专题04 解直角三角形（考题猜想，易错必刷30题9种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

专题04解直角三角形（易错必刷30题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 含直角三角形的性质 · 含30度角的直角三角形 · 射影定理 · 锐角三角函数的定义 · 解直角三角形的应用 · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 · 解直角三角形的应用-方向角问题 · 解直角三角形 一．直角三角形的性质（共2小题） 1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论 ①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④ 2．阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点． 解决问题： （1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由． （2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数． 二．含30度角的直角三角形（共3小题） 3．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于（　　） A．90° B．90°或75° C．90°或15° D．90°或75°或15° 4．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC＝，则HC的长为（　　） A．4 B． C． D．6 5．【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 　 　m（结果取整数，参考数据：≈1.7）． 三．射影定理（共1小题） 6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（　　） A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•AB C．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD 四．锐角三角函数的定义（共3小题） 7．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（　　） A． B． C．或 D．或 8．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（　　） A．6 B．6 C．12 D．8 五．解直角三角形（共7小题） 10．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　） A． B．2 C． D． 11．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（　　） A．+1 B．﹣1 C． D． 12．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（　　） A． B．5﹣ C． D．5﹣2 13．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，．则sin∠DBE的值为 　 　． 15．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC上，且tan∠ADE＝tan∠ABC＝，若，则的值为 　 　． 16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，cot∠ABC＝，点D是AC的中点． （1）求线段BD的长； （2）点E在边AB上，且CE＝CB，求△ACE的面积． 六．解直角三角形的应用（共6小题） 17．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°． （1）求∠GAC的度数； （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） 18．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 19．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732） （1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）； （2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？ 20．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°． （1）求两轮轮轴A，B之间的距离； （2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 21．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414． 22．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF． （1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 23．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题） 24．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米） （参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73） 25．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）． 26．如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m） （1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD． （2）求旗杆的AC高度． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） 27．如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38） 28．“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为30°，DE⊥CE，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡DN． （1）求观景平台MN的长；（结果保留根号） （2）小育在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A、B、C、D、E在同一个平面内，点A、C、E在同一条直线上，且AB⊥AE，求轻轨所穿楼栋AB的高度．（结果精确到0.1米，，） 29．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 30．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． $$专题04解直角三角形（易错必刷30题9种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 含直角三角形的性质 · 含30度角的直角三角形 · 射影定理 · 锐角三角函数的定义 · 解直角三角形的应用 · 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 · 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 · 解直角三角形的应用-方向角问题 · 解直角三角形 一．