九年级数学上学期期末押题测试卷02-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为(     ) A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数中自变量x的取值范围是 ． 10．如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则 ． 11．以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表 摄氏温度值/ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/ 32 50 68 86 104 122 根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是 ． 12．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 13．如图，的半径为2，，，则弦的长为 ． 14．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 15．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 16．如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．计算：． 18．如图分别是的边上的点，．求证：． 19．已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：    (1)这个二次函数的解析式是______ ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； (3)当时，的取值范围为______ ． 20．如图，在中，，求的值． 21．已知：如图． 求作：的内接正方形． 作法：①作的直径； ②作直径的垂直平分线交于点C，D； ③连接． 所以四边形就是所求作的正方形． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：是A的垂直平分线， 过点O． ． ．（ ）（填推理的依据） 四边形是菱形． 是的直径， °．（ ）（填推理的依据） 菱形是正方形． 22．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，斜坡的坡度为，高为，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中A、C、E在同一直线上． (1)求的长度； (2)求大楼的高度．（参考数据：，） 23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 24．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 25．图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 26．如图，，点A在上，过点A作的平行线，与的平分线交于点B，点C在上（不与点O，B重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． (1)直接写出线段与之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点E，F．若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 27．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 28．在平面直角坐标系中，对于线段，点和图形定义如下：线段绕点逆时针旋转得到线段（和分别是和的对应点），若线段和均在图形的内部（包括边界），则称图形为线段关于点的旋垂闭图． (1)如图，点，． ①已知图形：半径为3的； ：以为中心且边长为6的正方形； ：以线段为边的等边三角形． 在，，中，线段关于点的旋垂闭图是　 　． ②若半径为5的是线段关于点的旋垂闭图，求的取值范围； (2)已知长度为4的线段在轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点，使得对半径为2的上任意一点，都有线段满足半径为的是该线段关于点的旋垂闭图，直接写出的取值范围． 试卷第2页，共9页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期期末考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键． 2．已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例式的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵⇔， ⇔， ⇔， ⇔， ∴变形正确的是选项D． 故选：D． 【点睛】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键． 3．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ， ∴ 其顶点坐标为(3，1)， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键． 4．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（　　） A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】根据“同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可. 【详解】∵∠AOB与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角， ∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理及等腰三角形的性质是关键. 5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 6．已知点，都在反比例函数的图像上，且，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴时，随的增大而减小，时，随增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解本题的关键． 7．如图，为测楼房的高，在距楼房50米的处，测得楼顶的仰角为，则楼房的高为(     ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BC、AC的关系，根据AC即可求得BC的长度，即可解题. 【详解】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=， ∴=tanα， ∴BC=AC•tanα=50tanα． 故选A. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了三角函数在直角三角形中的运用，本题中计算BC、AC的关系是解题的关键. 8．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（    ） A． B．垂直平分线段 C． D． 【答案】C 【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论． 【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上 ，点A在线段BD的垂直平分线上 AP为线段BD的垂直平分线 点E在AP上，BE=DE，故A正确； ，， 且 为等边三角形且 ， 平分 ， ， 垂直平分，故B正确； ，， ， ， ，故C错误； ， ， ，故D正确 故选C． 【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．函数中自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≠3 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 10．如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵的内接四边形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， 故答案为：25． 11．以下表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表 摄氏温度值/ 0 10 20 30 40 50 华氏温度值/ 32 50 68 86 104 122 根据表格信息，当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得当摄氏温度值为时，华氏温度值为，且摄氏温度值每增加，华氏温度值增加，可得到华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当摄氏温度值为时，华氏温度值为，且摄氏温度值每增加，华氏温度值增加， 设华氏温度值为y，摄氏温度值为x，则 华氏温度值与摄氏温度值的函数关系式为， 当时，， 解得：， 即当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时，这个值是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，求函数值，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 12．如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 13．如图，的半径为2，，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】连接，，由圆周角定理知，又因为，，由锐角三角函数知，所以． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，连接运用垂径定理，特殊角的三角函数是解答此题的关键． 14．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图：    ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 15．如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】1 【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 16．如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，含的直角三角形的性质，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦”． （1）由E是的中点，，可得，，可得，，即可得的度数； （2）由于直径，根据垂径定理，可以得到所以，又平分，所以，可以证明，所以，由（1）可得，，所以； 【详解】解：E是的中点，， ，， 在中：， ， ， 的度数为∶． 故答案为：． （2）连接如图 直径， 平分， 由（1）得， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算． 