专题02 整式的乘除（考题猜想，易错必刷35题13种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题02整式的乘除（易错必刷35题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 同底数幂的乘法 · 幂的乘方与积的乘方 · 多项式乘多项式 · 完全平方公式 · 平方差公式的几何背景 · 整式的除法 · 因式分解的意义 · 公因式 · 完全平方公式的几何背景 · 因式分解-运用公式法 · 完全平方式 · 因式分解的应用 · 平方差公式 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 二．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 3．计算（﹣3x）2的结果是（　　） A．6x2 B．﹣6x2 C．9x2 D．﹣9x2 4．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 6．已知3m＝x，32n＝y，m，n为正整数，则9m+2n＝（　　） A．x2y2 B．x2+y2 C．2x+12y D．24xy 三．多项式乘多项式（共2小题） 7．已知（x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　） A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9 8．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　） A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2 四．完全平方公式（共3小题） 9．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 10．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 11．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（　　） A．16 B．20 C．25 D．30 五．完全平方公式的几何背景（共8小题） 12．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（　　） A．（b+c）2＝b2+2bc+c2 B．a（b+c）＝ab+ac C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac D．a2+2ab＝a（a+2b） 13．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为　 　． 14．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　 　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　． （4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　． 15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 16．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　 　； 方法2：　 　． （2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值； ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值． 17．如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形边长为 　 　． （2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示． （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分面积． 18．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　 　； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　 　； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 19．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 小明在解决该问题时，采用了以下解法： 解，设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b， 则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝　 　，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝　 　． 所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝　 　． （1）请补全小明的解法； （2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 　 　． 类比研究 （3）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值． 拓伸延伸 （4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 　 　（结果必须是一个具体数值）． 六．完全平方式（共3小题） 20．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 21．x2+kx+9是完全平方式，则k＝　 　． 22．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 　 　张． 七．平方差公式（共1小题） 23．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y） C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y） 八．平方差公式的几何背景（共3小题） 24．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　） A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1） 25．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为 　 　． 26．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1． 九．整式的除法（共2小题） 27．计算：（3xy+y2）÷y＝　 　． 28．已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　 　． 一十．因式分解的意义（共2小题） 29．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．6a2b＝2a•3ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．m2﹣m﹣3＝m（m﹣1）﹣3 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 30．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝　 　，n＝　 　． 一十一．公因式（共1小题） 31．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（　　） A．5mx2 B．﹣5mx3 C．mx D．﹣5mx 一十二．因式分解-提公因式法（共2小题） 32．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　） A．14 B．16 C．20 D．40 33．已知x﹣y＝，xy＝，则xy2﹣x2y的值是（　　） A．﹣ B．1 C． D． 一十三．因式分解的应用（共2小题） 34．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值． （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长． 35．综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 　 　． （2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 　 　． （3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由． $$专题02整式的乘除（易错必刷35题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 同底数幂的乘法 · 幂的乘方与积的乘方 · 多项式乘多项式 · 完全平方公式 · 平方差公式的几何背景 · 整式的除法 · 因式分解的意义 · 公因式 · 完全平方公式的几何背景 · 因式分解-运用公式法 · 完全平方式 · 因式分解的应用 · 平方差公式 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 【答案】D 【解答】解：∵x+y﹣3＝0， ∴x+y＝3， ∴2y•2x＝2x+y＝23＝8， 故选：D． 二．幂的乘方与积的乘方（共5小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【答案】A 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124 b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122． 则a＞b＞c． 故选：A． 3．计算（﹣3x）2的结果是（　　） A．6x2 B．﹣6x2 C．9x2 D．﹣9x2 【答案】C 【解答】解：（﹣3x）2＝9x2， 故选：C． 4．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4， ∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12． 故选：D． 5．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ＝•• ＝• ＝1× ＝． 故选：A． 6．已知3m＝x，32n＝y，m，n为正整数，则9m+2n＝（　　） A．x2y2 B．x2+y2 C．2x+12y D．24xy 【答案】A 【解答】解：当3m＝x，32n＝y时， 9m+2n ＝9m×92n ＝（3m）2×（32n）2 ＝x2y2． 故选：A． 三．多项式乘多项式（共2小题） 7．