直角三角形的性质（共2小题） 1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论 ①∠CEG＝2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝∠A；⑤∠DFE＝135°，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④ 【答案】C 【解答】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCA，∠ACD＝∠BCD， ∵EG∥BC， ∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCA，故①正确； ∵∠A＝90°，CG⊥EG，EG∥BC， ∴∠ADC+∠ACD＝90°，CG⊥BC， ∴∠GCD+∠BCD＝90°， ∵∠BCD＝∠ACD， ∴∠ADC＝∠GDC，故③正确； ∵∠A＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠FBC＝∠ABC，∠FCB＝∠ACB， ∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣（∠ABC+）＝135°， ∴∠DFB＝180°﹣∠BFC＝45°， ∴∠DFB＝∠A，故④正确； ∵∠BFC＝135°， ∴∠DFE＝∠BFC＝135°，故⑤正确； 根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误； 故选：C． 2．阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点． 解决问题： （1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由． （2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数． 【答案】（1）见上面过程（2）见上面做的图． 【解答】解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图① ∵∠ACB＝90°，P是AB的中点， ∴CP＝AB，AP＝BP＝AB， ∴AP＝PB＝CP． ∴△APC，△PBC是等腰三角形． ∴点P是边AB上的完美点.（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥ 二．含30度角的直角三角形（共3小题） 3．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于（　　） A．90° B．90°或75° C．90°或15° D．90°或75°或15° 【答案】D 【解答】解：如图，分三种情况： ①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部， 由题意知，AD＝BC＝AB， ∵sin∠B＝＝， ∴∠B＝30°，∠C＝（180°﹣∠B）＝75°， ∴∠BAC＝∠C＝75°； ②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部， 由题意知，AD＝BC＝AC， ∵sin∠ACD＝＝， ∴∠ACD＝30°＝∠B+∠CAB， ∵∠B＝∠CAB， ∴∠BAC＝∠ACD＝15°； ③如图3，AC＝BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边， 由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点， 由题意知，AD＝BC＝CD＝BD， ∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAC的度数为90°或75°或15°， 故选：D． 4．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AEFG的位置，此时点D恰好与AF的中点重合，AE交CD于点H，若BC＝，则HC的长为（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】A 【解答】解：由旋转的性质可知：AC＝AF， ∵D为AF的中点， ∴AD＝AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD⊥CD， ∴∠ACD＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠CAB＝30°， ∴∠EAF＝∠CAB＝30°， ∴∠EAC＝30°， ∴AH＝CH， ∴DH＝AH＝CH， ∴CH＝2DH， ∵CD＝AD＝BC＝6， ∴HC＝CD＝4． 故选：A． 5．【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少 　370　m（结果取整数，参考数据：≈1.7）． 【答案】370． 【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H， ∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°， ∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°， ∴∠G＝90°， ∴AD＝2DG， Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°， ∴BG＝BC＝50，CG＝50， ∴DG＝CD+CG＝100+50， ∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100， ∵DM＝100， ∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100， ∵BG＝50，BN＝50（﹣1）， ∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50， Rt△ANH中，∵∠A＝30°， ∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75， 由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1）， ∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）． 答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m． 解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°， ∵CD＝DM，∠D＝60°， ∴△DCM是等边三角形， ∴∠DCM＝60°， 由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50， ∴△CGN是等腰直角三角形， ∴∠GCN＝45°， ∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°， ∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD， 由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50， ∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）． 答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m． 故答案为：370． 三．射影定理（共1小题） 6．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（　　） A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•AB C．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD 【答案】A 【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意； ∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意； 故选：A． 四．锐角三角函数的定义（共3小题） 7．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况： ①当AB为斜边，∠C＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10． ∴cosA＝＝＝； ②当AC为斜边，∠B＝90°， 由勾股定理得：AB＝＝＝2， ∴cosA＝＝； 综上所述，cosA的值等于或． 