专题03 图形的相似（考题猜想，易错必刷39题9种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题03图形的相似（易错必刷39题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 坐标与图形性质 · 三角形中位线定理 · 黄金分割 · 平行线分线段成比例 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的应用 · 位似变换 · 相似三角形的性质 一．坐标与图形性质（共1小题） 1．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 二．三角形中位线定理（共4小题） 2．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（　　） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 3．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形A7B7C7D7，那么四边形A7B7C7D7形的周长为　 　． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　 　.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　 　． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 三．黄金分割（共2小题） 6．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（　　） A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a 7．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 四．平行线分线段成比例（共9小题） 8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 10．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 11．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 12．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 13．如图，l1∥l2，AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，则AE：EC＝（　　） A．5：2 B．4：3 C．2：1 D．3：2 14．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 15．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为　 　． 16．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 五．相似三角形的性质（共2小题） 17．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（　　） A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对 18．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 六．相似三角形的判定（共7小题） 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 20．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　 　s时△APR∽△PRQ． 21．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为　 　． 22．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．当AB＝　 　时，△ABC与△ACD相似． 23．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 24．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停． （1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2； （2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似． 七．相似三角形的判定与性质（共12小题） 26．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 27．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 28．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　） A．2 B． C． D． 29．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 30．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②△ABE与△DCE的周长比； ③∠ADE＝∠ABC； ④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 31．如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝　 　cm． 32．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AD上任意一点，过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F，BF交AC于点G，连CE，下列结论正确的序号为　 　． ①AD平分∠BAC；②BE＝CE；③BE＝EG；④若BE＝3，GE＝2，则GF＝． 33．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝　 　． 34．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 35．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比． 36．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE． （1）求证：△ABE≌△ADE； （2）求证：EB2＝EF•EG； （3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长． 37．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 八．相似三角形的应用（共1小题） 38．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米） 九．位似变换（共1小题） 39．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） $$专题03图形的相似（易错必刷39题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 坐标与图形性质 · 三角形中位线定理 · 黄金分割 · 平行线分线段成比例 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的应用 · 位似变换 · 相似三角形的性质 一．坐标与图形性质（共1小题） 1．已知点M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M′到y轴的距离等于4，那么点M′的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） 【答案】B 【解答】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上， ∴M′的纵坐标y＝﹣2， ∵“M′到y轴的距离等于4”， ∴M′的横坐标为4或﹣4． 所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故选：B． 二．三角形中位线定理（共4小题） 2．