清单02 一元二次方程（11个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单02一元二次方程（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【清单02】 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【清单03】一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【清单04】 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【清单05】 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【清单06】 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【清单07】一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【清单08】一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【考点题型一】一元二次方程的概念 【典例1】若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列关于方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】一元二次方程的解 【典例2】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D． 【变式2-1】一元二次方程的一个实数根为，则的值是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式2-2】若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为 ． 【考点题型三】解一元二次方程 【典例3】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式3-1】解下列方程 (1) (2) 【变式3-2】解方程： (1) (2) 【变式3-3】解方程： (1) (2) 【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例4】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式4-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【变式4-2】方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式4-3】关于x的一元二次方程的实数根的情况是（      ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b 的取值有关 【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例5】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式5-1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【变式5-3】关于 x 的一元二次方程有两个实数根，则 m 的取值范围是 ． 【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系 【典例6】已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【变式6-1】已知方程的两个实数根分别是m，n，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-2】已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ． 【变式6-3】已知、是方程的两个实数根，则 ． 【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题 【典例7】习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017年的利润为2880万元． (1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率； (2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？ 【变式7-1】某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】有关一元二次方程传播问题 【典例8】近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有人，那么小明发短信的人数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛． 【考点题型九】有关一元二次方程面积问题 【典例9】自今年4月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ (3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长a的取值范围． 【变式9-1】沿河某中学九（1）班在布置教室文化时，把班级集体照照片贴在了墙上，照片规格：长70cm，宽50cm；为了美观，特将照片贴在一张矩形彩色纸的正中央，照片四周外露彩色纸的宽度相同；矩形彩色纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露彩色纸的宽度为（如图），下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长45米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门、设长x米， (1)求的长度（用含x的代数式表示）． (2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 【考点题型十】有关一元二次方程利润问题 【典例10】受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． (1)已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； (2)已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 【变式10-1】党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动”，某镇深入学习宣传贯彻党的二十届三中全会精神和习近平总书记来闽考察重要讲话精神，扭住建设机制活、产业优、百姓富、生态美的新福建目标不放松，把文旦柚变成农民增收的“致富果”．若文旦柚每袋获利20元，每天可卖出100袋，通过市场调查发现：每袋文旦柚的售价每降低1元，每天的销售量就增加30袋． (1)若每袋文旦柚的售价降低3元，则每天的销售量为 ． (2)某果场为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利4000元，则每袋文旦柚的售价需降低多少元？ 【变式10-2】某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克． (1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售 千克梭子蟹； (2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？ 【变式10-3】在新冠疫情爆发初期，防护服极度匮乏，某市许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线． (1)每条生产线的最大产能是_______件/天（用含x的代数式表示）． (2)若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？ 【考点题型十一】有关一元二次方程动点问题 【典例11】如图所示，在中，，、的长分别是方程的两个根，点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动． (1)求的面积为多少？ (2)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，的面积等于？ 【变式11-1】如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：    (1)几秒后，的面积等于 (2)的面积能否等于？说明理由． 【变式11-2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： (1)经过多长时间，的面积等于？ (2)经过多长时间，的面积等于面积的？ 