故选：C． 8．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC， 根据勾股定理，AO＝＝2， AC＝＝， OC＝＝， 所以，AO2＝AC2+OC2＝20， 所以，△AOC是直角三角形， cos∠AOB＝＝＝． 故选：B． 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（　　） A．6 B．6 C．12 D．8 【答案】D 【解答】解：∵点A的坐标为（0，3）， ∴AO＝3， ∵tan∠ABO＝， ∴＝， ∴＝， ∴BO＝， ∵△AOB是直角三角形， ∴AB＝＝＝＝2， ∵菱形的四条边相等， ∴菱形ABCD的周长为2×4＝8． 故选：D． 五．解直角三角形（共7小题） 10．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：如图： 作OF⊥AB于F， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC． ∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6． ∴根据勾股定理得：AD＝＝8． ∵BE平分∠ABC． ∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4． 设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得： （8﹣x）2＝x2+42． ∴x＝3． ∴OD＝3． 在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝． 法二：在求出AF＝4后 ∵tan∠BAD＝＝． ∴＝． ∴OF＝3． ∴OD＝OF＝3． ∴tan∠OBD＝＝． 故选：A． 11．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（　　） A．+1 B．﹣1 C． D． 【答案】B 【解答】解：如图： 在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD， ∴∠BAD＝∠D＝22.5°， 设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝， ∴CD＝BC+BD＝1+， 在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1， 故选：B． 12．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（　　） A． B．5﹣ C． D．5﹣2 【答案】D 【解答】解：设BC与C′D′交点为E， 则BE⊥C′D′，因此C′E＝BC′•cosC′， ∵四边形ABC′D′为菱形，则∠C′＝∠D′AB＝45°， ∴C′E＝BC′•cosC′＝2×＝， 同理BE＝BC′•sinC′＝， ∴D′E＝2﹣，BE＝， ∴梯形D′EBA面积为： S′＝（D′E+AB）×BE×＝2﹣1， 阴影面积为：S＝SSABCD﹣S′ ＝2×2﹣（2﹣1） ＝5﹣2． 故选：D． 13．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝　　． 【答案】． 【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， ∵， ∴设BC＝2a，AC＝3a， ∵∠A，∠B互为半余角， ∴∠A+∠B＝45°， ∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°， 在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a•＝2a， CD＝BCcos45°＝2a•＝2a， ∵AC＝3a， ∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a， 在Rt△ABD中，tanA＝＝＝， 故答案为：． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E．已知AC＝30，．则sin∠DBE的值为 　　． 【答案】． 【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F， 在Rt△ABC中，AC＝30，， ∴AB＝＝＝50， ∴BC＝＝＝40， ∵D是AB的中点， ∴CD＝AB＝25， ∵△ABC的面积＝AB•CF＝AC•CB， ∴AB•CF＝AC•CB， ∴50CF＝30×40， ∴CF＝24， 在Rt△CDF中，DF＝＝＝7， ∴sin∠DCF＝＝， ∵BE⊥CD， ∴∠E＝90°， ∴∠EDB+∠EBD＝90°， ∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE， ∴∠EBD＝∠DCF， ∴sin∠DBE＝sin∠DCF＝， 故答案为：． 15．在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC上，且tan∠ADE＝tan∠ABC＝，若，则的值为 　8　． 【答案】8． 【解答】解：∵△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，tan∠ADE＝tan∠ABC＝， ∴＝＝，∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE， ∴＝＝， 设S△ACE＝a，则S△ABD＝4a， ∵＝＝， ∴S△ACD＝8a， ∴＝ 故答案为：8 16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，cot∠ABC＝，点D是AC的中点． （1）求线段BD的长； （2）点E在边AB上，且CE＝CB，求△ACE的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，cot∠ABC＝， ∴AC＝， ∵点D是AC的中点， ∴CD＝AC＝， ∴Rt△BCD中，BD＝＝； （2）如图，过C作CH⊥AB于H， ∵BC＝，cot∠ABC＝， ∴CH＝，BH＝1， ∵CE＝CB， ∴EH＝BH＝1， ∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝， ∴AB＝3， ∴AE＝3﹣2＝1， ∴△ACE的面积＝×AE×CH＝×1×＝． 六．解直角三角形的应用（共6小题） 17．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°． （1）求∠GAC的度数； （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵CG⊥CD， ∴∠ACG＝90°， ∵∠AGC＝32°， ∴∠GAC＝90°﹣∠AGC＝90°﹣32°＝58°， ∴∠GAC的度数为58°； （2）该运动员能挂上篮网， 理由如下：延长OA，ED交于点M， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵DE∥OB， ∴∠DMA＝∠AOB＝90°， ∵∠GAC＝58°， ∴∠DAM＝∠GAC＝58°， ∴∠ADM＝90°﹣∠DAM＝32°， 在Rt△ADM中，AD＝0.8米， ∴AM＝AD•sin32°≈0.8×0.53＝0.42（米）， ∴OM＝OA+AM＝2.5+0.424＝2.924（米）， ∵2.924米＜3米， ∴该运动员能挂上篮网． 18．学科综合 我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n＝称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）． 