专题01 二次根式（考题猜想，易错必刷30题11种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题01二次根式（易错必刷30题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式的性质与化简 · 最简二次根式 · 二次根式的乘除法 · 二次根式的加减法 · 二次根式的混合运算 · 二次根式的化简求值 · 二次根式的应用 · 分母有理化 · 等腰三角形的性质 · 同类二次根式 一．二次根式有意义的条件（共2小题） 1．如果代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＜3 C．x＞3 D．x≥3 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　 　． 二．二次根式的性质与化简（共6小题） 3．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣的结果是（　　） A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b 5．当a≤时，化简+|2a﹣1|等于（　　） A．2 B．2﹣4a C．a D．0 6．化简﹣a的结果是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 7．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝　 　． 8．已知a，b，c是△ABC的三条边长，则化简的结果为 　 　． 三．最简二次根式（共2小题） 9．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 10．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 四．二次根式的乘除法（共3小题） 11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 12．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（　　） A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p 13．化简，结果是（　　） A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4 五．分母有理化（共1小题） 14．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 六．同类二次根式（共3小题） 15．下列二次根式能与合并的是（　　） A． B． C． D． 16．若与最简二次根式是同类二次根式，则x＝　 　． 17．最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 　 　． 七．二次根式的加减法（共2小题） 18．（易错题）已知x+＝，则x﹣的值是（　　） A． B．﹣ C．± D．不能确定 19．设a、b都是有理数，规定a*b＝，则（4*8）*[9*（﹣64）]＝　 　． 八．二次根式的混合运算（共5小题） 20．设的整数部分用a表示，小数部分用b表示，的整数部分用c表示，小数部分用d表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 21．化简： （1）． （2）计算：+． 22．计算： （1）÷﹣2×+； （2）（2﹣3）2﹣（﹣）（+）． 23．计算： （1）（﹣）÷； （2）﹣12003﹣×+﹣（）﹣2． 24． 计算：（﹣）•（+）+（2﹣1）2． 九．二次根式的化简求值（共3小题） 25．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　）2； （3）化简 26．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　 　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 27． 已知，，求代数式x2﹣xy+y2的值． 一十．二次根式的应用（共2小题） 28．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 29．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a、b、c，记P＝，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若P＝5，c＝4，则此三角形面积的值可以是（　　） A． B．6 C．2 D．5 一十一．等腰三角形的性质（共1小题） 30．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　 　． $$专题01二次根式（易错必刷30题11种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式的性质与化简 · 最简二次根式 · 二次根式的乘除法 · 二次根式的加减法 · 二次根式的混合运算 · 二次根式的化简求值 · 二次根式的应用 · 分母有理化 · 等腰三角形的性质 · 同类二次根式 一．二次根式有意义的条件（共2小题） 1．如果代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＜3 C．x＞3 D．x≥3 【答案】C 【解答】解：要使代数式有意义， 必须x﹣3＞0， 解得：x＞3． 故选：C． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是 　x＞1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可得： x﹣1＞0， ∴x＞1， 故答案为：x＞1． 二．二次根式的性质与化简（共6小题） 3．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 【答案】C 【解答】解：∵2＜a＜3， ∴ ＝a﹣2﹣（3﹣a） ＝a﹣2﹣3+a ＝2a﹣5． 故选：C． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a﹣b|﹣的结果是（　　） A．2a﹣b B．b C．﹣b D．﹣2a+b 【答案】B 【解答】解：根据数轴可知： a＜0，b＞0，且＞， ∴﹣， ＝﹣（a﹣b）﹣（﹣a）， ＝b， 故选：B． 5．当a≤时，化简+|2a﹣1|等于（　　） A．2 B．2﹣4a C．a D．0 【答案】B 【解答】解：∵a≤， ∴|2a﹣1|＝1﹣2a， 则原式＝+|2a﹣1| ＝|2a﹣1|+|2a﹣1| ＝1﹣2a+1﹣2a ＝2﹣4a． 故选：B． 6．化简﹣a的结果是（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 【答案】B 【解答】解：∵≥0， ∴a＞0， ∴﹣a＜0， ∴﹣a＝﹣， 故选：B． 7．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝　0　． 【答案】0． 【解答】解：∵c＜b＜0＜a， ∴b﹣a＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0， ∴原式＝|b﹣a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣b﹣（a﹣c）+b﹣c＝a﹣c﹣a+c＝0． 故答案为：0． 8．已知a，b，c是△ABC的三条边长，则化简的结果为 　c　． 【答案】c． 【解答】解： ＝|a+b|﹣|c﹣a﹣b| ＝a+b﹣（a+b﹣c） ＝a+b﹣a﹣b+c ＝c． 三．最简二次根式（共2小题） 9．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A.＝＝，故A不符合题意； B.＝2，故B不符合题意； C.＝，故C不符合题意； D.是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 10．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：B． 四．二次根式的乘除法（共3小题） 11．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0， ∴a＜0，b＜0 ①＝，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误）， ②•＝1，•＝＝＝1，（故②正确）， ③÷＝﹣b，÷＝÷＝×＝﹣b，（故③正确）． 故选：B． 12．已知1＜p＜2，化简+（）2＝（　　） A．1 B．