已知（x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　） A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9 【答案】A 【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣3）x2+（n﹣3m）x﹣3n， 又∵乘积项中不含x2和x项， ∴（m﹣3）＝0，（n﹣3m）＝0， 解得，m＝3，n＝9． 故选：A． 8．如图，在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　） A．6ab﹣3a+4b B．4ab﹣3a﹣2 C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2 【答案】B 【解答】解：剩余部分面积： （3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4） ＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b ＝4ab﹣3a﹣2； 故选：B． 四．完全平方公式（共3小题） 9．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 【答案】C 【解答】解：把a+b＝10两边平方得： （a+b）2＝a2+b2+2ab＝100， 把ab＝11代入得： a2+b2＝78， ∴原式＝78﹣11＝67， 故选：C． 10．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” （a+b）0＝1 （a+b）1＝a+b （a+b）2＝a2+2ab+b2 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 … 则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【解答】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， ••• 当n＝9时，展开式的项系数和为＝29＝512， 故选：C． 11．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（　　） A．16 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【解答】解：∵a＝5+4b， ∴a﹣4b＝5， ∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25． 故选：C． 五．完全平方公式的几何背景（共8小题） 12．若a、b、c是正数，下列各式，从左到右的变形不能用如图验证的是（　　） A．（b+c）2＝b2+2bc+c2 B．a（b+c）＝ab+ac C．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac D．a2+2ab＝a（a+2b） 【答案】D 【解答】解：依据①②③④四部分的面积可得，（b+c）2＝b2+2bc+c2，故A能验证； 依据⑤⑥两部分的面积可得，a（b+c）＝ab+ac，故B能验证； 依据整个图形的面积可得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故C能验证； 图中不存在长为a+2b，宽为a的长方形，故D选项不能验证； 故选：D． 13．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．则图中阴影部分的面积为　35　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点， ∴AM＝BM＝， ∴S阴影＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM ＝a2+b2﹣a×﹣b× ＝a2+b2﹣（a+b）2 ＝（a+b）2﹣2ab﹣（a+b）2 ＝100﹣40﹣25 ＝35， 故答案为：35． 14．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　． （4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　156　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）证明：（a+b+c）（a+b+c）， ＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2， ＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc， ＝102﹣2（ab+ac+bc）， ＝100﹣2×35， ＝30． 故答案为：30； （4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab， ∵（5a+7b）（9a+4b）， ＝45a2+20ab+63ab+28b2， ＝45a2+28b2+83ab， ∴x＝45，y＝28，z＝83． ∴x+y+z＝45+28+83＝156． 故答案为：156． 15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 16．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　a2+b2　； 方法2：　（a+b）2﹣2ab　． （2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值； ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值． 【答案】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）①mn＝，（m﹣n）2＝15；②16． 【解答】解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝， ∴m+n＝5，m2+n2＝20时， mn＝ ＝ ＝， （m﹣n）2 ＝m2﹣2mn+n2； ＝20﹣2× ＝20﹣5 ＝15； ②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023， 可得a+b＝2（x﹣2022）， ∴x﹣2022＝， （x﹣2022）2＝（）2＝， 又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4， 且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30， ∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16． 17．如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的正方形边长为 　a﹣b　． （2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示． （3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）a﹣b． （2）图2中阴影部分面积为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab． （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （3）7.5． 【解答】解：（1）由题意得：图2中阴影部分的正方形边长为：a﹣b． 故答案为：a﹣b． （2）图2中阴影部分面积为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab． ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （3）设AC＝x，BC＝y，由题意得：x+y＝8，x2+y2＝S1+S2＝34． ∵（x+y）2＝x2+y2+2xy． ∴64＝34+2xy． ∴xy＝15． ∴S阴影＝AC•CF＝xy＝7.5． 18．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　20　； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　13　； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20，②13； （2）22． 【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∵xy＝8，x+y＝6， ∴x2+y2＝62﹣2×8＝20， 故答案为：20． ②令a＝x，b＝5﹣x， ∴a+b＝5，ab＝6， ∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13， 故答案为：13． （2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为mn， ∴m+n＝14，（m2+n2）＝54，即m2+n2＝108， ∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88， ∴mn＝44， ∴mn＝×44＝22， ∴一块三角板的面积是22． 19．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值． 小明在解决该问题时，采用了以下解法： 解，设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b， 则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝　2　，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝　5　． 所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝　21　． （1）请补全小明的解法； （2）已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为 　120　． 类比研究 （3）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值． 拓伸延伸 （4）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为 　44　（结果必须是一个具体数值）． 【答案】（1）2，5，21； （2）120； （3）﹣1009； （4）44． 【解答】解：（1）设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b， 则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5． 所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21． 