观察实验 为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF＝12cm，DF＝16cm． （1）求入射角α的度数． （2）若BC＝7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：，，） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G， 由题意得：四边形DGBF是矩形， ∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm， 在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝， ∴∠BDG＝53°， ∴∠PDH＝∠BDG＝53°， ∴入射角α的度数为53°； （2）∵BG＝16cm，BC＝7cm， ∴CG＝BG﹣BC＝9（cm）， 在Rt△CDG中，DG＝12cm， ∴DC＝＝＝15（cm）， ∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝， 由（1）得：∠PDH＝53°， ∴sin∠PDH＝sinα≈， ∴折射率n＝＝＝， ∴光线从空气射入水中的折射率n约为． 19．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732） （1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）； （2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？ 【答案】（1）2.26米； （2）不能通过． 【解答】解：（1）过点E作EM⊥BD，垂足为M，交AC于点N，则EN⊥AC， ∵AB⊥BD， ∴四边形ABMN是矩形， ∴AB＝MN＝1.2（米），∠BAN＝90°， ∵∠BAE＝135°， ∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝45°， 在Rt△AEN中，EN＝AEsin45°＝1.5×＝（米）， ∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.26（米）， 答：杆EF与地面BD之间的距离为2.26米； （2）由（1）得：∠BAN＝90°， 当∠BAE＝150°时， ∴∠EAN＝∠BAE﹣∠BAN＝60°， 在Rt△AEN中，EN＝AEsin60°＝1.5×＝（米）， ∴EM＝EN+MN＝+1.2≈2.5（米）， 当QD＝PC＝1.8m， ∴BQ＝AP＝2.5﹣1.8＝0.7m， 当∠BAE＝150°时， ∴∠EAP＝∠BAE﹣∠BAP＝60°， 在Rt△AGP中，GP＝APtan60°＝0.7≈1.212米， ∴GP+PQ＝1.212+1.2＝2.412米， ∵2.412＜2.45， ∴宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车不能正常通过此道闸． 20．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°． （1）求两轮轮轴A，B之间的距离； （2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】（1）100cm； （2）100.0cm． 【解答】解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°， ∴AB＝＝＝100（cm）， 即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm； （2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH， ∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°， ∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°， ∵∠G＝90°， ∴∠F＝30°， ∴OG＝OF＝30， ∴FG＝30， 由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60， ∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CH， 即×100×CH＝×60×80， 解得CH＝48， ∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm， 即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm． 21．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝40cm，CE：CD＝1：4，∠DCF＝45°，∠CDF＝37°． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）求滑竿DE的长度； （2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果精确到0.1）．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.414． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点F作FG⊥CD，垂足为G， 在Rt△DFG中，∠CDF＝37°．DF＝40cm， ∴FG＝DF•sin37°≈40×＝24（cm）， DG＝DF•cos37°≈40×＝32（cm）， 在Rt△CFG中，∠DCF＝45°， ∴CG＝＝24（cm）， ∴DC＝CG+DG＝24+32＝56（cm）， ∵CE：CD＝1：4， ∴CE＝CD＝14（cm）， ∴DE＝CE+CD＝70（cm）， ∴滑竿DE的长度约为70cm； （2）过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H， ∵DE＝BC＝AB＝70cm， ∴AC＝AB+BC＝140（cm）， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝AC•sin45°＝140×＝70≈99.0（cm）， ∴拉杆端点A到水平滑杆ED的距离约为99.0cm． 22．如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF． （1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G， ∴∠AGO＝90°， 由题意得：AC∥OD， ∴∠DOG＝∠AGO＝90°， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°， ∵O为AB的中点， ∴OA＝AB＝3（米）， 在Rt△AOG中， ∴AG＝AO＝1.5（米），OG＝AG＝1.5≈2.6（米）， ∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米； （2）设OG交A1C1于点H， 由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米， ∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°， 在RtΔOA1H中，A1H＝OA1•cos37°＝3×0.8≈2.4（米）， ∵AG＝1.5米， ∴A1H﹣AG＝2.4﹣1.5＝0.9（米）， ∴点A上升的高度约为0.9米． 七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题） 23．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（　　） A．5cosα B． C．5sinα D． 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BC⊥AF于点C． ∵BC＝5米，∠CBA＝∠α． ∴AB＝＝． 故选：B． 八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题） 24．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米） （参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设楼高CE为x米， ∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴AE＝CE＝x， ∵AB＝20， ∴BE＝x﹣20， 在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20）， ∴2（x﹣20）＝x， 解得：x＝40（米）， 在Rt△DAE中，DE＝AEtan30°＝40×＝， ∴CD＝CE﹣DE＝40﹣≈17（米）， 答：大楼部分楼体CD的高度约为17米． 