第4章几何图形初步（章末重点题型复习）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第4章 几何图形初步 题型一 三组概念 概念1：立体图形与平面图形 【例题1】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）对于几种图形：①三角形；②长方形；③圆；④圆锥；⑤圆柱，其中属于立体图形的是（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．④⑤ D．③④ 【变式1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空． 对应 ，对应 ，对应 ． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示的立体图形的表面中分别包含哪些平面图形？分别指出这些平面图形在立体图形中的位置． 概念2：线段中点与角平分线 【例题2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，且D是线段的中点，求的长． 概念3：余角与补角 【例题3】（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，则下列说法错误的是（    ） A．与不互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【变式2】（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 题型二 两个性质（基本事实） 性质1：直线的基本事实 【例题4】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ 　　） A．经过一点有无数条直线 B．线段有两个端点 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是 ． 【变式3】（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）国庆节前，某绿化公司在公园的入口两边摆放时令花卉，小明观察到工人们先在两端各确定一点，并拉绳固定，再沿绳子规范地摆放中间的花，工人们这样操作，可用学过的知识解释为 性质2：线段的基本事实 【例题5】（24-25七年级上·河北承德·期中）下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（    ） A．从张庄去李庄走直线最近 B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 C．数轴是一条特殊的直线 D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 ． 【变式3】（2024七年级上·山东·专题练习）如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为m，得到的四边形的周长为n，则关于m与n的大小关系是 ． 题型三 两种计算 计算1：线段的计算 【例题6】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，C为的中点，点D在线段上，且，若，则的长度为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，线段，点，分别是，的中点，则的长为 ． 【变式3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 计算2：角的计算 【例题7】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．    题型四 一种方法——计数方法 【例题8】（20-21七年级上·湖南娄底·期末）如图，平面内有公共端点的六条射线、、，、、，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7、…，则数字“2020”在射线（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【变式1】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7.… (1)“17”在射线_____上. (2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律. (3)“2019”在哪条射线上？ 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）观察思考：   (1)在内部画2条射线，则图中有几个不同的角？ (2)3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 【变式3】（22-23七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整. 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 棱数 9 面数 5 （1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________． 题型五 四种思想 思想1：转化思想 【例题9】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C是线段上的一点，分别是线段的中点，分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式2】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小：___________（填“>”“<”或“=”）； ②若，且，求的长； (2)若线段被点B、C分成了三部分，且，点M是的中点，直接写出的长． 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则______． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）【类比探究】 如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示） 思想2：分类讨论思想 【例题10】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则（  ） A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2 【变式1】（20-21七年级·全国·假期作业）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．4 C．5或23 D．4或22 【变式2】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则 ． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长，补全下面过程 ∵ ， ∴ ∵ 为线段的中点 ∴ （理由： ） (2)若点是直线上一点，且，则线段的长为 ． 思想3：方程思想 【例题11】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，平分，平分，若，则 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，是的平分线，若，求： (1)的度数； (2)的度数． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 思想4：数形结合思想 【例题12】（23-24七年级上·海南儋州·期中）如图，是线段的中点，是线段上一点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点是的中点，点是的三等分点，且点在点的右边． 在线段上是否存在一点，使得点是的中点，同时点也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 几何图形初步 题型一 三组概念 概念1：立体图形与平面图形 【例题1】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）对于几种图形：①三角形；②长方形；③圆；④圆锥；⑤圆柱，其中属于立体图形的是（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．