专题04 勾股定理（考题猜想,易错必刷30题6种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题04勾股定理（易错必刷30题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理 · 勾股定理的证明 · 勾股定理的逆定理 · 勾股数 · 勾股定理的应用 · 平面展开-最短路径问题 一．勾股定理（共16小题） 1．下列说法中正确的是（　　） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2 2．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（　　） A．1 B． C． D．2 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3﹣ D． 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 5．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 7．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（　　） A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm 8．如图，正方形ABCD的面积S1＝2，以CD为斜边，向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2018的值为（　　） A．（）2016 B．（）2017 C．（）2016 D．（）2017 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DCE＝（　　） A．75° B．90° C．120° D．135° 10．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　 　． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　 　． 12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？ 13．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发4秒后，求PQ的长； （2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？ （3）当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值． 14．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高． （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长． 16．【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　 　； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　 　； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　 　； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 二．勾股定理的证明（共2小题） 17．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　 　． 18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I． （1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2． 三．勾股定理的逆定理（共1小题） 19．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求该三角形的腰的长度． 四．勾股数（共2小题） 20．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 21．下列各组数是勾股数的一组是（　　） A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D． 五．勾股定理的应用（共5小题） 22．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 23．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 24．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？ 25．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 26．曹王社会实践活动中，很多人带了拉杆箱．如图是桂老师带的拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求出桂老师手的位置C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 六．平面展开-最短路径问题（共4小题） 27．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．5cm B．25cm C．2cm D．4cm 28．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是　 　cm． 29．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　 　米．（精确到0.01米） 30．如图，要从A点（圆柱底面一点）环绕圆柱形侧面，建梯子到A点正上方的B点，若圆柱底面周长为12m，高AB为5m，则所建梯子最短需　 　m． $$专题04勾股定理（易错必刷30题6种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 勾股定理 · 勾股定理的证明 · 勾股定理的逆定理 · 勾股数 · 勾股定理的应用 · 平面展开-最短路径问题 一．勾股定理（共16小题） 1．下列说法中正确的是（　　） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2 D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c2 【答案】C 【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误； B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误； C、∠C＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确； D、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2+c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误； 故选：C． 2．如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE， ∴AC＝＝＝； AD＝＝＝； AE＝＝＝2． 故选：D． 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　　） A． B．0.8 C．3﹣ D． 【答案】C 【解答】解：如图，连接AD，则AD＝AB＝3， 由勾股定理可得，Rt△ADE中，DE＝＝， 又∵CE＝3， ∴CD＝3﹣， 故选：C． 4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（　　） A．18cm2 B．36cm2 C．72cm2 D．108cm2 【答案】D 【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积． 即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积． ∵G的面积是62＝36cm2， ∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2． 故选：D． 5．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【解答】解：（1） △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24． 故选：C． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3， ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝＝4， ∵A'B+A'C≥BC， ∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1， ∴A'B的最小值为1， 故选：B． 7．