专题03 全等三角形（考题猜想，易错必刷35题10种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题03全等三角形（易错必刷35题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全等三角形的性质 · 全等三角形的判定 · 全等三角形的判定与性质 · 角平分线的性质 · 等腰三角形的性质 · 等腰三角形的判定 · 等腰三角形的判定与性质 · 等边三角形的性质 · 线段垂直平分线的性质 · 等边三角形的判定与性质 一．全等三角形的性质（共1小题） 1．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　1或4　s． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： ∵AB＝20cm，AE＝6cm，BC＝16cm， ∴BE＝14cm，BP＝2tcm，PC＝（16﹣2t）cm， 当△BPE≌△CQP时，则有BE＝PC，即14＝16﹣2t，解得t＝1， 当△BPE≌△CPQ时，则有BP＝PC，即2t＝16﹣2t，解得t＝4， 故答案为：1或4． 二．全等三角形的判定（共6小题） 2．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．AD＝AE B．∠AEB＝∠ADC C．BE＝CD D．AB＝AC 【答案】B 【解答】解：A、根据AAS（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确； C、根据AAS（∠A＝∠A，∠B＝∠C，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； D、根据ASA（∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误； 故选：B． 3．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：以BC为公共边的三角形有3个，以AB为公共边的三角形有0个，以AC为公共边的三角形有1个， 共3+0+1＝4个， 故选：D． 4．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB， 在△OMD与△CEN中 ， ∴△OMD≌△CEN（SSS）； ∴∠O＝∠NCB， ∴CN∥OA． 故选：B． 5．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　3厘米/秒或厘米/秒　时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t， ∵∠B＝∠C， ∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等， 此时，5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒； ②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等， 此时，3t＝8﹣3t， 解得t＝， ∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒； 故答案为：3厘米/秒或厘米/秒． 6．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　0或4或8或12　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当P在线段BC上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝6﹣2＝4， ∴点P的运动时间为4÷1＝4（秒）； ②当P在线段BC上，AC＝BN时，△ACB与△NBP全等， 这时BC＝PB＝6，CP＝0，因此时间为0秒； ③当P在BQ上，AC＝BP时，△ACB与△PBN全等， ∵AC＝2， ∴BP＝2， ∴CP＝2+6＝8， ∴点P的运动时间为8÷1＝8（秒）； ④当P在BQ上，AC＝NB时，△ACB与△NBP全等， ∵BC＝6， ∴BP＝6， ∴CP＝6+6＝12， 点P的运动时间为12÷1＝12（秒）， 故答案为：0或4或8或12． 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝　2或或14　秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当0≤t＜时，点M在AC上，点N在BC上，如图①， 此时有AM＝t，BN＝3t，AC＝7，BC＝11． 当MC＝NC即7﹣t＝11﹣3t，也即t＝2时， ∵ME⊥l，NF⊥l，∠ACB＝90°， ∴∠MEC＝∠CFN＝∠ACB＝90°． ∴∠MCE＝90°﹣∠FCN＝∠CNF． 在△MEC和△CFN中， ． ∴△MEC≌△CFN（AAS）． ②当≤t≤6时，3t﹣11＝7﹣t t＝， ③6＜t≤7时，不存在， ④当7＜t＜18时，点N停在点A处，点M在BC上，如图②， 当MC＝NC即t﹣7＝7，也即t＝14时， 同理可得：△MEC≌△CFN． 综上所述：当t等于2或14秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 故答案为：2或或14． 三．全等三角形的判定与性质（共13小题） 8．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥△PCQ是等边三角形；⑦点C在∠AOE的平分线上，其中正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：如图1所示： ∵△ABC和△CDE是正三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°， 又∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD， ∠BCE＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∴结论①正确； ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAP＝∠CBQ， 又∵∠ACB+∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠BCD＝60°， 在△ACP和△BCQ中， ， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴AP＝BQ，PC＝QC， ∴△PCQ是等边三角形， ∴∠CPQ＝∠CQP＝60°， ∴∠CPQ＝∠ACB＝60°， ∴PQ∥AE， ∴结论②、③、⑥正确； ∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BCE， 又∵∠ADC+∠DQO+∠DOQ＝180°， ∠QCE+∠CQE+∠QEC＝180°， ∠DQO＝∠CQE， ∴∠DOQ＝∠QCE＝60°， 又∵∠DOQ＝∠AOB， ∴∠AOB＝60°， ∴结论⑤正确； 若DE＝DP， ∵DC＝DE， ∴DP＝DC， ∴∠PCD＝∠DPC， 又∵∠PCD＝60°， ∴∠DPC＝60°与△PCQ是等边三角形相矛盾，假设不成立， ∴结论④错误； 过点C分别作CM⊥AD，CN⊥BE于点M、N两点， 如图2所示： ∵CM⊥AD，CN⊥BE， ∴∠AMC＝∠BNC＝90°， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（AAS）， ∴CM＝CN， 又∵OC在∠AOE的内部， ∴点C在∠AOE的平分线上， ∴结论⑦正确； 综合所述共有6个结论正确． 故选：D． 9．