故答案为：2，5，21； （2）设30﹣x＝a，x﹣20＝b，则ab＝﹣10，a+b＝10， ∴（30﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×（﹣10）＝120； 故答案为：120． （3）设2023﹣x＝m，x﹣2021＝n，则m2+n2＝2022，m+n＝2， ∵（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴4＝2022+2mn， ∴mn＝﹣1009，即（2023﹣x）（x﹣2021）＝﹣1009； （4）由题意得：DE＝x﹣1，DG＝x﹣3，则（x﹣1）（x﹣3）＝10， 整理得，x2﹣4x＝7， ∴S阴＝（x﹣1+x﹣3）2＝4（x2﹣4x+4）＝4（x2﹣4x）+16＝4×7+16＝44． 故答案为：44． 六．完全平方式（共3小题） 20．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】B 【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式， ∴2m＝±6， ∴m＝±3， 故选：B． 21．x2+kx+9是完全平方式，则k＝　±6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍， 故k＝±6． 22．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为 　8　张． 【答案】8． 【解答】解：∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，即S大正方形＝SA+SB+2SC， ∴要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片． ∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+2b2+8ab，即S矩形＝6SA+2SB+8SC， ∴若要拼一个长为3a+b，宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张， 故答案为：8． 七．平方差公式（共1小题） 23．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（2x﹣3y）（3y﹣2x） B．（﹣2x+3y）（﹣2x﹣3y） C．（x﹣2y）（2y+x） D．（x+3y）（x﹣3y） 【答案】A 【解答】解：（2x﹣3y）（3y﹣2x）不能利用平方差公式计算， 故选：A． 八．平方差公式的几何背景（共3小题） 24．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　） A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1） 【答案】B 【解答】解：由图可知， 图1的面积为：x2﹣12， 图2的面积为：（x+1）（x﹣1）， 所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）． 故选：B． 25．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为 　3m+6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：依题意得剩余部分为 （2m+3）2﹣（m+3）2＝4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9＝3m2+6m， 而拼成的矩形一边长为m， ∴另一边长是（3m2+6m）÷m＝3m+6． 方法2，根据拼接前后图形边长的特点，可得拼接后的长方形的一边长为（2m+3）+（m+3）＝3m+6； 故答案为：3m+6． 26．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式； （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）； （2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）+1 ＝（216﹣1）+1 ＝216． 九．整式的除法（共2小题） 27．计算：（3xy+y2）÷y＝　3x+y　． 【答案】3x+y． 【解答】解：（3xy+y2）÷y＝3x+y， 故答案为：3x+y． 28．已知长方形的面积为6a2+18ab，长为3a，则该长方形的周长为 　10a+12b　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，得长方形的宽：（6a2+18ab）÷3a＝2a+6b， 长方形的周长：2（3a+2a+6b） ＝10a+12b， 故答案为：10a+12b． 一十．因式分解的意义（共2小题） 29．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．6a2b＝2a•3ab B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．m2﹣m﹣3＝m（m﹣1）﹣3 D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 【答案】D 【解答】解：A、等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故不符合题意； B、等式从左到右的变形，属于整式的乘法，不属于因式分解，故不符合题意； C、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； D、等式从左到右的变形，属于因式分解，故符合题意， 故选：D． 30．如果把多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣10）（x+n），那么m＝　﹣20　，n＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：x2﹣8x+m＝（x﹣10）（x+n）＝x2+（n﹣10）x﹣10n ∴n﹣10＝﹣8，﹣10n＝m 解得m＝﹣20，n＝2； 故应填﹣20，2． 一十一．公因式（共1小题） 31．多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是（　　） A．5mx2 B．﹣5mx3 C．mx D．﹣5mx 【答案】D 【解答】解：﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是﹣5mx， 故选：D． 一十二．因式分解-提公因式法（共2小题） 32．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（　　） A．14 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4， ∴2（a+b）＝10，ab＝4， ∴a+b＝5， 则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20． 故选：C． 33．已知x﹣y＝，xy＝，则xy2﹣x2y的值是（　　） A．﹣ B．1 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵x﹣y＝，xy＝， ∴xy2﹣x2y＝﹣xy（x﹣y）＝﹣×＝﹣． 故选：A． 一十三．因式分解的应用（共2小题） 34．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0，∴n＝2，m＝2． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）a2+b2+6a﹣2b+10＝0，则a＝　﹣3　，b＝　1　． （2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值． （3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：由：a2+b2+6a﹣2b+10＝0，得： （a+3）2+（b﹣1）2＝0， ∵（a+3）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴a+3＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣3，b＝1． 故答案为：﹣3； 1． （2）由x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0得： （x﹣y）2+（y+4）2＝0 ∴x﹣y＝0，y+4＝0， ∴x＝y＝﹣4 ∴xy＝16． 答：xy的值为16． （3）由2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0得： 2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0， ∴a＝1，b＝4； 已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知c＝4， ∴△ABC的周长为9． 35．综合与实践． 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． （1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为（a+b）的大正方形，通过用不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　． （2）图3是由若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，观察图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 　（a+3b）（a+2b）　． （3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若Q＝S1﹣S2，且Q为定值，则a与b有什么关系？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方法1：大正方形的面积为（a+b）2， 方法2：图2中四部分的面积和为：a2+2ab+b2， 因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）由题意得，图3中长方形的长是a+3b，宽是a+2b， ∴a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）． 故答案为：（a+3b）（a+2b）． （3）设MN长为x． ∵S1＝a[x﹣（a+b）]＝ax﹣a2﹣ab，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab， ∴Q＝S1﹣S2＝（a﹣3b）x﹣a2+2ab， 由题意得，若Q为定值，则Q将不随x的变化而变化， 可知当a﹣3b＝0时，即a＝3b时，Q＝﹣a2+2ab为定值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/12 15:54:16；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 $$