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（　　） A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm 【答案】C 【解答】解：当3和4是直角边时，第三边是＝5； 当4是斜边时，第三边是＝．故选C． 8．如图，正方形ABCD的面积S1＝2，以CD为斜边，向外作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2018的值为（　　） A．（）2016 B．（）2017 C．（）2016 D．（）2017 【答案】A 【解答】解：∵S1＝2，则正方形ABCD的边长为， S2＝（×）2＝1＝（）2﹣2， S3＝（1×）2＝＝（）3﹣2， S4＝（×）2＝＝（）4﹣2， …… S2018＝（）2018﹣2＝（）2016， 故选：A． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△CDE的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DCE＝（　　） A．75° B．90° C．120° D．135° 【答案】D 【解答】解：连接BD， 由题意得：BD2＝12+22＝5， CD2＝12+22＝5， BC2＝12+32＝10， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠BDC＝90°， ∵BD＝CD＝， ∴∠DBC＝∠DCB＝45°， ∴∠ACB+∠DCE＝180°﹣∠DCB＝135°， 故选：D． 10．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　70　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示： 则S1＝π（）2＝，S2＝π（）2＝，S3＝π（）2＝． 因为a2+b2＝c2，所以+＝． 即S1+S2＝S3． 所以S3＝70． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝5，BC＝12，则AB2+CD2＝　169　． 【答案】169． 【解答】解：∵BD⊥AC， ∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°， 在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得， BO2+CO2＝CB2，OD2+OA2＝AD2， ∴BO2+CO2+OD2+OA2＝25+144， ∵AB2＝BO2+AO2，CD2＝OC2+OD2， ∴AB2+CD2＝169； 故答案为：169． 12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP． （1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）； （2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值； （3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8， 在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2． 答：AP的长为2． （2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16， 根据勾股定理，得AB＝＝＝8 若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4； 若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16； 若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5． 答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5． （3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示： 则∠AED＝∠PED＝90°， ∴∠PED＝∠ACB＝90°， ∴PD平分∠APC， ∴∠EPD＝∠CPD， ， ∴△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2， 解得：t＝5； ②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示： 同①得：△PDE≌△PDC（AAS）， ∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16， ∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AE＝4， ∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12， 在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2， 解得：t＝11； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD． 13．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发4秒后，求PQ的长； （2）从出发几秒钟后，△PQB第一次能形成等腰三角形？ （3）当点Q运动到CA上时，求能使△BCQ是等腰三角形时点Q的运动时间，请直接写出t的值． 【答案】（1）4cm； （2）； （3）t为11或12或13.2． 【解答】解：（1）∵运动时间为4秒， ∴BQ＝2×4＝8（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣1×4＝12（cm）， 在Rt△PQB中，根据勾股定理得： PQ＝＝＝4（cm）； （2）由题意可知AP＝t cm，BQ＝2t cm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t， 解得t＝． ∴出发秒后△PQB第一次能形成等腰三角形； （3）①当CQ＝BQ时，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10cm， ∴BC+CQ＝22cm， ∴t＝22÷2＝11． ②当CQ＝BC时，如图2所示， 则BC+CQ＝24cm， ∴t＝24÷2＝12． ③当BC＝BQ时，如图3所示， 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE＝＝＝（cm）， ∴CE＝＝＝（cm）， ∴CQ＝2CE＝14.4（cm）， ∴BC+CQ＝26.4（cm）， ∴t＝26.4÷2＝13.2． 综上所述：当t为11或12或13.2时，△BCQ为等腰三角形． 14．问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论． （3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由． （4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，理由见解答； （4）30． 【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）S1+S2＝S3； （3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c． ∴S2＝π2＝，S3＝π（）2＝，S1＝π（）2＝， ∵+＝， ∴S1+S2＝S3； （4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． ∴阴影部分的面积＝直角三角形面积 ∴阴影部分的面积＝5×12÷2＝30． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高． （1）求AB的长； （2）求△ABC的面积； （3）求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝25； （2）△ABC的面积＝×BC×AC＝150； （3）由三角形的面积公式可得，×AB×CD＝150 则CD＝＝12． 16．【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．设AD＝a，BD＝b，CD＝m． （1）请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝（a+b）2； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示AC2+BC2，则AC2+BC2＝　a2+b2+2m2　； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则m＝　　； 亮说：可以用含a，b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为 　≥m　； （2）若Rt△ABC的面积为6，求m的最大值． 