18．如图分别是的边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定；由条件得出，根据相似三角形的判定即可解决问题； 【详解】证明：∵， 又∵， ∴． 19．已知一个二次函数图像上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：    (1)这个二次函数的解析式是______ ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图像； (3)当时，的取值范围为______ ． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据，0时的函数值，再结合可知当时，，即可写出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为：， 把点代入得，解得， 抛物线解析式为，即； （2）解：如图所示：    （3）解：， ∵对称轴为，， ∴， 当时，；当时，，开口向上，离对称轴越远函数值越大， 当时，的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 20．如图，在中，，求的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据锐角三角函数的定义，进行求解即可． 【详解】 解：在中，，， 则，． 21．已知：如图． 求作：的内接正方形． 作法：①作的直径； ②作直径的垂直平分线交于点C，D； ③连接． 所以四边形就是所求作的正方形． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：是A的垂直平分线， 过点O． ． ．（ ）（填推理的依据） 四边形是菱形． 是的直径， °．（ ）（填推理的依据） 菱形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等；；直径所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查作图，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． （1）根据要求作图即可； （2）根据有一个角是的菱形是正方形证明即可． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示： （2）解：证明：是A的垂直平分线， 过点O． ． ．（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）（填推理的依据） 四边形是菱形． 是的直径， °．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据） 菱形是正方形． 故答案为：在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等；；直径所对的圆周角是直角． 22．如图，在大楼的正前方有一斜坡，米，斜坡的坡度为，高为，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中A、C、E在同一直线上． (1)求的长度； (2)求大楼的高度．（参考数据：，） 【答案】(1)米； (2)34米； 【分析】（1）根据在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为，高为，可以求得的高度； （2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼的高度． 【详解】（1）解：∵在大楼的正前方有一斜坡，米，坡度为， ∴， 设米，则米， ∴， 解得， ∴，， 即米，米， 故斜坡的高度是5米； （2）解：∵，，米，米， ∴，， 解得，米，米， 即大楼的高度是34米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用坡度和锐角三角函数解答问题． 23．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出的x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)的面积为8 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据函数图象，写出当一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可； （3）令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D，先求出与x轴和y轴的交点坐标，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式的解析式为； （2）解：∵，， ∴由图可知，当或时，， ∴当或时，； （3）解：令直线与y轴相交于点C，与x轴相交于点D， 把代入得， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴ ． 24．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，得出，即可得出直线与相切； （2）设半径为r，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， ， ∴， 在与中； ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切． （2）解：设半径为r， 在中，， 即， 解得； ， ， 在中，， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法． 25．图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②不能 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ②将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 26．如图，，点A在上，过点A作的平行线，与的平分线交于点B，点C在上（不与点O，B重合），连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． (1)直接写出线段与之间的数量关系，并证明； (2)连接并延长，分别交，于点E，F．若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，则，进而可得；由旋转的性质可得，，由，可得，则，，证明，则，进而结论得证； （2）如图，在上截取使，连接，由，可得，证明，则，，由，可得，则，即，，，由，可得，如图，作于点K，由，可得，，则即，． 【详解】（1）解：线段与的数量关系为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 证明：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取使，连接， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 如图，作于点K， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，余弦等知识．解题的关键在于熟练掌握知识并灵活运用． 27．在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知，当，y的取值范围是，求a，m的值． 【答案】(1)直线 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式： （1）：把代入中得，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据题意可得，再由抛物线开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，则当时，，当时，，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵当，y的取值范围是， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴， 解得或（舍去）． 28．在平面直角坐标系中，对于线段，点和图形定义如下：线段绕点逆时针旋转得到线段（和分别是和的对应点），若线段和均在图形的内部（包括边界），则称图形为线段关于点的旋垂闭图． (1)如图，点，． ①已知图形：半径为3的； ：以为中心且边长为6的正方形； ：以线段为边的等边三角形． 在，，中，线段关于点的旋垂闭图是　 　． ②若半径为5的是线段关于点的旋垂闭图，求的取值范围； (2)已知长度为4的线段在轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点，使得对半径为2的上任意一点，都有线段满足半径为的是该线段关于点的旋垂闭图，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①分别在坐标系中画出，，，再画出线段绕点逆时针旋转的线段即可得到答案； ②如图1所示，当点在点左侧，且此时刚好点落在上时，如图2所示，当点在点右侧，且此时刚好点落在上时，求出这两种临界情形下的值，即可得到答案； （2）先求出点在直线上运动；不妨设点在点的左侧，如图所示，连接并延长交于P，点绕点P逆时针旋转后的对应点为，，由旋转的性质可得，，则，由于点到上任意一点的距离的最大值是，则只需要找到值最小时，则此时半径有最小值；故当与直线垂直时，有最小值，即有最小值，如图所示，当点的坐标为且与直线垂直时，有最小值，即有最小值，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①由下图可知，在，，中，线段关于点的旋垂闭图是，， 故答案为：，； ②如图1所示，当点在点左侧，且此时刚好点落在上时， 由旋转的性质可得，， ，， ， ， 在上， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）； 如图2所示，当点在点右侧，且此时刚好点落在上时， 由旋转的性质可得，， ，， ， ， 在上， ， ， ， 解得或（不符合题意的值舍去）； 当时，半径为5的是线段关于点的旋垂闭图； ； （2）解：， ， ， 点在直线上运动； 长度为4的线段在轴负半轴和原点组成的射线上， 不妨设点在点的左侧， 如图所示，连接并延长交于P，点绕点P逆时针旋转后的对应点为， 由旋转的性质可得，， ， 点到上任意一点的距离的最大值是， 由于A、Q都是动点， 只需要找到值最小时，则此时半径有最小值； 点到直线的距离，垂线段最短， 当与直线垂直时，有最小值，即有最小值， 如图所示，当点的坐标为且与直线垂直时，有最小值，即有最小值， 此时，， ， ， ， 则 ∴ ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，坐标与图形变化——旋转，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题等等，正确画出示意图，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 试卷第2页，共30页 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$