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（　　） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【答案】A 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， 若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC， ∴S△ADE＝， 连接AM，根据题意，得S△ADM＝S△ADE＝S△ABC＝， ∵DE∥BC，DM＝BC， ∴DN＝BN， ∴DN＝BD＝AD． ∴S△DNM＝S△ADM＝， ∴S四边形ANME＝＝， ∴S△DMN：S四边形ANME＝：＝1：5． 故选：A． 3．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形A7B7C7D7，那么四边形A7B7C7D7形的周长为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据中位线的性质易知，A7B7＝A5B5；A5B5＝A3B3；A3B3＝A1B1；A1B1＝AC； 故可得A7B7＝×××AC＝； 同理可得：B7C7＝； 故四边形A7B7C7D7的周长是2×＝． 故答案为． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 　1.2　.若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 　3≤S≤4　． 【答案】1.2；3＜S≤4． 【解答】解：由题意，点D，E分别是AB，MB的中点， ∴DE是三角形ABM的中位线． ∴DE＝AM＝1.2． 如图， 设AM＝x， ∴DE＝AM＝x． 由题意得，DE∥AM，且DE＝AM， 又FG∥AM，FG＝AM， ∴DE∥FG，DE＝FG． ∴四边形DEFG是平行四边形． 由题意，GF到AC的距离是x，BC＝＝8， ∴DE边上的高为（4﹣x）． ∴四边形DEFG面积S＝2x﹣x2，＝﹣（x﹣4）2+4． ∵2.4＜x≤6， ∴3≤S≤4． 故答案为：1.2；3≤S≤4． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点． （1）求证：FG＝FH； （2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH； （3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴BD＝EC， ∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点， ∴FG∥BD，GF＝， FH∥EC，FH＝， ∴FG＝FH； （2）证明：由（1）FG∥BD， 又∵∠A＝90°， ∴FG⊥AC， ∵FH∥EC， ∴FG⊥FH； （3）解：延长FG交AC于点K， ∵FG∥BD，∠A＝80°， ∴∠FKC＝∠A＝80°， ∵FH∥EC， ∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°． 三．黄金分割（共2小题） 6．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（　　） A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a 【答案】D 【解答】解：设AB＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝x， ∵矩形ABFG是黄金矩形， ∴＝， ∴＝， 解得：x＝（2+2）a， 经检验：x＝（2+2）a是原方程的根， ∴AB＝（2+2）a， 故选：D． 7．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BC＝BD， ∴△BDC是“黄金三角形”， ∴＝， ∵BC＝2， ∴DC＝﹣1， 故选：A． 四．平行线分线段成比例（共9小题） 8．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 即， 解得：EC＝2， 故选：B． 9．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 故选：D． 10．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（　　） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， 即， 解得：EF＝6． 故选：C． 11．如图，已知点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DE∥BC，要使得EF∥CD，还需添加一个条件，这个条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， ∴当时，， ∴EF∥CD，故C选项符合题意； 而A，B，D选项不能得出EF∥CD， 故选：C． 12．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵BG∥DF，∴＝，A正确，C错误； ∴＝，B 正确； ∵AD∥BC，∴∠A＝∠C， ∵BG∥DF，∴∠BEC＝∠DFA， ∴△BEC∽△DFA， ∴＝，D正确， 故选：C． 13．如图，l1∥l2，AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，则AE：EC＝（　　） A．5：2 B．4：3 C．2：1 D．3：2 【答案】D 【解答】解：∵l1∥l2， ∴＝＝， 设AG＝3x，BD＝5x， ∵BC：CD＝3：2， ∴CD＝BD＝2x， ∵AG∥CD， ∴＝＝＝． 故选：D． 14．如图l1∥l2∥l3，若＝，DF＝10，则DE＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解答】解：l1∥l2∥l3， ∴＝＝， 又∵DF＝10， ∴DE＝DF＝6， 故选：B． 15．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝1，BD＝2， ∴AB＝3， ∴＝， 故答案为：． 16．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF＝5：8，AC＝24． （1）求AB的长； （2）当AD＝4，BE＝1时，求CF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF＝5：8，AC＝24， ∴＝＝， ∴＝， ∴BC＝15， ∴AB＝AC﹣BC＝24﹣15＝9． （2）解：∵l1∥l2∥l3 ∴＝＝， ∴＝， ∴OB＝3， ∴OC＝BC﹣OB＝15﹣3＝12， ∴＝＝， ∴＝， ∴CF＝4． 五．相似三角形的性质（共2小题） 17．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝18，AC＝12，点D在边AC上，且CD＝4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（　　） A．12 B．16 C．12或16 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝∠A， 分为两种情况：①DE∥BC（即∠ADE＝∠C）， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝， ∴， ∴DE＝12， ②∠ADE′＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE′∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴DE′＝16， ∵AB＝9， ∴此时点E在AB的延长线上，不符合题意，舍去， 故选：A． 18．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 【答案】B 【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论； 由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC，故B选项正确； 由得不出结论； 由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及． 故选：B． 六．