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：延长AP交BC于点D， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠ABP＝∠DBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠DPB＝90°， ∵BP＝BP， ∴△BAP≌△BDP（ASA）， ∴AP＝DP， ∴△APC的面积＝△DPC的面积， ∵△BPC的面积＝12cm2， ∴△BPD的面积+△CPD的面积＝12， ∴△ABP的面积+△APC的面积＝12， ∴△ABC的面积＝24cm2， 故选：A． 10．如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝AB．正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①② 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC+∠ACB＝90°， ∵∠EBC+∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝∠ACB， ∴△BDF≌△ADC（AAS）， ∴DF＝CD， ∴∠FCD＝∠DFC＝45°， 故①正确； ∵BE⊥AC， ∴AE≠EC， 故②不正确； ∵＝＝， ∴S△ABF：S△AFC＝AD：FD， 故③正确； ∵△BDF≌△ADC， ∴BF＝AC ∵BF＝2EC， ∴AC＝2EC， ∴E为AC的中点， ∵BE⊥AC， ∴BE为线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC， 故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：A． 11．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝　3.5　． 【答案】3.5． 【解答】解：延长AE交BC于点F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABF， ∵BE⊥AF， ∴∠AEB＝∠BEF＝90°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE＝EF，AB＝BF＝5， ∵BC＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝12﹣5＝7， ∵∠BEF＝90°， ∴∠EBF+∠AFB＝90°， ∴∠ABC+∠AFB＝90°， ∵∠ABC+4∠C＝180°， ∴∠ABC+2∠C＝90°， ∴∠AFB＝2∠C， ∵∠AFB是△AFC的一个外角， ∴∠AFB＝∠C+∠CAF， ∴∠C＝∠CAF， ∴AF＝CF＝7， ∴AE＝EF＝AF＝3.5， 故答案为：3.5． 12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AC⊥BC于点C，AB＝5，CD＝3，则BC＝　1.4　． 【答案】1.4． 【解答】解：延长AD与BC相交于点E， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠EDB＝90°， ∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∴AB＝BE＝5，AD＝DE， ∵AC⊥BC， ∴∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴AD＝CD＝DE＝AE＝3， ∴AE＝2CD＝6， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝4， ∵△ABE的面积＝BE•AC＝AE•BD， ∴BE•AC＝AE•BD， ∴5AC＝6×4， 解得：AC＝4.8， 在Rt△ABC中，BC＝＝＝1.4， 故答案为：1.4． 13．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F．若△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，则△BCF的面积为 　6　． 【答案】6． 【解答】解：∵△ACE的面积为12，△ADE的面积为3， ∴△ACD的面积＝△ACE的面积﹣△ADE的面积＝12﹣3＝9， ∵CD为AB边上的中线， ∴AD＝DB， ∴△ACD的面积＝△BCD的面积＝9， ∵AE⊥CE，BF⊥CD， ∴∠AED＝∠BFD＝90°， ∵∠ADE＝∠BDF， ∴△ADE≌△BDF（AAS）， ∴△AED的面积＝△BDF的面积＝3， ∴△BCF的面积＝△BCD的民间﹣△BDF的面积＝9﹣3＝6， 故答案为：6． 14．如图BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB于F，下列结论： ①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BDC＝180°； ③AD＝AE＝EC；④AB∥CE； ⑤BA+BC＝2BF．其中正确的是　①②③⑤　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 又∵BD＝BC，BD＝BC， ∴△ABD≌△EBC（SAS），即①正确； ②∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE+∠BDC＝∠BDA+∠BDC＝180°，即②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC， ∴AD＝AE＝EC，即③正确； ④根据已知条件，可得AB∥CE不一定成立，故④错误； ⑤如图，过E作EG⊥BC于G点， ∵E是BD上的点， ∴EF＝EG， 在Rt△BEG和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG＝BF， 在Rt△CEG和Rt△AFE中， ， ∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，即⑤正确． 故答案为：①②③⑤ 15．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC， 在△OBD和△OCD中， ， ∴△OBD≌△OCD（SAS）， ∴OB＝OC， 又∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， 又∵∠BAC＝120°， ∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°； （2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示： ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠HAO＝∠CAD＝60°， 又∵OH⊥BP， ∴∠OHA＝90°， ∴∠HOA＝30°， ∴AO＝2AH， 又∵BO＝PO，OH⊥BP， ∴BH＝PH， 又∵HP＝AP+AH， ∴BH＝AP+AH， 又∵AB＝BH+AH， ∴AB＝AP+2AH， 又∵AB＝AC，AO＝2AH， ∴AC＝AP+AO． 16．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 　90　度，线段AD与BE的数量关系为 　AD＝BE　（用几何语言填写）． （2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系． 【答案】（1）90；AD＝BE； （2）AB⊥BE，理由见解答． 【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CD＝CE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠CBE+∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠CBE+∠DAB+∠ABC）＝90°， 故答案为：90；AD＝BE； （2）AB⊥BE， 理由：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ABC＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴AB⊥BE． 17．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：如图，过点P作PE⊥AB于E， ∵∠1＝∠2，PD⊥BC， ∴PD＝PE， 在Rt△BPE和Rt△BPD中， ， ∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL）， ∴BE＝BD， ∵AB+BC＝2BD， ∴BE﹣AE+BD+CD＝2BD， ∴AE＝CD， 在△APE和△CPD中， ， ∴△APE≌△CPD（SAS）， ∴∠BCP＝∠PAE， ∵∠BAP+∠PAE＝180°， ∴∠BAP+∠BCP＝180°． 18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长． 【答案】（1）证明详情见上面；（2）3． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°， 在Rt△EBD与Rt△FCD中 ， ∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）； ∴DE＝DF， 在Rt△AED与Rt△AFD中 ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）； （2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD， ∴AE＝AF， ∴AF＝12+BE， ∵AC＝AF+FC ∴AC＝AB+BE+FC， ∴18＝12+BE+CF， ∵BE＝CF． ∴18＝12+2BE， ∴BE＝3． 19．已知：四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AD＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且BD平分∠ABC，过点A作AH⊥BD，垂足为H． （1）求证：∠ADB＝∠ACB； （2）判断线段BH、DH、BC之间的数量关系，并证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵∠ADC＝60°，AD＝CD， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠DAO＝60°，AD＝AC， ∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBO＝60°， ∴∠CBO＝∠ABD＝60°， ∴∠DAO＝∠CBO＝60°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∠ADB＝180°﹣∠DAO﹣∠AOD， ∠ACB＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC， ∴∠ADB＝∠ACB． （2）结论：DH＝BH+BC． 证明：如图，在HD上截取HE＝BH． ∵AH⊥BD， ∴∠AHB＝∠AHE＝90°， ∵AH＝AH，BH＝EH， ∴△ABH≌△AEH（SAS）， ∴AB＝AE，∠AEH＝∠ABH＝60°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEH＝120°， ∴∠ABC＝∠AED＝120°， ∵AD＝AC，∠ADB＝∠ACB， ∴△ABC≌△AED（AAS）， ∴BC＝ED， ∵DH＝HE+ED， ∴DH＝BH+BC． 20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发． （1）经过2秒后，求证： ①△BPD≌△CQP； ②∠DPQ＝∠B； （2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ为等腰三角形？ 【答案】（1）①②证明过程见解答； （2）经过s或s时，△CPQ是等腰三角形． 【解答】（1）证明：①当P，Q两点分别从B，A两点同时出发运动2秒时， 有BP＝2×2＝4cm，AQ＝4×2＝8cm， ∴CP＝BC﹣BP＝10﹣4＝6cm， CQ＝AC﹣AQ＝12﹣8＝4cm， ∵D是AB的中点， ∴BD＝AB＝×12＝6cm， ∴BP＝CQ，BD＝CP， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS） ②∵△BPD≌△CQP， ∴∠DPB＝∠PQC， ∵∠DPB+∠DPQ＝∠PQC+∠C， ∴∠DPQ＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠DPQ＝∠B； （2）设当P，Q两点同时出发运动t秒时， 有BP＝2t（cm），AQ＝4t，CP＝（10﹣2t）cm，CQ＝（12﹣4t）（cm）， ∴PQ＝18﹣（10﹣2t）﹣（ 12﹣4t）＝（6t﹣4）（cm）， ∴t的取值范围是0≤t≤3， 要使△CPQ是等腰三角形，则可分为三种情况讨论： ①当CP＝CQ时，则有10﹣2t＝12﹣4t， 解得：t＝1，此时PQ的长度为2cm，不符合题意， ②当PQ＝PC时，则有6t﹣4＝10﹣2t， 解得：t＝； ∴CP＝PQ＝cm，CQ＝5cm， 此时满足△CPQ的周长为18cm； ③当QP＝QC时，则有2（12﹣4t）+（10﹣2t）＝18， 解得：t＝； ∴QP＝QC＝，PC＝， 此时满足△CPQ的周长为18cm； 综上所述，经过s或s时，△CPQ是等腰三角形． 四．角平分线的性质（共4小题） 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【解答】解：作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝4， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30， 故选：B． 22．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】A 【解答】解：三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置应该在△ABC三个角的角平分线的交点处，可选的位置有1处， 故选：A． 23．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积　11　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC， ∴DF＝DH， 在Rt△FDE和Rt△HDG中， ， ∴Rt△FDE≌Rt△HDG（HL）， 同理，Rt△FDA≌Rt△HDA（HL）， 设△EDF的面积为x，由题意得， 48﹣x＝26+x， 解得x＝11， 即△EDF的面积为11， 故答案为：11． 24．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】图形见解答内容． 【解答】解：如图： 点C即为所求作的点． 五．线段垂直平分线的性质（共3小题） 25．△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　） A．6 B．14 C．6或14 D．8或12 【答案】C 【解答】解：∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴AD＝BD，AE＝EC， 分两种情况： 当BD与CE无重合时， ∵BC＝10，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6， 当BD与CE有重合时， ∵BC＝10，DE＝4， ∴AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14， 综上所述：AD+AE的值为：6或14， 故选：C． 26．