清单03 图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单03 图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 【清单03】 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单04】 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单05】 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【清单06】 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单07】 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单08】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单09】 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB ． 【清单10】 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【清单11】 位似图形 1.位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2. 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 3. 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点题型一】比例性质 【典例1】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算，即可解答． 【详解】解：设 ∴，，， ∴ 故答案为：． 【变式1-1】．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D．19 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，得到，， ∴， 故选：A． 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 【考点题型二】比例线段和黄金分割比 【典例2】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得，由此可解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ，即， ， 故选A． 【变式2-2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-3】如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，本题中经分析，因为点为线段的黄金分割点，所以把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即 ，把代入计算，即可作答． 【详解】解：，，以为圆心，为半径，两弧交于点， ∵点为线段的黄金分割点， ∴是和的比例中项， ， ∵ ∴ 故答案为： 【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【典例3】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：如图： A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，能判定，故符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，不能判定，故不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解： ， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 【变式3-2】如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：， ， 故A，C，D不正确， 故选：B． 【考点题型四】相似多边形 【典例4】如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式4-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为， 故选：A． 【变式4-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析． 【详解】解：这两个图形两个形状相同， 即两个图形相似， 则对应线段的比相等， 因而， ． 的值是． 故选：D 【考点题型五】相似三角形的判定 【典例5】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，不能判定，故本选项符合题意； B．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】下列各条件中，能判断的是（　　） A．， B． ， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、，，只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、 ，，不是与的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由可得，再由得，利用两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断，故C符合题意； D、由，得，则得，故D不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】如图，D是边上一点，能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法“两边对应成比例，其两边夹角相等，两三角形相似”逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， 当时，不能证明，故A选项不符合题意； 当时，不能证明，故B选项不符合题意； 当时，则，能证明，故C选项符合题意； 当，即时，不能证明，故D选项不符合题意； 故选C． 【考点题型六】相似三角形的性质 【典例6】如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据，得出，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故选：B． 【变式6-1】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵， 和分别是和的高，，， 其相似比为：， 与的面积的比为； 故选：． 【变式6-2】若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵，且＝． ∴ ∵的面积为8， ∴的面积为18， 故选：D． 【变式6-2】如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 【考点题型七】相似三角形的判定和性质综合 【典例7】已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 【变式7-1】如图，中，点D在上，，若，，求的长． 【答案】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，证明,故，即可得到∴，求出的长. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（舍去）． 【变式7-2】如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【详解】（1）证： 平分 ， （2）解： 即 【变式7-3】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由菱形的性质得出，再根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）直接利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， 负值舍去． 【考点题型八】相似三角形的应用综合 【典例8】如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得光源距离地面高度米，米，米，三点在同一水平线上，求该古城墙的高度（为法线，平面镜的厚度忽略不计）.    【答案】该古城墙的高度为米． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，则，代入数值，即可作答． 【详解】解：∵三点在同一水平线上，为法线， ∴ ∴ ∴ ∵米，米，米， ∴ 解得（米） ∴该古城墙的高度为米． 【变式8-1】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【答案】19.8米． 【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， （2）∵△ABC∽△ADE， ∴， 即， ∴DC＝19.8（米）， ∴古塔的高度为19.8米． 【变式8-2】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【答案】树高CD为6.5米． 【解答】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G， 由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴四边形EFDH为矩形， ∴EF＝GB＝DH＝1.7米，EG＝FB＝2米，GH＝BD＝6米， ∴AG＝AB﹣GB＝2.9﹣1.7＝1.2（米）， ∵EH⊥CD，EH⊥AB， ∴AG∥CH， ∴△AEG∽△CEH， ∴， ∴， 解得：CH＝4.8， ∴CD＝CH+DH＝4.8+1.7＝6.5（米）， 答：树高CD为6.5米． 【考点题型九】图形的位似 【典例9】如图，将以点O为位似中心放大后得到，若，则与的相似比为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的性质，即可求解． 【详解】解：∵以点O为位似中心放大后得到， ∴， ∴与的相似比为． 故选：B． 【变式9-1】如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的知识，掌握位似比等于相似比是解题的关键，根据可知相似比，根据，可求出，由此即可求解的值． 【详解】解：∵与关于点成位似图形， ∴， ∴，即位似比为， ∴，且， ∴， ∴， 故选：D ． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据与以原点为位似中心，相似比是，上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，进而求出点的横坐标即可． 【详解】解： 与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵， ∴与位似比为， 点的坐标是，点E在第一象限， 点E的坐标是，即， ∴点的横坐标是10． 