相似三角形的判定（共7小题） 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE＝（　　） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【解答】解：分两种情况： ①当∠CED＝90°时，如图1， 过E作EF⊥CD于F， ∵AD∥BC，AD＜BC， ∴AB与CD不平行， ∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE， ∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°， ∴∠BCE＝∠DCE， ∴AE＝EF，EF＝BE， ∴AE＝BE＝AB＝； ②当∠CDE＝90°时，如图2， ∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时， ∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°， ∴∠BCE＝∠DCE＝30°， ∵∠A＝∠B＝90°， ∴BE＝ED＝2AE， ∵AB＝3， ∴AE＝1， 综上，AE的值为或1； 故选：D． 20．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　1.2　s时△APR∽△PRQ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60° ∵QR∥BA ∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60° ∴△CRQ为等边三角形 ∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s ∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t ∵QR∥BA ∴∠QRP＝∠APR 若要△APR∽△PRQ，则需满足∠RPQ＝60° ∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120° ∴∠BPQ＝∠ARP 又∵∠A＝∠B ∴△APR∽△BQP ∴＝ ∴＝ 解得t＝1.2 故答案为1.2． 21．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为　2.8或1或6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠A＝∠B＝90° ①若△APD∽△BPC 则＝ ∴＝ 解得AP＝2.8． ②若△APD∽△BCP 则＝ ∴＝ 解得AP＝1或6． ∴则满足条件的AP长为2.8或1或6． 故答案为：2.8或1或6． 22．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．当AB＝　3或3　时，△ABC与△ACD相似． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2， ∴CD＝， 设AB＝x， 当AC：AD＝AB：AC时，△ABC∽△ACD， ∴， 解得AB＝3； 当AB：AC＝AC：CD时，△ABC∽△CAD， ∴， 解得AB＝3， 故答案为：3或3． 23．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE； （1）求证：△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长； （3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠BAE， ∴△ABE∽△ECD； （2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∵BC＝5， ∴EC＝5﹣3＝2， 由（1）得：△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝； （3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD； 理由是：过E作EF⊥AD于F， ∵△AED∽△ECD， ∴∠EAD＝∠DEC， ∵∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠EDC， ∵DC⊥BC， ∴EF＝EC， ∵DE＝DE， ∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）， ∴DF＝DC， 同理可得：△ABE≌△AFE， ∴AF＝AB， ∴AD＝AF+DF＝AB+CD． 24．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停． （1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2； （2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设经过t秒钟S△PCQ＝2cm2， 由题意得，AP＝2t，CQ＝t， 则PC＝8﹣2t， 由题意得，×（8﹣2t）×t＝2， 整理得，t2﹣4t+2＝0 解得，t＝2±， 则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ＝2cm2； （2）设再经过n秒△PCQ与△ACB相似由题意得，AP＝2n，CQ＝2+n， 则PC＝8﹣2n， 当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝， 解得，n＝1.6， 当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝， 解得，n＝， 综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似． 七．相似三角形的判定与性质（共12小题） 26．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 27．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 【答案】A 【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴DF＝AD＝15， 同理BE＝AB＝10， ∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5； ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8， 在Rt△ABG中，AG＝＝＝6， ∴AE＝2AG＝12， ∴△ABE的周长等于10+10+12＝32， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF， ∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2， ∴△CEF的周长为16． 故选：A． 28．如图，在正方形ABCD中，点G是BC上一点，且，连接DG交对角线AC于F点，过D点作DE⊥DG交CA的延长线于点E，若AE＝3，则DF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H， ∴∠H＝90°， 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∠H＝∠BCD， ∵DE⊥DG， ∴∠EDG＝90°， ∴∠2+∠1＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△DEH∽△DGC， ∴＝， ∵， ∴设GC＝x，则BG＝2x，DC＝BC＝3x， ∴＝， ∴DH＝3EH， ∵AC是正方形ABCD对角线， ∴∠DAC＝45°， ∵∠EAH＝∠DAC＝45°， ∴∠HEA＝45°， ∴EH＝HA， ∴EH2+HA2＝9， ∴EH＝HA＝， ∴DH＝， ∴AD＝3， ∴GC＝， ∴DG＝＝2， ∵在正方形ABCD中，AD∥BC， ∴＝＝， ∴DF＝3GF， ∴DF＝； 故选：D． 29．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】 解：设正方形的面积分别为S1，S2…S2010， 根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2， ∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2x（同位角相等）． ∵∠ABA1＝∠A1B1A2＝90°， ∴△BAA1∽△B1A1A2， 在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD＝， cot∠DAO＝＝， ∵tan∠BAA1＝＝cot∠DAO， ∴BA1＝AB＝， ∴CA1＝+＝×， 同理，得：C1A2＝××， 由正方形的面积公式，得：S1＝， S2＝×，S3＝××， 由此，可得Sn＝×（1+）2n﹣2， ∴S2010＝5×（）2×2010﹣2， ＝5×（）4018． 