④⑤ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可． 【详解】解：根据立体图形的定义可知，圆柱和圆锥是立体图形，三角形，长方形和圆不是立体图形， 故选：C． 【变式1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键．根据面动成体判断出各选项中旋转得到立体图形即可得出答案． 【详解】A、旋转一周为圆锥，不符合题意； B、旋转一周为倒立的圆锥且底面凹进去一个圆锥，不符合题意； C、旋转一周能够得到的几何体与原题图形位置反过来了，不符合题意； D、旋转一周能够得到原题图形，符合题意； 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·河北石家庄·期中）如图，立体图形是由哪一个平面图形旋转得到的？请按对应序号填空． 对应 ，对应 ，对应 ． 【答案】 a d e 【分析】根据面动成体的特点解答． 【详解】解：a旋转得到的图形为圆锥，b旋转得到的图形为圆台，c旋转得到的图形为上下两个圆锥组成的组合图形，d旋转得到的图形是上面是一个圆台，下面是一个圆柱组成的组合图形，e旋转得到的图形是上面是一个圆锥，下面是一个圆柱组成的组合图形， ∴A对应a，B对应d，c对应e， 故答案为：a，d，e． 【点睛】本题主要考查了面动成体的知识，具有良好的空间想象能力是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图所示的立体图形的表面中分别包含哪些平面图形？分别指出这些平面图形在立体图形中的位置． 【答案】见解析 【分析】根据立体图形的侧面和底面的形状即可得到答案． 【详解】解：（1）包含的平面图形有三角形、四边形，其中三角形位于四棱锥的侧面，四边形位于四棱锥的底面． （2）包含的平面图形有圆，圆位于圆柱的上、下底面． （3）包含的平面图形有四边形、六边形，其中四边形位于六棱柱的侧面，六边形位于六棱柱的上、下底面． 【点睛】此题考查了常见立体图形的侧面和底面，熟练掌握常见立体图形的特征是解题的关键． 概念2：线段中点与角平分线 【例题2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，点D是线段的中点，若，，则的长度为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查线段中点以及线段的和差计算，解题的关键是掌握线段中点把线段分成两个相等的线段． 根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算，根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】解：，， ， 平分， 故选： 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，射线平分，则的度数为 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．分两种情况在内或外），分别首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数． 【详解】解：当在内时，如图1， 则， 射线平分， ； 当在外时，如图2， 则， 射线平分， ． 综上，或． 故答案为：或． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，且D是线段的中点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，已知，，，根据中点的定义先求出，然后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴， ∴的长为． 概念3：余角与补角 【例题3】（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，则它的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查补角及角度的运算，熟练掌握补角的意义及角度的运算是解题的关键；根据补角及角度的运算可进行求解 【详解】解：由题意得：； 故选A 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，则下列说法错误的是（    ） A．与不互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【答案】A 【分析】本题考查了互余的概念及计算，掌握互余的概念是解题的关键． 根据互余的概念及计算可得，由此进行判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即与互为余角，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即与互为余角，故A选项错误，符合题意； ∴，即与互为余角，故D选项正确，不符合题意； ∴，即与互为余角，故C选项正确，不符合题意； 故选：A ． 【变式2】（24-25七年级上·河北邢台·期中）一位同学利用如图所示的量角器、采用如图1所示的方法测量锐角的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射线、上、则的度数为 ，另外一位同学用同样的方法，测量的余角的度数，如图2所示，已知射线所指示的度数为，则射线所指示的度数为 ． 【答案】 /50度 或 【分析】本题考查了量角器中的角度计算，互余等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为，即可求出的度数，从而得出的余角的度数，再根据射线所指示的度数为，即可求解． 【详解】解：根据图1可得，射线所对的数字为、所对的数字为， ∴， 则的余角的度数为， 根据图2可得，射线所指示的度数为， ∴射线所指示的度数为，射线所指示的度数为， 故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，是其内部一条射线，以为一边作直角，点与点在边同侧，给出下列四个结论：①只与互余；②与互补；③平分，则平分；④的平分线与的平分线的夹角是直角．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查几何图形中角的数量关系，根据互余的概念即可判断①；根据互补的概念即可判断②；说明，即可判断③；说明即可判断④．解题的关键是掌握互余、互补、角平分线的定义． 【详解】解：①∵，， ∴，， ∴分别与、互余，故结论①错误； ②∵，， ∴， ∴ ， ∴与互补，故结论②正确； ③∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故结论③正确； ④如图，为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴ ， ∴的平分线与的平分线的夹角是直角，故结论④正确； ∴正确的是②③④． 故答案为：②③④． 题型二 两个性质（基本事实） 性质1：直线的基本事实 【例题4】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ 　　） A．经过一点有无数条直线 B．线段有两个端点 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 【答案】C 【分析】此题考查的是两点确定一条直线的实际应用．根据两点确定一条直线，可得经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，从而得出结论； 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线． 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③以两个点为端点只能画一条线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点，熟练掌握直线、射线、线段的定义及它们之间的联系与区别是解题的关键． 根据两点确定一条直线，直线、射线、线段的联系与区别等知识点逐项分析判断即可． 