【变式11-3】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02一元二次方程（11个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【清单02】 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【清单03】一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【清单04】 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【清单05】 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【清单06】 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【清单07】一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【清单08】一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【考点题型一】一元二次方程的概念 【典例1】若方程是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．根据二次项系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意得：，即． 故答案为：． 【变式1-1】下列方程中，属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，含有两个未知数，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 、，等号左边有分式，不是一元二次方程，原选项不符合题意； 、，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 【变式1-2】下列关于方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、，即未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式成为解题的关键． 先运用平方差公式计算等式的左边，然后移向整理成一元二次方程的一般式即可． 【详解】解：， ， ． 故选B． 【考点题型二】一元二次方程的解 【典例2】关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 【变式2-1】一元二次方程的一个实数根为，则的值是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义、求代数式的值， 根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后利用整体的思想进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 把代入方程中得： ， ， ， 故选：C． 【变式2-2】若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题是解题的关键．将代入原方程，列出关于k的新方程，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得：， 故选：C． 【变式2-3】若关于x的一元二次方程的一个根为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入，即可求解， 解题的关键是：明确方程的解一定使原方程成立． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴，解得：， 故答案为：． 【考点题型三】解一元二次方程 【典例3】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的各种方法，选择恰当的方法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得，； （2）解：整理，得， 即， 解得，． 【变式3-1】解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键： （1）先移项，再配方，最后两边开平方即可得到答案； （2）移项，系数化为1，再两边开平方即可得到答案； 【详解】（1）解：移项、配方得， ， 即， 两边开平方得， ， ∴，； （2）解：移项、系数化为1得， ， 两边开平方得， ， ∴，． 【变式3-2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． （2）运用公式法解一元二次方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， 解得； （2）解：∵， ∴， 则该方程无解． 【变式3-3】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴或 解得： （2）解： ∵ ∴ 解得： 【考点题型四】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【典例4】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的判别式，所以方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程中， 、、， ， 有两个不相等的实数根． 故选：B． 【变式4-1】一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式4-2】方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，牢记当时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴选项A符合题意， 故选： A． 【变式4-3】关于x的一元二次方程的实数根的情况是（      ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b 的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【考点题型五】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【典例5】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，求不等式的解集，理解一元二次方程有两个不相等的实数根的含义，掌握一元二次方程根的判别式的计算是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，确定一元二次方程中的值，代入求不等式的解集即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 解得且， 故选：D． 【变式5-1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式5-2】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了根的判别式，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为：且． 故答案为：且． 【变式5-3】关于 x 的一元二次方程有两个实数根，则 m 的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个实数根，得到，结合方程的二次项的系数不为0，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：原方程转化为：， 由题意，得：， 解得：且； 故答案为：且 【考点题型六】一元二次方程根与系数的关系 【典例6】已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键． （1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解； （2）把变形成代入，即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知， ，． ； （2）解： ． 【变式6-1】已知方程的两个实数根分别是m，n，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可． 【详解】解：∵方程的两个实数根分别是m，n， ∴， 故选：A． 【变式6-2】已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】已知、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 先根据根与系数的关系求得，再根据异分母分式的加法法则进行变形处理，然后整理整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ， ， 故答案为：． 【考点题型七】有关一元二次方程增长率问题 【典例7】习近平主席8月27日在北京人民大会堂出席推进“一带一路”建设工作5周年座谈会并发表重要讲话．推动共建“一带一路”走深走实，造福沿线国家人民，推动构建人类命运共同体．