【迁移应用】 （3）如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为32平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】（1）a2+b2+2m2，，≥m； （2）m的最大值为； （3）栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°． ∴AC2＝AD2+CD2＝a2+m2，BC2＝CD2+BD2＝m2+b2． ∴AC2+BC2＝a2+b2+2m2． ∵AC2+BC2＝（a+b）2， ∴a2+b2+2m2＝a2+b2+2ab． 整理得：m2＝ab． ∴m＝（取正值）． 设CE是Rt△ABC的斜边上的中线． ①若△ABC为一般的直角三角形， 则CE＞CD． ②若△ABC为等腰直角三角形． 则CE＝CD． 综上CE≥CD． ∴≥m． 故答案为：a2+b2+2m2，，≥m； （2）∵Rt△ABC的面积为6， ∴AB•CD＝6． ∴•m＝6． ∵≥m， ∴m2≤6． ∵m＞0， ∴m≤． ∴m的最大值为； （3） 设图2中与墙平行的边AB长x m，垂直于墙的边AD长y m． ∵面积为32平方米， ∴xy＝32． 由（1）得：≥， ∴a+b≥2． ∴2x+4y≥2． ∴2x+4y≥2×． ∴2x+4y≥32． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为32米． 二．勾股定理的证明（共2小题） 17．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝　48　． 【答案】48． 【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则： S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2， 且：a2+b2＝EF2＝16， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16 ＝2×16+16 ＝48． 故答案为：48． 18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH⊥AB于H，延长CH交MN于点I． （1）如图（1）若AC＝3，BC＝2，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC2+BC2＝AB2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2， ∴AB＝＝， ∴， 即××＝×30×CH＝， ∴CH＝， ∴AH＝， ∴S四边形AHIN＝AH•AN＝18，， ∴四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）∵四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． ∴AC2＝AH•AB， 同理可得：BC2＝BH•AB， ∴AC2+BC2＝AH•AB+BH•AB＝AB2． 三．勾股定理的逆定理（共1小题） 19．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求该三角形的腰的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm， ∴满足BD2+CD2＝BC2， ∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°， 即CD⊥AB； （2）设腰长为x，则AD＝x﹣12， 由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2， 即：（x﹣12）2+162＝x2， 解得x＝， ∴腰长为cm． 四．勾股数（共2小题） 20．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 21．下列各组数是勾股数的一组是（　　） A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D． 【答案】A 【解答】解：A、∵72+242＝252， ∴7、24、25是一组勾股数，故本选项符合题意； B、∵（32）2+（42）2≠（52）2， ∴32、42、52不是一组勾股数，故本选项不符合题意； C、∵1.5和2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是一组勾股数，故本选项不符合题意； D、∵和不是正整数， ∴、、不是一组勾股数，故本选项不符合题意； 故选：A． 五．勾股定理的应用（共5小题） 22．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【答案】D 【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10（m）， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m）， 故选：D． 23．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m 【答案】A 【解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：A． 24．如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设BD高为x，则从B点爬到D点再直线沿DA到A点，走的总路程为x+AD，其中AD＝ 而从B点到A点经过路程（20+10）m＝30m， 根据路程相同列出方程x+＝30， 可得＝30﹣x， 两边平方得：（10+x）2+400＝（30﹣x）2， 整理得：80x＝400， 解得：x＝5， 所以这棵树的高度为10+5＝15m． 故答案为：15m． 25．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132， 即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°， 同理，∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD ＝×3×4+×5×12 ＝6+30 ＝36． 答：这块钢板的面积等于36． 26．曹王社会实践活动中，很多人带了拉杆箱．如图是桂老师带的拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求出桂老师手的位置C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°， 设A'F＝x，则AF＝55+x， 由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65， ∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2， Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2， ∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2， 解得x＝25， ∴A'F＝25， ∴CF＝＝60， 又∵EF＝AD＝3， ∴CE＝60+3＝63， ∴桂老师手的位置C离地面的距离为63cm． 六．平面展开-最短路径问题（共4小题） 27．如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为6cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（　　） A．5cm B．25cm C．2cm D．4cm 【答案】D 【解答】解：如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，BD＝6+10＝16（cm），AD＝20cm， 由勾股定理得：AB＝＝＝＝4（cm）； 如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，AC＝10+20＝30（cm），BC＝6cm， 由勾股定理得：AB＝＝＝＝2（cm）； 如图所示，将长方体展开，连接AB， 根据题意可知，BE＝20+6＝26（cm），AE＝10cm， 由勾股定理得：AB＝＝＝＝2（cm）； 因为＜＜， 所以需要爬行的最短距离是4cm． 故选：D． 28．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是　　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示， 路径一：AB＝＝13； 路径二：AB＝＝； 路径三：AB＝＝； ∵＞13＞， ∴cm为最短路径． 29．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　2.60　米．（精确到0.01米） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2＝2.4米；宽为1米． 于是最短路径为：＝2.60米． 故答案为：2.60． 30．如图，要从A点（圆柱底面一点）环绕圆柱形侧面，建梯子到A点正上方的B点，若圆柱底面周长为12m，高AB为5m，则所建梯子最短需　13　m． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把圆柱的侧面展开得到矩形ABCD， 则AC＝12m，BC＝5m， 由勾股定理得，AB＝＝13m， 故答案为：13． $$