【详解】解：①因为两点确定一条直线，所以过两点只能画一条直线，故说法①正确； ②过两点可以画条射线，故说法②错误； ③以两个点为端点只能画一条线段，该说法正确，故说法③正确； 综上，说法正确的有，共个， 故选：． 【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）平面内有五个点，过每两个点作一条直线，可以作的直线条数可能是 ． 【答案】、、、或 【分析】本题考查了平面上直线的确定方法，解答问题的关键是运用分类讨论思想，考虑到可能出现的所有情况． 分类画出图形即可求得画的直线的条数． 【详解】解:如下图，分以下四种情况： 当五点在同一直线上，如图： 故可以画条不同的直线； 当有四个点在同一直线上， 故可以画不同的直线； 当有两个三点在同一直线上， 故可以画条不同的直线； 当有三个点在同一直线上， 故可以画不同的直线； 当五个点都不在同一直线上时， 因此当时，一共可以画条直线， 故可以作条、条、条，条或条直线， 故答案为：、、、或． 【变式3】（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）国庆节前，某绿化公司在公园的入口两边摆放时令花卉，小明观察到工人们先在两端各确定一点，并拉绳固定，再沿绳子规范地摆放中间的花，工人们这样操作，可用学过的知识解释为 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，熟知经过两点有且只有一条直线是解答此题的关键，直接根据直线的性质即可得出结论． 【详解】解：经过两点有且只有一条直线， 工人们先在两端各确定一点，并拉绳固定，再沿绳子规范地摆放中间的花． 故答案为：两点确定一条直线． 性质2：线段的基本事实 【例题5】（24-25七年级上·河北承德·期中）下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线； ③从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中可用“两点确定一条直线”来解释的现象有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线和线段的性质．根据“两点确定一条直线”可直接进行排除选项． 【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，可用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，可用“两点确定一条直线”来解释，符合题意； ③从地到地架设电线，尽可能沿线段架设，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合题意； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可用“两点之间，线段最短”来解释，故不符合题意； 综上分析可知，正确的有2个． 故选：B． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（    ） A．从张庄去李庄走直线最近 B．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 C．数轴是一条特殊的直线 D．一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标 【答案】D 【分析】依据两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 从张庄去李庄走直线最近，属于“两点之间线段最短”的知识，故选项不符合题意； B. 向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉，属于“直线可以无限延长”的知识，故选项不符合题意； C. 数轴是一条特殊的直线，属于数轴的定义知识，即“数轴是一条有方向、有刻度的直线”，故选项不符合题意； D. 一般地，射击时要保证瞄准的目标在准星和缺口确定的直线上，这样才能击中目标，属于“经过两点有且只有一条直线”，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，直线、射线、线段的联系与区别，数轴的定义，两点确定一条直线等知识点，熟练掌握直线的相关特性是解题的关键 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据“两点之间线段最短”可得答案． 【详解】解：他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短 【变式3】（2024七年级上·山东·专题练习）如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为m，得到的四边形的周长为n，则关于m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段的性质．掌握两点之间线段最短是解题的关键． 由两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：根据两点之间，线段最短， ． 故答案为：． 题型三 两种计算 计算1：线段的计算 【例题6】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，C为的中点，点D在线段上，且，若，则的长度为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，正确建立方程是解题关键． 设，先根据线段中点的定义可得，，再根据，，可得，解方程后即可求出答案． 【详解】解：设， 为的中点， ∴， ， ，， ， 解得， ， 故选：D． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，线段，点，分别是，的中点，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算．先根据线段和差关系得到，再根据线段中点的定义得到，进一步计算即可求得的长． 【详解】解：∵线段，线段， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 【变式3】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【答案】(1) (2)3或10 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据中点的定义，推出，即可得解； （2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，， 所以． 因为， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以． 当点C在点P的右侧时，，即，解得； 当点C在点A，P之间时，，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，，即，解得， 所以． 综上所述，CP的长为3或10． 计算2：角的计算 【例题7】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角以及角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据余角的定义，得到，再结合角平分线的定义，得到，即可求出的度数． 【详解】解：为直角， ， ， ， 是的平分线， ， ， 故选：A． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查角度计算，根据互余两角的关系进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知一个角的余角比这个角的补角的小，则这个角的余角的度数是 ，补角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，余角和补角的知识，设这个角的度数是，则它的余角为，补角为，根据一个角的余角比这个角的补角的多，即可列方程求解，熟练掌握余角的和等于，互补的两角之和为是解决此题的关键． 【详解】设这个角的度数是，则它的余角为，补角为， 根据题意，得， 解得． ∴，， 即这个角的余角的度数为，补角的度数为， 故答案为：，． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，是解题的关键．根据，分别是，的平分线，得出，．根据求出结果即可． 【详解】．理由如下： 因为，分别是，的平分线， 所以，． 又因为， 所以． 题型四 一种方法——计数方法 【例题8】（20-21七年级上·湖南娄底·期末）如图，平面内有公共端点的六条射线、、，、、，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7、…，则数字“2020”在射线（    ） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【分析】由题意知，6个数字循环一次，则可求2020与4在一条射线上； 【详解】由题意可知，6个数字循环一次， ∵， ∴2020与4在一条射线上， ∴“2020”在射线OD上； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了规律型数字变化类，准确分析判断是解题的关键． 【变式1】如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7.… (1)“17”在射线_____上. (2)请写出OA，OB，OD三条射线上数字的排列规律. (3)“2019”在哪条射线上？ 【答案】(1)OE；(2)见解析；(3)“2019”在射线OC上. 【分析】（1）根据数字排列规律，依次数下去就可以得到）“17”在射线 OE上； （2）因为正整数按照6个数字一循环，依次排列，因此，出现在每一条射线上的数字都可以看做一个等差数列，根据等差数列通项公式an=a1+（n-1）×d即可写出． （3）因为正整数按照6个数字一循环，依次排列，所以将2019除以6，如果能被整除，则落在射线OF上，如果有余数，则依次落在OA至OE上． 【详解】解：(1) 根据已知总结排列如下： 射线OA：1 7 13 19 … 射线OB：2 8 14 20 … 射线OC：3 9 15 21 … 射线OD：4 10 16 22 … 射线OE：5 11 17 23 … 射线OF：6 12 18 24 … 故“17”在射线 OE上． (2) 根据已知总结排列如下： 射线OA：1 7 13 19 …数字排列规律：6n-5 （n为正整数） 射线OB：2 8 14 20 …数字排列规律：6n-4 （n为正整数） 射线OC：3 9 15 21 …数字排列规律：6n-3 （n为正整数） 射线OD：4 10 16 22 …数字排列规律：6n-2 （n为正整数） (3) 射线OE：5 11 17 23 …数字排列规律：6n-1 （n为正整数） 射线OF：6 12 18 24 …数字排列规律：6n （n为正整数） 在六条射线上的数字规律中，只有有整数解， 解为 ∴“2019”在射线OC上. 【点睛】本题考查数字的排列规律，考查了学生要从数字的排列中找到规律，然后写出规律即可求出相应值．此外掌握等差数列的通项公式an=a1+（n-1）×d对解决此类问题有很大帮助． 【变式2】（2023七年级上·全国·专题练习）观察思考：   (1)在内部画2条射线，则图中有几个不同的角？ (2)3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？ 【答案】(1)6 (2)，有个不同的角 【分析】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键． （1）根据图1直接数出即可； （2）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在内部画n条射线时角的个数． 【详解】（1）解：在内部画2条射线，如图1，    则图中有 共个不同的角； （2）解：在内部画3条射线，如图2，    在图1 的基础上增加了和， 共有个不同的角； 若在内部画n条射线，则有个不同的角． 【变式3】（22-23七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）观察下列多面体，并把下表补充完整. 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 棱数 9 面数 5 （1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________． 【答案】填表见解析；（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】由三棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；四棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；五棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；六棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：，即可填表． 根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出（1）（2）和（3）的答案； （4）根据表格可总结出规律得出之间的关系． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形                                     顶点数         棱数 面数 （1）十二棱柱有个面，共有个顶点，共有条棱． 故答案为：14，24，36； （2）某个棱柱由个面构成，则这个棱柱为棱柱． 故答案为：28； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱． 故答案为：，，，； （4）之间的关系：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何规律型问题，熟记常见棱柱的特征，进而可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 题型五 四种思想 思想1：转化思想 【例题9】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C是线段上的一点，分别是线段的中点，分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为分别是线段的中点，所以．因为，所以，所以．因为分别是线段的中点，所以，所以，所以，所以，所以的值为． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【变式2】（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，A、B、C、D四点在同一直线上． (1)若． ①比较线段的大小：___________（填“>”“<”或“=”）； ②若，且，求的长； (2)若线段被点B、C分成了三部分，且，点M是的中点，直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查线段及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的关键． （1）①根据等式的性质，得出答案；求出的值，在求出、的长，进而求出的长即可； （2）根据线段的比，先求解，结合线段中点的意义，求解，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， ， 即，， ②∵，且， ，， ， （2）如图所示，   ，线段被点B、C分成了三部分， ∴， 是的中点 ， ． 【变式3】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 【特例感知】 （1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则______． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求的度数． ②请你猜想，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． （3）【类比探究】 如图3，在的内部转动，若，，，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）22；（2）①；②．