某企业新能源产业受“一带一路”这一利好因素，利润逐年提高，2015年的利润为2000万元，2017年的利润为2880万元． (1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率； (2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润是否能达到3500万元？ 【答案】(1)该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为 (2)2018年的利润为3456万元，不能达到3500万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据该企业2018年的利润=该企业2017年的利润（1+增长率），求出该企业2018年的利润． （1）设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x，根据该企业2015年及2017年的利润额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该企业2018年的利润=该企业2017年的利润（1+增长率），可求出该企业2018年的利润，将其与3500万元进行比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为． （2）解：（万元）， ∵万元万元， ∴该企业2018年的利润不能超过3500万元． 【变式7-1】某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得： ， 故选D． 【变式7-2】新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 设这款新能源汽车的年平均增长率为x，由题意得等量关系初销售量、增长率、末产量的关系列出方程即可解答． 【详解】解：设这款新能源汽车的年平均增长率为x， 由题意，得：． 故选：D． 【变式7-3】若某电影的首日票房约为2亿元，第二、第三天持续增长，三天的累计票房约为6.62亿元，若第二、第三天单日票房的平均增长率相同，设该增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．根据“三天累计票房6.62亿元”列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该增长率为x， 根据题意可得出， 故选：C． 【考点题型八】有关一元二次方程传播问题 【典例8】近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，然后根据经过两轮传染后共有81人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每一轮传染中平均每人传染了人， 由题意得，， 故选：D． 【变式8-1】元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，那么所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张，则名学生共赠贺卡为张，由题意即可列出方程． 【详解】解：∵每个学生要向其他个学生共赠送贺卡张， ∴名学生共赠贺卡为张， 由题意得：； 故选：D． 【变式8-2】中秋节当天，小明将收到的一条短信发送给若干人，每个收到小明短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时包括小明在内收到这条短信的人共有人，那么小明发短信的人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．首先设小明发短信给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意列方程即可求解． 【详解】解：设小明发短信给个人， 由题意得：， ， ， ， ， ，（不合题意舍去）， 小明发短信给个人， 故选：D． 【变式8-3】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设x个队伍参赛， 依题意可列方程：， 整理得：， 解得：，（舍）； 故应邀请8个队伍参赛． 故答案为：8． 【考点题型九】有关一元二次方程面积问题 【典例9】自今年4月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ (3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长a的取值范围． 【答案】(1) (2)售卖区的长为，宽为或长为，宽为． (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为 ，可得平行于墙的边长为，整理即可； （2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； （3）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为， ∴边的长为． （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，；当时，． 答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为． （3）解：结合（2）可得：当时，不能围成售卖区，题目无解； 当时，围成的售卖区只有一种围法，题目只有一个解； 当时，围成的售卖区有两种围法，题目有两个解． 综上所述，当时，围成的售卖区只有一种围法， 即的取值范围是． 【变式9-1】沿河某中学九（1）班在布置教室文化时，把班级集体照照片贴在了墙上，照片规格：长70cm，宽50cm；为了美观，特将照片贴在一张矩形彩色纸的正中央，照片四周外露彩色纸的宽度相同；矩形彩色纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露彩色纸的宽度为（如图），下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程．设照片四周外露彩色纸的宽度为，然后根据“矩形彩色纸的面积为照片面积的3倍”列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露彩色纸的宽度为，则长为，宽为， 由题意得， 故选：D． 【变式9-2】如图所示为长20米、宽15米的矩形空地，现计划要在中间修建三条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为400平方米，若设小道的宽为米，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为x米，则6个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形， 根据题意知：． 故选：D． 【变式9-3】如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长45米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门、设长x米， (1)求的长度（用含x的代数式表示）． (2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 【答案】(1)米 (2)． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、一元二次方程的求解及一元一次不等组的求解；根据实际情境确定变量的取值范围，对方程解作合理取舍是解题的关键． （1）由得，再由即可得出答案； （2）根据矩形的面积等于长宽建立方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：如图， ∴ ∴米； （2）解：由题意知， 解得，， 又∵，且 ∴， ∴． 【考点题型十】有关一元二次方程利润问题 【典例10】受市场波动影响，华佳超市某商品的销售量持续两个月下降，销量由1月份的500件下降到3月份的320件，为此，超市进行降价促销去库存活动，根据以往经验，当售价每降价1元时，销量就会增加20件． (1)已知2，3月份的月下降的百分率是相同的，求这个百分率； (2)已知该商品进价为20元/件，原售价为56元/件，超市计划在3月份销量的基础上，4月份销售这种商品能获利13520元，那么每件商品应降价多少元？4月份的销量是多少？ 【答案】(1)2，3月份的月下降的百分率为； (2)当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程． （1）设平均下降的百分率为x，根据1月份、3月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，用含y的代数式表示出4月份销量及单件利润，根据获利13520元列一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设平均下降的百分率为x， 由题意知， 解得，（不合题意，舍去）， 答：2，3月份的月下降的百分率为； （2）解：设当商品降价y元时，商场4月份可获利13520元， 由题意知， 整理得，即， 解得， ， 答：当商品降价10元时，4月份销售这种商品能获利13520元，4月份的销量是520件． 【变式10-1】党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动”，某镇深入学习宣传贯彻党的二十届三中全会精神和习近平总书记来闽考察重要讲话精神，扭住建设机制活、产业优、百姓富、生态美的新福建目标不放松，把文旦柚变成农民增收的“致富果”．