故选：D． 30．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②△ABE与△DCE的周长比； ③∠ADE＝∠ABC； ④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB∽△DEC， ∴；故①正确； ②∵△AEB∽△DEC， ∴△ABE与△DCE的周长比；故②正确； ③∵∠BAC＝∠BDC， ∴A，B，C，D共圆， ∴∠ADE＝∠ACB， 如果∠ADE＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ACB， 但这两个角不一定相等，故③错误； ④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE． ∴＝， ∵△ABE和△ADE共高， ∴＝， ∵△BCE和△DCE共高， ∴＝， ∴＝，故④正确． ∴结论中正确的是①②④， 故选：C． 31．如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE＝AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝　10　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G， ∵AE＝AD，AG∥BC， ∴△AEG∽△DEC， ∴＝＝， 又∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2CD， ∴＝， ∵AG∥BC， ∴△AFG∽△BFC， ∴＝＝， ∴BF＝4AF＝8cm， ∴AB＝AF+BF＝10cm， 故答案为：10． 32．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E为AD上任意一点，过点C作CF∥AB交BE的延长线于点F，BF交AC于点G，连CE，下列结论正确的序号为　①②④　． ①AD平分∠BAC；②BE＝CE；③BE＝EG；④若BE＝3，GE＝2，则GF＝． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD是AB的垂直平分线， ∴AD平分∠BAC，BE＝CE， 故①正确；②正确； 根据已知和图形可以看出BE和EG不相等，故③错误； ∵AB＝AC，BE＝CE， ∴∠ABD＝∠ACD，∠EBD＝∠ECD， ∴∠ABE＝∠ACE， ∵CF∥AB， ∴∠F＝∠ABE＝∠ACE， ∵∠GEC＝∠GEC， ∴△CEG∽△FEC， ∴＝， 即EC2＝EG×EF， 32＝2EF， EF＝， GF＝﹣2＝，故④正确． 故答案为：①②④． 33．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝9，BP＝BC＝2，D在AC上，且∠APD＝∠B，则CD＝　　． 【答案】． 【解答】解：∵BP＝BC＝2， ∴BC＝3BP＝6， ∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4， ∵AB＝AC＝9， ∴∠B＝∠C， ∴∠BAP+∠APB＝180°﹣∠B， ∵∠APD＝∠B， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣∠B， ∴∠DPC＝∠BAP， ∴△ABP∽△PCD， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝， 故答案为：． 34．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB． （1）求证：△ADE∽△ACB； （2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB； （2）解：由（1）可知：△ADE∽△ACB， ∴＝， 设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x， ∵AE＝4，AC＝9， ∴＝， 解得：x＝（负值舍去）， ∴BD的长是． 35．如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）如AF＝3，AG＝5，求△ADE与△ABC的周长之比． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE＝∠AGC＝90°， ∵∠EAF＝∠GAC， ∴∠AED＝∠ACB， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC； （2）由（1）可得△ADE∽△ABC， 又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F， ∴△ADE与△ABC的周长之比＝＝． 36．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE． （1）求证：△ABE≌△ADE； （2）求证：EB2＝EF•EG； （3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， 又AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）； （2）∵AB∥CG， ∴∠ABG＝∠EGD， 由（1）得△ABE≌△ADE， ∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE， ∴∠EGD＝∠ADE， ∵∠FED＝∠DEG， ∴△EDF∽△EGD， ∴， 所以ED2＝EF•EG； ∴EB2＝EF•EG； （3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴AC＝AB＝4． 连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2， ∵AE：EC＝1：3， ∴AE＝OE＝1． ∴BE＝． ∵AD∥BC， ∴， ∴EF＝BE＝． 由（2）得EB2＝EF•EG， ∴EG＝， ∴BG＝BE+EG＝4． 37．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDA＝90°， 又∵AD2＝BD•DC， ∴＝， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠BAD＝∠C， 又∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°； ②∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴EF＝AD， ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AB2＝BD×BC，即42＝BD×（BD+6）， 解得BD＝2， ∴Rt△ABD中，AD＝＝2， ∴EF＝2； （2）∵AD＝4，DC＝4，DF⊥AC，BD＝2， ∴AC＝4，AB＝2， ∴AF＝AC＝2， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC， ∴AD2＝AE×AB，AD2＝AF×AC， ∴AE×AB＝AF×AC，即， 又∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴＝， ∴＝， 解得EF＝． 八．相似三角形的应用（共1小题） 38．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN， ∴△CAD∽△MND， ∴， ∴， ∴MN＝9.6（米）， 又∵∠EBF＝∠MNF＝90°， ∠EFB＝∠MFN， ∴△EFB∽△MFN， ∴， ∴ ∴EB≈1.75（米）， ∴小军身高约为1.75米． 九．位似变换（共1小题） 39．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的， 则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]， 即（1，2）或（﹣1，﹣2）， 故选：D． $$