精品解析：2024-2025学年北师大版九年级上册数学期末复习试卷(四)

2024-2025北师版九年级上数学期末复习试卷（四） 一、选择题： （共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意； B．是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 若是锐角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数的函数值，根据是锐角，，得到，即可求的值． 【详解】解：是锐角，， ， ， 故选：B． 3. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面可看到一个长方形和上面一个长方形，且两个长方形等长． ∴左视图是： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是解本题的关键． 4. 如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，会用相似三角形对应边成比例． 【详解】解：设像到小孔O的距离为 由题意得, ∴，, ∴ ∴， 解得, 故选C． 5. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得：． 故选：D． 6. 广西的白头叶猴是国家一级保护动物，为了了解某地区白头叶猴的数量，先捕捉了10只白头叶猴给它们做上标记，然后放走，待有标记的白头叶猴完全混合于猴群后，第二次捕捉20只白头叶猴，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的白头叶猴约有（ ）只 A. 20 B. 25 C. 40 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，用第一次捕捉的只数除以其占总数的比例即可． 【详解】解：由题意知，估计这个地区的白头叶猴约有（只）， 故选：C． 7. 如图，在中，，，点为边上一点，，若，则为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，根据等腰三角形的性质求出与的度数，根据即可求出的度数，从而证得也是等腰三角形，且与相似，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长，根据即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（舍去），， 即， 故选：C． 8. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D． ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=9.6(cm)． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 9. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小， ∴点和中，， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键． 10. 如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.通过证明 ，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确； 由勾股定理可求. ，可以判断④错误； 分别求出、即可判断③，即可求解. 【详解】解：∵矩形和矩形，，， ， ， ， ， ，故①错误； 如图: 设与交于点， ， ， 又 ， ， ，故②正确； 如图，连接， ， ，， ， ，，， ， ，故④错误； 如图，过点作 于， 于， ， ∴四边形APGN是矩形， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是②③. 故选A 二、填空题：（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程．利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：， 解得：． 故答案为： 12. 已知，且，____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，正确设出，构造方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 13. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和点，，的坐标求出点的坐标，再把点的坐标代入即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴，， 解得，， ∴， 将代入并解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 15. 如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出AC，然后根据直角三角形的性质可得BD=AD=CD，进而可得∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：当∠DME=90°时，如图1，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，然后解Rt△BMF即可求出BF；当∠MDE=90°时，如图2，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，根据三角形的内角和定理可得∠BFM=∠MDE=90°，再解Rt△BMF即可求出BF，从而可得答案． 【详解】解：中，∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴BD=AD=CD=， ∴∠DBC=∠C， 由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况： 当∠DME=90°时，如图1，∵以为对称轴折叠得到， ∴∠E=∠C，DE=DC=5， ∴， ∴BM=BD－DM=2， ∴； 当∠MDE=90°时，如图2，， ∴， ∵∠DBC=∠C=∠E，∠BMF=∠EMD， ∴∠BFM=∠MDE=90°， ∴； 综上，的长为1或． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相关知识、灵活应用转化的思想是解题的关键． 三、解答题 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据特殊角的三角函数值的混合运算法则计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，为一盛路灯灯杆，该路灯的灯泡位于灯杆上，小红和小颖都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡的照射下的影子末端位于点处．已知，在同一条直线上，且． （1）请在图中画出路灯灯泡的位置，并画出小红在灯泡的照射下的影子（不必写出画法）； （2）经测量米，米，小红的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度的长． 【答案】（1）图见解析 （2）长为米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）连接并延长，交于点，连接并延长交与点，点，点即为所求； （2）证明，列出比例式进行求解即可． 解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质． 【小问1详解】 解：连接并延长，交于点，连接并延长交与点，点，点即为所求，如图： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 答：的长为米． 18. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 【答案】（1）； （2）作图见解析，． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果， 所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 19. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的值； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质等知识． （1）可证得，，进而得出； （2）由（1）得出，设，，由得出，求得k，进而得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵沿折叠为， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， 设，， ∵，， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 　 　； （3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 　 　． 【答案】（1），；（2）或；（3），或， 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入反比例函数关系式求出，把代入一次函数关系式求得点横坐标，进而求得结果； （2）先求出直线和反比例函数另一个交点坐标，然后由图象得出结果； （3）因为，所以只需，设点的纵坐标是，表示出、两点横坐标，列出方程求得结果． 【详解】解：（1）过， ， ， 由得，， ， ； （2）由得， ，， 当一次函数值小于反比例函数值时， 或， 故答案是：或； （3）设，，， ， 当时， ， ， 在第二象限， 或， ，或，， 故答案是：，或，． 【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数及其图象性质，平行四边形判定等知识，解题的关键是设点的坐标，正确表示线段长度． 21. 