若文旦柚每袋获利20元，每天可卖出100袋，通过市场调查发现：每袋文旦柚的售价每降低1元，每天的销售量就增加30袋． (1)若每袋文旦柚的售价降低3元，则每天的销售量为 ． (2)某果场为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利4000元，则每袋文旦柚的售价需降低多少元？ 【答案】(1)190 (2)每袋文旦柚的售价降低10元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）利用每天的销售量每袋“文旦柚”的售价降低的钱数，即可求出结论； （2）设每袋文旦柚的售价降低了x元，则每袋文旦柚的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润＝每袋的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1） （袋）， 故答案为：190； （2）设每袋文旦柚的售价降低x元，依题意得： ，   解得， 为了减少库存，x应取10， 答：每袋文旦柚的售价降低10元． 【变式10-2】某种规格的梭子蟹养殖成本为30元/千克，根据市场调查发现，售价为50元/千克时，每天可销售400千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，养殖户采取降价措施，梭子蟹的售价每降低1元，每天销量可增加40千克． (1)当售价降低2元时，养殖户每天可销售 千克梭子蟹； (2)若养殖户每天的利润要达到8840元，并尽可能让利顾客，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低7元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）利用养殖户每天的销量每千克降低的价格，即可得出y关于x的函数关系式，代入可求出y值即可； （2）利用养殖户每天的利润每千克的销售利润日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合要尽可能让利顾客，即可确定x的值，再将其代入中即可求出定价． 【详解】（1）解：设养殖户每天的销量y千克，降价x元，依题意得函数关系为， 当时，， ∴当售价降低2元时，养殖户每天可销售480千克梭子蟹； 故答案为：480； （2）解：依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽可能让利顾客， ∴， 答：售价应降低7元． 【变式10-3】在新冠疫情爆发初期，防护服极度匮乏，某市许多企业都积极地生产防护服以应对疫情，某工厂决定引进若干条防护服生产线．经调查发现：1条防护服生产线最大产能是780件/天，每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天．设该工厂共引进x条生产线． (1)每条生产线的最大产能是_______件/天（用含x的代数式表示）． (2)若该工厂引进的生产线每天恰好能生产防护服6380件，为了尽量控制成本，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】(1) (2)该工厂引进了11条口罩生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可得引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天，进而可得每条生产线的最大产能是（件/天）， （2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20件/天， ∴引进x条生产线每条生产线的最大产能将减少件/天， ∴每条生产线的最大产能是 件/天， 故答案为：； （2）解：根据题意，可列出方程：， 整理得， 解得， ∵为了尽量控制成本， ∴， 答：该工厂引进了11条口罩生产线． 【考点题型十一】有关一元二次方程动点问题 【典例11】如图所示，在中，，、的长分别是方程的两个根，点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动． (1)求的面积为多少？ (2)如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经过几秒钟，的面积等于？ 【答案】(1)24． (2)经过1秒钟，△PBQ的面积等于10cm2． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、三角形的面积以及勾股定理等知识点，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）通过解一元二次方程可求出、的长度，利用勾股定理可求出的长度，再根据三角形的面积公式可求出的面积； （2）设经过t秒钟，的面积等于，则，，根据三角形的面积公式结合的面积等于，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t值，再结合即可确定t值，此题得解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：设经过t秒钟，的面积等于，则 ∴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 答：经过1秒钟，的面积等于． 【变式11-1】如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求：    (1)几秒后，的面积等于 (2)的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1 (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用： （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解． （2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况． 【详解】（1）解：设秒后，的面积等于， 由题意，得：， ∴， ∴的面积， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去， ∴； （2）解：不能，理由如下： 设秒后，的面积等于， 同（1）得：的面积， 整理，得：， ∵， ∴方程无解， ∴的面积不能等于． 【变式11-2】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： (1)经过多长时间，的面积等于？ (2)经过多长时间，的面积等于面积的？ 【答案】(1)经过时，的面积等于 (2)当经过或时，的面积等于面积的 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的，在根据（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）解：点P的速度是，点Q的速度是，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，（舍去）， ∴经过时，的面积等于； （2）解：在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. 解得：或， ∴当经过或时，的面积等于面积的． 【变式11-3】如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)______，______，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． (4)P，Q同时出发，直接写出为何值时，以P，Q，D为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)5 (3)t为或 (4)或2或或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确的列方程； （1）当运动时间为时，根据点和点的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （4）分，，三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， 故答案为：；． （2）依题意得：，解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，如图所示． 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得， 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． （4）解：当时，过P作， 四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过Q作于E， 同理可证：四边形是矩形， ，， ， 在中，， ，即， 解得：或， 当时， 在中，， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或2或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$