清单01 二次根式（8个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单01 二次根式（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】知识点1：二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 1.有最小值，为0 2. 3.的性质 【清单02】 二次根式的乘除法法则 1，二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单03】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单04】 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单05】 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单06】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】二次根式有意义的条件 【典例1】若式子有意义，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式与二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：C． 【变式1-1】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键； 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：， 故答案为： 【变式1-2】在函数中，自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的意义和函数自变量的取值范围，关键是要根据被开方数是非负数列出不等式． 【详解】解：根据题意得： 解得： 故答案为：． 【变式1-3】已知，则的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，求一个数的算术平方根，先根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出x的值，进而求出y的值，再根据算术平方公式的定义即可求出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是， 故答案为:． 【考点题型二】二次根式的性质与化简 【典例2】实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴判断式子的正负、二次根式和绝对值的化简、合并同类项，先由数轴知，，则，再利用二次根式和绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知，，则， ∴ ， 故选：A． 【变式2-1】化简得（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质以及完全平方公式，先化简，得出，则，结合进行化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， 则 ， 故选：A． 【变式2-2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，整式的加减等知识，相距数轴得出，进而得出，，然后根据二次根式的性质、绝对值的意义以及整式的加减法则计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2-3】若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式化简运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的化简运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型三】最简二次根式 【典例3】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解∶A，故该选项不符合题意； B．，该选项不符合题意； C．，故该选项不符合题意； D．是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选∶D． 【变式3-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查最简二次根式的判断．根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，故不是最简二次根式； C、，故不是最简二次根式； D、，故不是最简二次根式； 故选：A． 【变式3-2】已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 【变式3-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 【考点题型四】同类二次根式 【典例4】在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：、，故和不是同类二次根式，不符合题意； B、，故和是同类二次根式，符合题意；     C、，故和不是同类二次根式，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不符合题意；     故选：B． 【变式4-1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式，将各式化成最简二次根式，被开方数相同的即可以合并，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴能与合并的是， 故选：． 【变式4-2】若最简二次根式与可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】如果与是同类二次根式，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类二次根式的定义、二次根式有意义的条件，根据题意得出，求解即可得出的值，再结合二次根式有意义的条件判断即可得解． 【详解】解：由已知，得， 解得或1， 当时，，不合题意， ∴． 故答案为：1． 【考点题型五】二次根式的混合运算 【典例5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序以及化简法则． （1）先计算二次根式乘法，化简绝对值，合并计算即可； （2）先算乘除法，利用完全平方公式展开，再化简，最后合并． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）先计算二次根式的乘法，然后根据二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可； （3）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式5-2】计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据二次根式的乘法运算法则和完全平方公式运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质及乘法运算法则运算，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及实数的混合运算，零指数幂等知识，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点题型六】分母有理化． 【典例6】南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，分子分母同乘以有理化因式是解题的关键． （1）分子分母分别乘以，，即得答案； （2）根据（1）的方法，分别化简，，，，，即得答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）解： ． 【变式6-1】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： (1)化简：________． (2)计算：． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握运算方法与运算顺序是解本题的关键； （1）把分子分母都乘以即可得到答案； （2）把每一项都分母有理化，再计算二次根式的加减运算即可； （3）把每一项都分母有理化，再结合分配律计算二次根式的加减运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； 【考点题型七】二次根式的化简求值 【典例7】已知，； (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求的平方根． 