理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）点和点分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题． （2）①欲求，需求．已知，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题． ②与①同理解决即可； （3）由，可得，，，所以，根据可得结论． 【详解】解：（1）点是的中点，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：22； （2）①和分别平分和， ，． ． 又，， ． ． ． ②．理由如下： 和分别平分和， ，． ． ． ． （3），， ， ，，， ， ， ， ． 思想2：分类讨论思想 【例题10】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则（  ） A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是掌握线段的中点平分线段，正确画出图形．首先根据题意画出图形，分两种情况：①在上，②在的延长线上，然后利用方程思想设出未知数，表示出、、和的长即可解决问题． 【详解】解：如图1， 设，则，， 点为的中点， ， ， ， ， 解得：， ； 如图2，设，则，， 点为的中点， ， ， ， ， 解得：， ． 综上所述，线段的长为或． 故选：A． 【变式1】（20-21七年级·全国·假期作业）如图，点O在直线上，过O作射线，，一直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．4 C．5或23 D．4或22 【答案】C 【分析】分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到t的值． 【详解】解：∵， ∴， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ∴； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ∴； ∴t的值为：5或23． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，直线于点，，三角形其中一个顶点与点重合，，平分，现将三角形以每秒的速度绕点逆时针旋转至三角形，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转至，设运动时间为秒，当直线平分时，则 ． 【答案】2或14/14或2 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键． 由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可． 【详解】解：平分， ， 以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转， ①如图1中，当平分时， 解得； ②如图2，当平分时， 解得， 故答案为：2或14． 【变式3】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在线段上，，，为线段的中点．    (1)求线段的长，补全下面过程 ∵ ， ∴ ∵ 为线段的中点 ∴ （理由： ） (2)若点是直线上一点，且，则线段的长为 ． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查线段和差，线段中点的定义，分类讨论思想，理解图示，中点的定义，掌握线段和差的计算方法，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段和差的计算，中点的定义进行计算即可求解； （2）根据点在直线上，分类讨论：当点在点左边时，；当点在点右边时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：求线段的长，补全下面过程如图， ∵ ， ∴ ， ∵ 为线段的中点 ∴ （线段中点的定义）； 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∴， 当点在点左边时，； 当点在点右边时，； 故答案为：或． 思想3：方程思想 【例题11】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离及线段的中点，解决本题的关键是掌握线段的中点定义并熟练应用．根据线段，点为线段的中点，可得，点将线段分成，可以设，进而，求出，进而可求线段的长度． 【详解】解：线段，点为线段的中点， 点将线段分成， 设， ，解得， 则线段的长度为． 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，平分，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，设，则，由角平分线的定义可得，，进而可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，是的平分线，若，求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是数形结合． （1）设，则．根据，得出，求出，根据角平分线定义得出． （2）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以设， 则． 又因为， 所以， 即， 所以． 因为是的平分线， 所以． （2）解：因为，， 所以 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点C为线段上一点，且，N是的中点，若，求的长． 【答案】50 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键．设，根据线段的和差关系，中点的概念，结合，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则． 因为N是的中点， 所以． 因为，所以， 解得， 所以 思想4：数形结合思想 【例题12】（23-24七年级上·海南儋州·期中）如图，是线段的中点，是线段上一点，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，与线段的中点有关的计算，正确的识图，找准线段的和差关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵是线段的中点， ∴， ∴，，故A，B，D选项正确； 无法得到，故B选项错误； 故选：C． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 【答案】180 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，根据题意可得，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：180． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知线段，点是的中点，点是的三等分点，且点在点的右边． 在线段上是否存在一点，使得点是的中点，同时点也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，画图及理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点、三等分点的计算，掌握线段和差的计算方法，数形结合分析是解题的关键． 根据题意，以点为圆心，以长为半径画弧，交 于点，即为所求作，如图，可得，根据中点的定义可得，由此线段和差的计算可得，，由此即可求解． 【详解】解：存在，理由如下， 以点为圆心，以长为半径画弧，交 于点，即为所求作，如图， 理由：∵， ∴， ∴， ∴是的中点， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形板中角的度数． （1）根据，，求出．根据，得出． （2）根据，，求出，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：由题图可知，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$