3 C．3﹣2p D．1﹣2p 【答案】A 【解答】解：∵1＜p＜2， ∴1﹣p＜0，2﹣p＞0， ∴原式＝|1﹣p|+2﹣p ＝p﹣1+2﹣p ＝1． 故选：A． 13．化简，结果是（　　） A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4 【答案】D 【解答】解：由二次根式的非负性及被开方数的非负性可得： 3x﹣5≥0 ∴x≥ ∴1﹣3x＜0 ∴ ＝﹣（3x﹣5） ＝3x﹣1﹣3x+5 ＝4 故选：D． 五．分母有理化（共1小题） 14．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　） A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2 【答案】C 【解答】解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣， ∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误； a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误； ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确； ∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4， ∴a2≠b2，故D选项错误； 故选：C． 六．同类二次根式（共3小题） 15．下列二次根式能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B.＝2，与是同类二次根式，能合并，故符合B题意； C.＝2，与不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意； D.＝3，与不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意； 故选：B． 16．若与最简二次根式是同类二次根式，则x＝　　． 【答案】． 【解答】解：＝3， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴2x﹣1＝2， 解得：x＝， 故答案为：． 17．最简二次根式3与是同类二次根式，则x的值是 　4　． 【答案】4． 【解答】解：∵最简二次根式3与是同类二次根式， ∴2x﹣5＝7﹣x， 解得x＝4； 故答案为：4． 七．二次根式的加减法（共2小题） 18．（易错题）已知x+＝，则x﹣的值是（　　） A． B．﹣ C．± D．不能确定 【答案】C 【解答】解：∵（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝6﹣4＝2， ∴x﹣＝±．故选C． 19．设a、b都是有理数，规定a*b＝，则（4*8）*[9*（﹣64）]＝　1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（+）*（+） ＝4*（﹣1） ＝+ ＝1． 八．二次根式的混合运算（共5小题） 20．设的整数部分用a表示，小数部分用b表示，的整数部分用c表示，小数部分用d表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵1＜2＜4， ∴1＜＜2， ∴3＜2+＜4， 2， ∴a＝3，b＝2+＝﹣1，c＝2，d＝4﹣﹣2＝2﹣． ∴b+d＝1，ac＝6， ∴． 故选：B． 21．化简： （1）． （2）计算：+． 【答案】（1）6﹣7； （2）6． 【解答】解：（1） ＝﹣6﹣ ＝6﹣6﹣ ＝6﹣7； （2）+ ＝++2﹣3 ＝3+4+2﹣3 ＝6． 22．计算： （1）÷﹣2×+； （2）（2﹣3）2﹣（﹣）（+）． 【答案】（1）4； （2）29﹣12． 【解答】解：（1）÷﹣2×+ ＝﹣2+2 ＝﹣2+2 ＝4﹣2+2 ＝4； （2）（2﹣3）2﹣（﹣）（+） ＝12﹣12+18﹣（6﹣5） ＝29﹣12． 23．计算： （1）（﹣）÷； （2）﹣12003﹣×+﹣（）﹣2． 【答案】（1）； （2）﹣5+． 【解答】解：（1）（﹣）÷ ＝（2﹣）÷ ＝× ＝； （2）﹣12003﹣×+﹣（）﹣2 ＝﹣1﹣×2+3﹣4 ＝﹣1﹣2+3﹣4 ＝﹣5+． 24．计算：（﹣）•（+）+（2﹣1）2． 【答案】8﹣4． 【解答】解：（﹣）•（+）+（2﹣1）2 ＝2﹣3+8﹣4+1 ＝8﹣4． 九．二次根式的化简求值（共3小题） 25．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2． 设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　21　+　4　＝（　1　+　2　）2； （3）化简 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2 ∴a＝m2+3n2，b＝2mn 故答案为：m2+3n2，2mn． （2）设a+b＝ 则＝m2+2mn+5n2 ∴a＝m2+5n2，b＝2mn 若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4 故答案为：21，4，1，2． （3） ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝﹣ ＝++﹣ ＝+ 26．小明在解决问题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的： ∵a＝． ∴a﹣2＝﹣． ∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3． ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：＝　﹣1　； （2）计算：+…+； （3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）＝＝﹣1， 故答案为：； （2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣ ＝﹣1 ＝； （3）∵a＝+2， ∴a﹣2＝． ∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5． ∴a2﹣4a＝1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（1）+1＝3． 答：2a2﹣8a+1的值为3． 27．已知，，求代数式x2﹣xy+y2的值． 【答案】代数式x2﹣xy+y2的值为18． 【解答】解：∵，， ∴x+y＝+2+﹣2＝2，xy＝（+2）（﹣2）＝6﹣4＝2， ∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy ＝（2）2﹣3×2 ＝24﹣6 ＝18， ∴代数式x2﹣xy+y2的值为18． 一十．二次根式的应用（共2小题） 28．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【解答】解：∵两个小正方形面积为8和18， ∴大正方形边长为：+＝2+3＝5． ∴大正方形面积为（5）2＝50． ∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24． 故选：C． 29．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a、b、c，记P＝，则其面积这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若P＝5，c＝4，则此三角形面积的值可以是（　　） A． B．6 C．2 D．5 【答案】C 【解答】解：∵P＝，P＝5，c＝4， ∴a+b＝6， ∴b＝a﹣6， ∴S＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 又∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴1＜a＜5， ∴0≤（a﹣3）2＜4， 当a＝3时，S为最大值，S＝， ∴0＜S≤， 题目中符合S的取值范围的值只有， 故选：C． 一十一．等腰三角形的性质（共1小题） 30．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　20　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0， 解得x＝4，y＝8， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长＝4+8+8＝20， 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． $$