【答案】(1)21 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、分母有理化、估算无理数的大小、平方根等知识点，能求出和的值是解（1）的关键，能估算出x、y的范围是解（2）的关键． （1）先分母有理化求出x、y的值，再求出和的值，最后根据完全平方公式进行变形，代入求出即可； （2）先求出x、y的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）解；∵， ∴ ， ， ∵的小数部分为，的整数部分为， ∴ ，， ∴， ∴的平方根是． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质，因式分解的方法，代入求值是解题的关键． 根据因式分解把括号的分母分解因式，运用乘法分配律展开，通分为同分母分式，根据分式的混合运算法则，能约分的要约分计算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式7-2】已知， (1)求的值 (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算： （1）先进行分母有理化得到，，再求出，，据此根据进行求解即可； （2）根据（1）所求得到，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，，且， ∴， ∴，， ∴ ． 【变式7-3】已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）先求出，，把变形为，利用整体代入求值即可； （2）把变为，利用整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2） ． 【考点题型八】二次根式的实际应用 【典例8】石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 【变式8-1】如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)； (2)阴影部分图形的周长，阴影部分图形的面积 (3) 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据正方形的面积公式结合图形直接求解即可； （2）由（1）所求的长和宽，结合长方形的周长和面积公式求解即可； （3）先求出长方形的长为，宽为，再根据求解即可． 【详解】（1）解：因为两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中， 所以阴影部分图形的长为，宽为； （2）解：阴影部分图形的周长． 阴影部分图形的面积． （3）解：由图2可知，， 长方形的长为，宽为， ． 【变式8-2】如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了算术平方根的定义，长方体的体积公式以及二次根式的运算． （1）根据算术平方根的定义求出大正方形和小正方形的边长，再根据底边边长的表示列式计算即可得解； （2）根据长方体的体积公式列式计算即可求出长方体盒子的体积． 【详解】（1）解：正方形的边长为，， 剪掉小正方形的边长为， 所以，长方体盒子的底面边长为． （2）长方体盒子的体积为． 【变式8-3】【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 二次根式（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】知识点1：二次根式 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有无意义的条件 3.二次根式的性质 1.有最小值，为0 2. 3.的性质 【清单02】 二次根式的乘除法法则 1，二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 4.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 5.二次根式的除法法则的推广 【清单03】最简二次根式 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【清单04】 同类二次根式 1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【清单05】 二次根式的加减 1.二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【清单06】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点题型一】二次根式有意义的条件 【典例1】若式子有意义，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1-1】若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 【变式1-2】在函数中，自变量的取值范围为 ． 【变式1-3】已知，则的算术平方根是 ． 【考点题型二】二次根式的性质与化简 【典例2】实数、在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】化简得（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是 ． 【变式2-3】若，则 ． 【考点题型三】最简二次根式 【典例3】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【变式3-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【考点题型四】同类二次根式 【典例4】在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-1】下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】若最简二次根式与可以合并，则 ． 【变式4-3】如果与是同类二次根式，那么 ． 【考点题型五】二次根式的混合运算 【典例5】计算： (1)； (2)． 【变式5-1】计算： (1) ； (2)； (3)． 【变式5-2】计算下列各题： (1) ； (2)． 【变式5-3】计算： (1)； (2)． 【考点题型六】分母有理化． 【典例6】南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题： 已知，他是这样分析与解答的： ； 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)计算：． 【变式6-1】阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 我们知道平方差公式，当时，有． 在二次根式的计算或化简中灵活地应用平方差公式可使运算过程更简便．例如． 任务： (1)化简：________． (2)计算：． (3)计算：． 【考点题型七】二次根式的化简求值 【典例7】已知，； (1)求的值． (2)若x的小数部分为a，y的整数部分为b，求的平方根． 【变式7-1】先化简，再求值：，其中． 【变式7-2】已知， (1)求的值 (2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【变式7-3】已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【考点题型八】二次根式的实际应用 【典例8】石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【变式8-1】如图1，两张面积分别为和的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片中． (1)图1中阴影部分图形的长为__________，宽为_________． (2)求图1中阴影部分图形的周长和面积． (3)小康将图1中的面积分别为和的正方形纸片重新按照如图2所示的方式摆放，其中长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，求图2中空白部分的面积． 【变式8-2】如图，将一张面积为的正方形纸片沿虚线剪掉四个面积均为的小正方形，并用剩下的部分制作一个无盖的长方体盒子．（结果保留根号） (1)求原正方形纸片的边长． (2)求这个长方体盒子的体积． 【变式8-3】【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$