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　10　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G， ∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°， ∴∠ACE＝∠ECG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BC， ∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC， ∵CF⊥EF，CG⊥EG， ∴CF＝CG， 在Rt△AEF和Rt△BEG中， ， ∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL）， ∴AF＝BG， 设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x， ∴12﹣x＝8+x， 解得x＝2， ∴AF＝12﹣2＝10． 故答案为：10． 27．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　10°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠B＝40°，∠C＝45°， ∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°， ∴∠BAD+∠CAE＝85°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°， 故答案为：10° 六．等腰三角形的性质（共4小题） 28．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 【答案】B 【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去． 当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm． 故选：B． 29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　） A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【答案】D 【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°； 当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°． 故选：D． 30．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4， ∴它的“优美比”＝＝； 当等腰三角形的底边长为8时， ∵等腰△ABC的周长为20， ∴它的腰长＝×（20﹣8）＝6， ∴它的“优美比”＝＝； 综上所述：它的“优美比”为或， 故选：D． 31．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　） A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70° 【答案】D 【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时， ∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°， ∴底角＝（90°﹣50°）＝20°， ②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时， ∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°， ∴底角＝[180°﹣（90°﹣50°）]＝70°． 故选：D． 七．等腰三角形的判定（共1小题） 32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】B 【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置； 以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置； 作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点． 故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选：B． 八．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 33．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）①说明过程见解答； ②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 九．等边三角形的性质（共1小题） 34．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是经过点B的直线l上的两点（E，F位于点B的异侧），连接AE，CF．若BE＝2，BF＝4，则AE+CF的最小值为 　2　． 【答案】2． 【解答】解：以 BE 为边在l的上方作等边△BED，连接 CD，FD， ∴△BAE≌△BCD． ∴CD＝AE． ∴AE+CF＝CD+CF≥DF． ∴当点C在线段 DF 上时，AE+CF 取得最小值为 DF 的长． 过点D作DG⊥l于点G， ∴DG＝DB，BG＝BE＝1，FG＝BF+BG＝5． ∴DF＝＝2 ，即 AE+CF 的最小值为 2． 一十．等边三角形的判定与性质（共1小题） 35.如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC； 【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； （2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【答案】【问题解决】证明见解析过程； 【类比探究】（1）证明见解析过程； （2）FC＝CD+CE，理由见解析过程． 【解答】证明：【问题解决】 ∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠EDC＝60°，DE＝DF， ∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC， 即∠ABE＝∠CBF， 在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS） ∴AE＝CF； 【类比探究】（1）如图2，在CD上截取CH＝CE，连接EH， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°， ∴∠DEH＝∠FEC， 在△DEH和△FEC中， ， ∴△DEH≌△FEC（SAS）， ∴DH＝CF， ∴CD＝CH+DH＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE； 理由如下：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图3所示： ∵GD∥AB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． $$专题03全等三角形（易错必刷35题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全等三角形的性质 · 全等三角形的判定 · 全等三角形的判定与性质 · 角平分线的性质 · 等腰三角形的性质 · 等腰三角形的判定 · 等腰三角形的判定与性质 · 等边三角形的性质 · 线段垂直平分线的性质 · 等边三角形的判定与性质 一．全等三角形的性质（共1小题） 1．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　 　s． 二．全等三角形的判定（共6小题） 2．