阅读理解学习： 在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 【阅读材料】：在中，的对边分别记为的面积记为，过点作，垂足为，则 同理可得： 即：……① 由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，将等式两边同除以得…………② 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题： 如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． （1）求的面积； （2）求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 【答案】（1）平方海里 （2）乙船航行路程为海里． 【解析】 【分析】（1）结合题中条件可求出的长，再根据材料中的结论1：三角形的面积等于两边及其夹角正弦值的一半，即可求出答案． （2）根据第一问可知是等边三角形，结合题中条件求出和的大小，根据材料中的结论2：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，可求出的长． 【小问1详解】 解：由题意知：，，， 由结论①知， （平方海里）， 所以的面积为平方海里． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴是等边三角形， ∴，， 又， ∴， 由题意知，， ∴， 在中，由材料中结论②得， ∴（海里）， ∴乙船航行的路程为海里． 【点睛】本题考查的是方向角问题、等边三角形的判定、比例的性质、实数的混合运算，掌握方向角的概念、比例的性质，正确使用材料中的结论是解题的关键． 22. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法． 赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程方法，请在三个构图中选择能够说明方程解法的正确构图是___________（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程） 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法； （2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等小矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积为，即可解决问题. 【小问1详解】 ∵应构造面积是 的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为 ，中间的小正方形面积为, ∴大正方形的面积又可表示为， ∴大正方形的边长为，所以 ， 故正确构图②， 故答案为: ②; 【小问2详解】 首先构造了如图所示的图形， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 所以大正方形的面积又可表示为， 进一步可知大正方形的边长为，所以， 解得 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想. 23. 问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题： 如图1，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将边和转移，使、、在一个三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将和换成两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答． 已知：，，为AC边上的一点，试判断、、之间的数量关系． 学以致用：（3）如图4．已知四边形是正方形．点在上，，，试求出正方形的面积． 【答案】（1）问题初探：见解析；小明通过探究发现：见解析；（2）类比分析：见解析；学以致用： 【解析】 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可证，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求证； (2)将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、，由旋转的性质得，，再由可判定，由由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求证； （3）将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、，由勾股定理可求，作，由外角性质得，由直角三角形的特征可求，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中 ， （）， ， ， ， 为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形； (2)如图2，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、， 由(2)可得， ， ， 作， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握相关的判定方法及性质，能灵活利用旋转的性质，构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025北师版九年级上数学期末复习试卷（四） 一、选择题： （共10题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A B. C. D. 2. 若是锐角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 3. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 5. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房收入约亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为（    ） A. B. C. D. 6. 广西的白头叶猴是国家一级保护动物，为了了解某地区白头叶猴的数量，先捕捉了10只白头叶猴给它们做上标记，然后放走，待有标记的白头叶猴完全混合于猴群后，第二次捕捉20只白头叶猴，发现其中5只有标记，从而估计这个地区的白头叶猴约有（ ）只 A. 20 B. 25 C. 40 D. 45 7. 如图，在中，，，点为边上一点，，若，则为（    ） A B. C. D. 8. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 已知，且，____________． 13. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______． 15. 如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题 16. 计算： （1）． （2）． 17. 如图，为一盛路灯灯杆，该路灯的灯泡位于灯杆上，小红和小颖都站在路灯的同侧，小颖在路灯灯泡的照射下的影子末端位于点处．已知，在同一条直线上，且． （1）请在图中画出路灯灯泡的位置，并画出小红在灯泡的照射下的影子（不必写出画法）； （2）经测量米，米，小红的身高为1.6米，请你求出路灯灯泡距地面的高度的长． 18. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 19. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的值； 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是 　 　； （3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为 　 　． 21. 阅读理解学习： 在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 【阅读材料】：在中，的对边分别记为的面积记为，过点作，垂足为，则 同理可得： 即：……① 由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，将等式两边同除以得…………② 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题： 如图，甲船以海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里． （1）求的面积； （2）求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 22. 请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法． 赵爽在其所著的《公股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得原方程的正数解为． 任务： （1）参照上述图解一元二次方程方法，请在三个构图中选择能够说明方程解法的正确构图是___________（从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求方程的正数解（写出必要的思考过程） 23. 问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题： 如图1，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将边和转移，使、、在一个三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将和换成两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答． 已知：，，为AC边上的一点，试判断、、之间的数量关系． 学以致用：（3）如图4．已知四边形是正方形．点在上，，，试求出正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$