故选：D． 【考点题型十】作图-位似 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 本题考查了作图-位似变换和旋转变换． （1）利用网格特点和旋转的旋转画出点A、B、C的对应点，从而得到； （2）延长到使，则点为点的对应点，同样方法作出的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：，如图所示， （2）解：如图所示，   ． 【变式10-1】如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均在小正方形的顶点．    (1)以O为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为； (2)连接（1）中的，求四边形的周长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理， （1）根据位似的性质作图即可． （2）利用勾股定理求出和的长，进而可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：∵，，，， ∴四边形的周长为． 【变式 0-2】在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，以原点O为位似中心，将放大到2倍得到． (1)在现有网格图中画出； (2)记线段的中点为M，求放大后点的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点M在上对应点的坐标为 【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标与图形等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据位似的性质找到对应点D、E、F，然后顺次连接即可； （2）由题意可知，先求出的中点坐标，再求出对应边的中点坐标即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由题意得，，， ∴BC中点M的坐标为， ∵放大到2倍得到， ∴点M在上对应点的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 图形的相似（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 【清单02】 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值) 【清单03】 平行线分线段成比例 类型1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 几何语言： 图一 拓展： 1） .如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等； 2） .经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边； 图二 3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。 图三 类型2 平行线分线段成比例定理 （1）定理1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例. 图四 图五 （2）定理2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应线段成比例 【清单04】 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 【清单05】 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 【清单06】 相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2） 相似多边形对应边的比称为相似比． 【清单07】 相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单08】 相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单09】 射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB ． 【清单10】 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 注意：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法 【清单11】 位似图形 1.位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2. 位似图形的性质 （1） 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；　 （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 注意： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 3. 作位似图形的步骤 　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　第四步：顺次连接各对应点. 注意： 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【考点题型一】比例性质 【典例1】若，则 ． 【变式1-1】．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B． C． D．19 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】比例线段和黄金分割比 【典例2】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【变式2-1】如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【变式2-2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，，，以为圆心，为半径，两弧交于点，此时，点为线段的黄金分割点，若，则的长为 ． 【考点题型三】平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【典例3】在中，点分别在边、上，下列比例式中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型四】相似多边形 【典例4】如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（    ） A．16 B． C． D． 【变式4-1】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的相似比为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（    ） A．15 B．12 C．10 D．8 【考点题型五】相似三角形的判定 【典例5】如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列各条件中，能判断的是（　　） A．， B． ， C．， D．，，， 【变式5-2】如图，D是边上一点，能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】相似三角形的性质 【典例6】如图，，，，，那么的值等于（   ） A．5 B．6 C．7 D．4 【变式6-1】如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，且＝．若的面积为8，则的面积是（    ） A． B．6 C．9 D．18 【变式6-2】如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】相似三角形的判定和性质综合 【典例7】已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【变式7-1】如图，中，点D在上，，若，，求的长． 【变式7-2】如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式7-3】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【考点题型八】相似三角形的应用综合 【典例8】如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，测得光源距离地面高度米，米，米，三点在同一水平线上，求该古城墙的高度（为法线，平面镜的厚度忽略不计）.    【变式8-1】（2023春•岱岳区期末）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米． （1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？ （2）求信号发射塔的高度． 【变式8-2】（2023春•河口区期末）学完了《图形的相似》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树CD的高度，如图，直立在B处的标杆AB＝2.9米，小爱站在F处，眼睛E处看到标杆顶A，树顶C在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点F，B，D在同一条直线上）．已知BD＝6米，FB＝2米，EF＝1.7米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度． 【考点题型九】图形的位似 【典例9】如图，将以点O为位似中心放大后得到，若，则与的相似比为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，与是以点为位似中心的位似图形，，若，则的长为（   ） A．12 B．8 C．6 D．4 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为 ． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点题型十】作图-位似 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的； (2)在网格内以点为位似中心，画使它与的位似比为． 【变式10-1】如图，在网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和的顶点均在小正方形的顶点．    (1)以O为位似中心，在网格图中作和位似，且位似比为； (2)连接（1）中的，求四边形的周长．（结果保留根号） 【变式10-2】在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，以原点O为位似中心，将放大到2倍得到． (1)在现有网格图中画出； (2)记线段的中点为M，求放大后点的对应点的坐标． 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