25．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）． 【答案】（1）灯管支架底部距地面高度AD的长为3米； （2）灯管支架CD的长度约为1.2米． 【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m， ∴AD＝AE•tan60°＝3（米）， ∴灯管支架底部距地面高度AD的长为3米； （2）延长FC交AB于点G， ∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°， ∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°， ∵∠GDC＝60°， ∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°， ∴△DGC是等边三角形， ∴DC＝DG， ∵AE＝3米，EF＝8米， ∴AF＝AE+EF＝11（米）， 在Rt△AFG中，AG＝AF•tan30°＝11×＝（米）， ∴DC＝DG＝AG﹣AD＝﹣3＝≈1.2（米）， ∴灯管支架CD的长度约为1.2米． 26．如图大楼AB的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆AC的高度，他从大楼底部B处出发，沿水平地面前行32m到达D处，再沿着斜坡DE走20m到达E处，测得旗杆顶端C的仰角为30°．已知斜坡ED与水平面的夹角∠EDG＝37°，图中点A，B，C，D，E，G在同一平面内（结果精确到0.1m） （1）求斜坡ED的铅直高度EG和水平宽度GD． （2）求旗杆的AC高度． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在Rt△DEG中，∠EDG＝37°，DE＝20m， ∴EG＝DE•sin37°≈20×0.60＝12.0（m）， DG＝DE•cos37°≈20×0.80＝16.0（m）， ∴斜坡ED的铅直高度EG约为12.0m，水平宽度GD约为16.0m； （2）过点E作EH⊥BC，垂足为H， 由题意得：DB＝32m， ∴EH＝GB＝GD+DB＝16+32＝48（m）， 在Rt△CEH中，∠CEH＝30°， ∴CH＝EH•tan30°＝48×＝16（m）， ∴AC＝CH+BH﹣AB＝16+12﹣37≈2.7（m）， ∴旗杆的AC高度约为2.7m． 27．如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38） 【答案】CE的长约为62m． 【解答】解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G， 由题意得：BG＝HE，CM∥AH， ∴∠CAH＝∠MCA＝30°，∠CBH＝∠MCB＝45°， 设BH＝x m， ∵AB＝40m， ∴AH＝AB+BH＝（x+40）m， 在Rt△ACH中，CH＝AH•tan30°＝（x+40）m， 在Rt△CBH中，CH＝BH•tan45°＝x（m）， ∴x＝（x+40）， 解得：x＝20+20， ∴CH＝（20+20）m， ∵∠BDF＝159°， ∴∠BDG＝180°﹣∠BDF＝21°， 在Rt△BDG中，BD＝20m， ∴BG＝BD•sin21°≈20×0.36＝7.2（m）， ∴BG＝EH＝7.2m， ∴CE＝CH+HE＝20+20+7.2≈62（m）， ∴CE的长约为62m． 28．“轻轨飞梭如影重，上天入地驶楼中”，8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客，而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点．如图，已知斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB底端A处30米远，斜坡CD长为42米，坡角为30°，DE⊥CE，为了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡角为45°的斜坡DN． （1）求观景平台MN的长；（结果保留根号） （2）小育在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°，点A、B、C、D、E在同一个平面内，点A、C、E在同一条直线上，且AB⊥AE，求轻轨所穿楼栋AB的高度．（结果精确到0.1米，，） 【答案】（1）观景平台MN的长为（15﹣15）米； （2）轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米． 【解答】解：（1）如图： 由题意得：MF⊥DE，FM∥EC， ∴∠DMF＝∠DCE＝30°， ∵DC＝42米，CM＝12米， ∴DM＝CD﹣CM＝30（米）， 在Rt△DFM中，DF＝DM＝15（米），FM＝DF＝15（米）， 在Rt△DFN中，∠DNF＝45°， ∴FN＝＝15（米）， ∴MN＝FM﹣FN＝（15﹣15）米， ∴观景平台MN的长为（15﹣15）米； （2）如图： 由题意得：FN＝EP＝15米，EF＝AH，FH＝EA， 在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝42米， ∴DE＝CD＝21（米），CE＝DE＝21（米）， ∵AC＝30米， ∴FH＝AE＝AC+CE＝（30+21）米， ∴NH＝FH﹣FN＝30+21﹣15＝（21+15）米， 在Rt△BNH中，∠BNH＝30°， ∴BH＝NH•tan30°＝（21+15）×＝（21+5）米， ∵DF＝15米， ∴EF＝AH＝DE﹣DF＝21﹣15＝6（米）， ∴AB＝BH+AH＝27+5≈35.7（米）， ∴轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米． 29．中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求β的大小及tanα的值； （2）求CP的长及sin∠APC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得：PQ⊥AE，PQ＝2.6m，AB＝CD＝EQ＝1.6m，AE＝BQ＝4（m），AC＝BD＝3（m）， ∴CE＝4﹣3＝1（m），PE＝2.6﹣1.6＝1（m），∠CEP＝90°． ∴CE＝PE． ∴β＝∠PCE＝45°；． （2）∵CE＝PE＝1m，∠CEP＝90°， ∴． 如图，过C作 CH⊥AP于H， ∵，设CH＝x m，则AH＝4x m， ∴x2+（4x）2＝AC2＝9． ∴，． ∴． ∴． 九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题） 30．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°． （1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数； （2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°， ∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°， ∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°； （2）过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°， ∴AD＝AB•sin45°＝3×＝3（km）， BD＝AB•cos45°＝3×＝3（km）， 在Rt△ADC中，∠ACB＝60°， CD＝＝＝（km）， ∴BC＝BD+CD＝（3+）km， ∴检查点B和C之间的距离（3+）km． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/13 10:28:05；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 $$