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．AD＝AE B．∠AEB＝∠ADC C．BE＝CD D．AB＝AC 3．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 5．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　 　时，能够使△BPE与△CQP全等． 6．如图，CA⊥BC，垂足为C，AC＝2cm，BC＝6cm，射线BM⊥BQ，垂足为B，动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN＝AB，随着P点运动而运动，当点P运动　 　秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等． 7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝　 　秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 三．全等三角形的判定与性质（共13小题） 8．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下七个结论： ①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°；⑥△PCQ是等边三角形；⑦点C在∠AOE的平分线上，其中正确的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9．如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若，则△ABC的面积等于（　　） A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．不能确定 10．如图：在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝AD：FD；④若BF＝2EC，则BC＝AB．正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①② 11．如图，在△ABC中，D为边AC上一点，且BD平分∠ABC，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC+4∠C＝180°，AB＝5，BC＝12，则AE＝　 　． 12．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AC⊥BC于点C，AB＝5，CD＝3，则BC＝　 　． 13．如图，在△ABC中，CD为AB边上的中线，过点A作CD的垂线交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD于点F．若△ACE的面积为12，△ADE的面积为3，则△BCF的面积为 　 　． 14．如图BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB于F，下列结论： ①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BDC＝180°； ③AD＝AE＝EC；④AB∥CE； ⑤BA+BC＝2BF．其中正确的是　 　． 15．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 16．（1）如图（1），△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE．则∠AEB的度数为 　 　度，线段AD与BE的数量关系为 　 　（用几何语言填写）． （2）如图（2），△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．若∠CAD＝30°，求AB与BE的位置关系． 17．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°． 18．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF． （1）求证：△ADE≌△ADF； （2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的长． 19．已知：四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AD＝CD，对角线AC、BD相交于点O，且BD平分∠ABC，过点A作AH⊥BD，垂足为H． （1）求证：∠ADB＝∠ACB； （2）判断线段BH、DH、BC之间的数量关系，并证明． 20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段AC上由点A向点C以4cm/s的速度运动．若点P、Q两点分别从点B、A同时出发． （1）经过2秒后，求证： ①△BPD≌△CQP； ②∠DPQ＝∠B； （2）若△CPQ的周长为18cm，问经过几秒钟后，△CPQ为等腰三角形？ 四．角平分线的性质（共4小题） 21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 22．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 23．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为48和26，求△EDF的面积　 　． 24．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 五．线段垂直平分线的性质（共3小题） 25．△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　） A．6 B．14 C．6或14 D．8或12 26．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 　． 27．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　． 六．等腰三角形的性质（共4小题） 28．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（　　） A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm 29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　） A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 30．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　） A． B． C．或2 D．或 31．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的底角的度数为（　　） A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70° 七．等腰三角形的判定（共1小题） 32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 八．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 33．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 九．等边三角形的性质（共1小题） 34．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是经过点B的直线l上的两点（E，F位于点B的异侧），连接AE，CF．若BE＝2，BF＝4，则AE+CF的最小值为 　 　． 一十．等边三角形的判定与性质（共1小题） 35．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． $$