质综合应用，函数与方程的关系应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题． 一十二．函数的零点与方程根的关系（共13小题） 47．（2022秋•徐汇区校级期末）关于的方程，给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假命题的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】将方程的问题转化成函数图象的问题，画出可得． 【解答】解：关于的方程可化为或（1） 或（2） 当时，方程（1）的解为，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根 当时，方程（1）有两个不同的实根，方程（2）有两个不同的实根，即原方程恰有4个不同的实根 当时，方程（1）的解为，，，方程（2）的解为，原方程恰有5个不同的实根 当时，方程（1）的解为，，方程（2）的解为，，即原方程恰有8个不同的实根 故选：． 【点评】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想． 48．（2022秋•徐汇区校级期末）是定义在区间，上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是　　 A．若，则函数的图象关于原点对称 B．若，，则方程有大于2的实根 C．若，，则方程有两个实根 D．若，，则方程有三个实根 【分析】奇函数的图象关于原点对称；当时与有相同的奇偶性；的图象可由上下平移得到． 充分利用以上知识点逐项分析即可解答． 【解答】解：①若，，则函数不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，所以选项错误； ②当时，仍是奇函数，2仍是它的一个零点，但单调性与相反，若再加，，则图象又向下平移个单位长度，所以有大于2的实根，所以选项正确； ③若，，则，其图象由的图象向上平移2个单位长度，那么只有1个零点，所以只有1个实根，所以选项错误； ④若，，则的图象由的图象向下平移3个单位长度，它只有1个零点，即只有一个实根，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查奇函数的图象特征及函数与的奇偶性关系，同时考查由到的图象变化． 49．（2022秋•松江区校级期末）已知函数，有下列两个结论： ①的值域为； ②对任意的正有理数，存在奇数个零点 则下列判断正确的是　　 A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【分析】根据函数的定义，以及，为无理数；，为有理数时的运算结果，分别判断①②即可． 【解答】解：对于①，显然为无理数时，，则的值域中不包含负无理数，故①错； 对于②，的零点为， 当为有理数时，必有为解； 当为无理数时，，必有或无解， 所以的零点个数为3个或1个，故②对． 故选：． 【点评】本题考查分段函数的性质以及函数值域的求法，同时考查了函数零点的判断方法，属于中档题． 50．（2023秋•普陀区校级期末）对于实数，用表示不超过的最大整数，并记，例如，．则关于的方程在区间，上解的个数为 　2014　． 【分析】画出的函数图象，0不是方程的根，转化为与在，的交点个数，数形结合得到答案． 【解答】解：画出的函数图象，如图所示： 当时，，0不是方程的根， 当，时，由得， 故方程在区间，上解的个数即为与在，的交点个数， 其中在，上单调递减， 当时，，故两函数无交点， 当，时，， ，，有1个交点， 同理当，时，，，，有1个交点， 依次类推， 当，时，，，，有1个交点， 当时，不是方程的根， 综上，与在，的交点个数为． 故答案为：2014． 【点评】本题考查了函数的零点与方程根的根、函数图象交点的关系，考查了数形结合思想，属于中档题． 51．（2023秋•宝山区校级期末）关于函数，给出下列结论： ①函数的图像关于轴对称； ②如果方程为常数）有解，则解的个数一定是偶数． ③方程一定有实数解； 以上结论正确的是 　①③　． 【分析】由函数解析式可推出是偶函数，在，上单调递增，在上单调递减，结合图形判断各项的正误． 【解答】解：对①，令，解得，可知的定义域为，，，， 定义域关于原点对称， 且，则为偶函数， 即其图像关于轴对称，故①正确； 对于②：当时，方程只有1个解，故②错误； 对③，当时，则， 因为在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递减， 当时，则， 因为在，上单调递减，且恒成立， 所以在，上单调递增， 可得的函数图像如下： 方程根的个数即为函数与的交点个数， 由图像可得：当时，函数与函数的图像一定有交点， 由对称性可知，当时，函数与函数的图像也一定有交点，故③正确． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了对函数的奇偶性、单调性的判断，考查了数形结合思想、方程思想及转化思想，属于中档题． 52．（2023秋•松江区期末）已知函数的表达式为，若方程有四个不相等的实根，2，3，，且，则的取值范围是 　，　． 【分析】作出的图象，根据图象结合对数函数的性质可得，，，用表示出，再令，根据图象结合题意确定的取值范围， 从而确定的范围，利用二次函数求值域即可求解． 【解答】解：因为当时，， 所以函数的图象关于直线对称， 画出函数的图象，如图所示． 因为方程有四个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有四个交点， 所以由函数的图象可知，即的取值范围为． 由函数的图象可知，，，且，， 所以，，， 所以 ． 令， 则， 因为，所以，所以． 所以的范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数的基本性质，考查了函数的零点与图象交点的关系，考查了数形结合思想，属于中档题． 53．（2023秋•闵行区期末）已知，其中、． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）当时，若函数与的图像有且只有三个公共点，求的取值范围； （3）记，若函数在区间上有两个不同的零点，求的取值范围． 【分析】（1）结合函数的奇偶性定义，对是否为0进行分类讨论可求； （2）问题转化为有三个根，结合对勾函数性质可求； （3）问题转化为方程在上有两个不同的实根，，且，，结合二次方程的实根分布可求． 【解答】解：（1）定义域为，关于原点对称， 记， 当，，故函数是偶函数； 当，（b），（b），故函数既不是奇函数也不是偶函数； （2）若与的图像只有三个公共点，即有三个根， 即有三个根， 若，则最多两个根，不符合题意； 所以， 则有一个根，有两个根， 即方程有一根，方程有两个根； 将函数分别与函数和函数相交得， 故的范围为； （3）由在区间上有两个不同的零点，得方程在上有两个不同的实根，，且，． 由韦达定理得， 于是， 因为，，， 所以， 所以，． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，函数零点的应用，二次方程实根分布，属于中档题． 54．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数． （1）求方程的解； （2）若关于的方程在，上有实数解，求实数的取值范围； （3）若，1，2，，将区间，划分成2021个小区间，且满足，使得和式恒成立，试求出实数的最小值并说明理由． 【分析】（1）解方程即可求解； （2）将问题转化为在，上有实数解，求函数在，上的值域即可； （3）根据函数单调性分析最值即可得解． 【解答】解：（1）由得，得； （2）在，上是严格增函数， 又，，； （3）由指数函数的单调性可得，在区间，上是严格增函数， 对任意划分为正整数）， （3）（1）， ， 实数的最小值为6． 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查函数的性质，转化思想，属于中档题． 55．（2023秋•浦东新区校级期末）对于实数和，定义运算“”： ，设，若函数恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是 　，　． 【分析】首先写出分段函数解析式，由题意可得与的图象有三个交点（原点除外），根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围． 【解答】解：当，即时，， 当，即时，， ， 有三个非零的零点， 与的图象有三个交点（原点除外）， 则需与函数有三个交点， 作出的图象如图， 不妨设，知，且，， 由，解得，， ． 故答案为：，． 【点评】本题考查分段函数解析式的求法及应用，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题． 56．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，在，时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据开口方向和对称轴即可求解结论． （2）令，则命题等价于，存在，，成立，参变分离后可求的取值范围． （3）令，则原方程等价于在有两个不同的实数解，利用根的分布可求的取值范围． 【解答】解：（1）函数，在，时最大值为2和最小值为1． ，由题意得对称轴为，在，单调递增， ， ，； （2）由（1）知，， 当，，令，， 存在，，成立， 即为存在，，成立， ， ， 故需大于的最小值， ，，，， 当时，最小值为， ，； （3）令， 当时，方程有两个根；当时，方程没有根． 关于的方程有四个不同的实数解， 关于的方程在有两个不同的实数解， 在有两个不同的实数解， ， ． 综上：关于的方程有有四个不同的实数解时，，． 【点评】本题考查了函数的零点、恒成立问题、二次函数根的分布情况，也考查了转化思想，属于中档题． 57．（2023秋•宝山区校级期末）已知，． （1）若，求的取值范围； （2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围； 【分析】（1）解对数不等式即可得答案； （2）画出的图象，数形结合即可得的取值范围； （3）由余弦函数的值域，结合取最值的条件分析即可得证． 【解答】解：（1）由题意得，即， 解得，即； （2）如图，可知， 所以 ， 时，， 因为函数恰有两个零点， 所以直线与曲线恰有两个公共点， 所以，解得，即的取值范围是； 【点评】本题主要考查指数、对数函数的图像与性质，考查含有绝对值函数的处理方法，考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题． 58．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数的表达式为． （1）求函数的零点； （2）解不等式：； （3）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围． 【分析】（1）由函数零点定义即可求得； （2）由，可得，解得，结合指数函数的单调性即可求解； （3）根据题意，原问题等价于方程有且只有一个实数解，利用换元法分析可得答案． 【解答】解：（1）由，可得， 即，解得， 故函数零点为； （2）由，可得， 即，解得， 解得， 故不等式的解集为，； （3）由，可得， 即，由题意此方程有且只有一个实数解， 令，则，问题转化为： 方程有且只有一个正数根， （1）当时，，不合题意； （2）当时， 若△，则或， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若△，则或， 由题意，方程有一个正根和一个负根， 即，解得； 综上，实数的取值范围是． 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数与方程的关系，属中档题． 59．（2022秋•闵行区校级期末）设，函数． （1）若，求函数在区间，上的最大值； （2）若，写出函数的单调区间（不必证明）； （3）若存在，，使得关于的方程（a）有三个不相等的实数解，求实数的取值范围． 【分析】（1）当时，，结合去绝对值求每段区间上的最值即可； （2）采用去绝对值解法，写出分段函数，画出函数大致图象，判断函数增减区间即可； （3），分析二次函数的对称轴与的大小关系，确定的单调性，画出函数图象，数形结合得出关于参数的不等式求解即可． 【解答】解：（1）当，，时，， 当，时，函数为增函数，，； 当，时，函数为增函数，，； 所以函数在区间，上的最大值为9． （2）当时，，作出图象如图所示： 由图象可得，当，和，时，函数单调递增，当，时，函数单调递减； （3）当，时，， 函数的对称轴，所以函数在，上单调递增， 函数的对称轴，则在上，单调递增，在上，单调递减， 函数图象如图所示： 要使（a）有三个不相等的实数根，即（a）应介于如图所示两虚线，范围之间， 而（a），， 即， 化简得，即存在，，使得上式成立． 只需． 令，设， 则， 由得，，故，所以， 所以在，为增函数，所以当，时，， 故，故． 【点评】本题考查了函数的最值，函数单调性的判断，考查数形结合思想与运算求解能力，综合性较强，是较难的一道题． 一十三．绝对值不等式的解法（共1小题） 60．（2023秋•普陀区校级期末）（1）解不等式； （2）证明：对所有实数恒成立，并指出等号成立时的取值范围． 【分析】（1）分，，三种情况去绝对值符号，求解即可； （2）利用绝对值三角不等式即可得出结果． 【解答】解：（1）当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得， 此时； 当时，原不等式等价于，解得，此时无解． 综上，不等式的解集为，； （2）证明：， 当且仅当，即时等号成立，此时， 对所有实数恒成立，且等号成立时的的取值范围为． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$