第5章 二次函数(最值问题)（同步提升练习） 2024—2025学年苏科版数学九年级下册

2024-2025学年苏科版数学九年级下册 第5章 二次函数 (最值问题) （同步提升练习） （满分130分，时间120分钟） 1、 选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3） C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3 2.当x≥2时，二次函数y＝x2﹣2x﹣3有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4 3.对于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 当时，y随x增大而减小 C. 函数最小值为﹣2 D. 顶点坐标为（1，﹣2） 4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象与性质，下列说法正确的是（　　） A．对称轴是直线x＝1，最小值是2 B．对称轴是直线x＝1，最大值是2 C．对称轴是直线x＝﹣1，最小值是2 D．对称轴是直线x＝﹣1，最大值是2 5.若二次函数的最小值是2，则的值是　　 A．4 B．3 C． D．4或 6.已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4 7.已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8.如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 2、 填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.二次函数的最小值为____． 10.已知函数，当时，函数的最大值为_________。 11. 若抛物线有最小值，则常数m的值为__________． 12.如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于　　． 13.已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是_____． 14.已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为 　　． 15.关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是　　． 16.二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为　　． 三、解答题（本题共11小题，共82分） 17. 把 的图象向上平移2个单位. （1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴； （2）画出平移后的函数图象； （3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值. 18.已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）． （1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式． （2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值． （3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值． 19.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 20.如图，经过原点的抛物线与轴交于另一点． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）在轴上求一点，使的周长最小． 21. 如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． （1）试写出的面积与之间的函数表达式； （2）当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 22.已知二次函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（3，0），且对称轴为直线x＝1． （1）求b+c的值． （2）当﹣4≤x≤3时，求y的最大值． （3）平移抛物线y＝x2+bx﹣c，使其顶点始终在二次函数y＝2x2﹣x﹣1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值． 23.知抛物线y＝﹣x2+bx+c如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，3）． （1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标． （2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0． （3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标． 24.已知二次函数y1＝ax2+bx+c，过（1，﹣32），在x＝﹣2时取到最大值，且二次函数的图象与直线y2＝x+1交于点P（m，0）． （1）求m的值； （2）求这个二次函数解析式； （3）求y1大于y2时，x的取值范围． 25.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点．点P是x轴上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式； (2)当PA+PB的值最小时，求点P的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q(Q与B不重合)，使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26.如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． （1）抛物线及直线的函数关系式； （2）设点时对称轴上的一点，求使的值最小时的的坐标； （3）若是抛物线上位于直线上方一个动点，求的面积的最大值． 27.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的动点，求MB+MC的最小值； （3）若点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，线段PQ是否存在最大值？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】A 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.【答案】-6 10.【答案】5 11. 【答案】2 12.【答案】7或15　 13.【答案】a≥1 14.【答案】或﹣4． 15.【答案】＜a＜﹣2 16.【答案】-3 三、解答题（本题共11小题，共82分） 17. 【答案】（1）y=x2+2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴； （2）；（3）x=0时，y有最大值，为2. 18.【答案】解：（1）函数y的表达式为y＝x2+x+． （2）x＝﹣1时，y＝（﹣1+2）2﹣＝0， 当x＝2时，y＝（2+2）2﹣＝3， ∴当﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是3，最小值0． （3）a的值是1或﹣8． 19.【答案】（1）（2，7）； （2）﹣2≤y≤7； （3）y＝﹣x2+2x+2． 20.【答案】（1），顶点的坐标是 （2）点的坐标为 21. 【答案】（1） （2）当时，的面积最大，最大值是． 22.【答案】解：（1）∵二次函数y＝x²+bx﹣c的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， ∵二次函数y＝x²+bx﹣c的图象经过点（3，0）， ∴9﹣6﹣c＝0， ∴c＝3， ∴b+c＝1； （2）当x＝﹣4时，y有最大值21； （3）当h时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值为． 23.【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，B（3，0）； （2）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0． （3）PA+PC的最小值为，此时点P的坐标为（1，2）． 24.【答案】解：（1）将（m，0）代入y2＝x+1得0＝m+1， 解得m＝﹣1． （2）由题意可得抛物线对称轴为直线x2， ∴b＝4a，y＝ax2+4ax+c， 把（1，﹣32），（﹣1，0）代入y＝ax2+4ax+c得， 解得， ∴y＝﹣4x2﹣16x﹣12． （3）令﹣4x2﹣16x﹣12＝x+1， 解得x＝﹣1或x， ∴抛物线与直线交点横纵标为﹣1和， 如图， ∴x＜﹣1时，y1大于y2． 25. 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4； （2） 当PA+PB的值最小时的点P的坐标为（，0）； （3）点Q的坐标为（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）． 26.【答案】（1）抛物线为，直线为 （2）点坐标为 （3）面积的最大值为 27.【答案】解：（1）将点A（﹣2，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2， ∴， 解得， ∴y＝x2+x﹣2； （2）∵A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴AM＝BM， ∴MB+MC≥AM+MC， 当A、C、M三点共线时，MB+MC的值最小，最小值为AC， 令x＝0，则y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∴AC＝2， ∴MB+MC的最小值为2； （3）线段PQ存在最大值，理由如下： 过点P作PE∥y轴交AC于E， 当PD最大时，△APC的面积最大，也就是PE最大， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x﹣2， 设P（t，t2+t﹣2），则E（t，﹣t﹣2）， ∴PE＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1， ∴当t＝﹣1时，PE有最大值， 此时P（﹣1，﹣2）． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$