清单04 锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（华东师大版）

清单04锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；； 【清单02】 锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 【清单03】特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【清单04】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【清单05】 解直角三角形的应用 (1)坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 (3)方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【典例1】在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的定义，画出直角三角形，根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：如图， A.，，结论错误，故不符合题意； B. ，，结论错误，故不符合题意； C.，，结论错误，故不符合题意； D.，，结论正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 【变式1-2】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可； 【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠A=∠DBC， A．=cosA，不符合题意； B．=tanA，不符合题意； C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意； D．=sin∠DBC=sinA，符合题意； 故选： D． 【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanA＝ 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， 由锐角三角函数的定义可得， A.sinA＝，故选项错误，不符合题意； B. cosB＝，故选项正确，符合题意； C. tanB＝，故选项错误，不符合题意； D.tanA＝，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 【考点题型二】已知函数值求边长 【典例2】如图，在中，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质；过A作于D，则，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可得，再根据勾股定理可得，进而可求． 【详解】解：过A作于D，则， ，， ， ， ，， ， 故选：． 【变式2-1】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理．根据题意画图，由，设，，利用勾股定理求出，根据正切定义求解即可． 【详解】解：由题意可画图如下： 在中，，， ． 设，，则， ， 故选：A． 【变式2-2】在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义：邻边比斜边，是解本题的关键．根据三角函数的知识进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ， 解得：， 故选：A． 【变式2-3】如图，在中，是上一点，若，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，由题意及勾股定理得出，，作于，则，证明出是等腰直角三角形，得到，结合正切的定义求出，最后由勾股定理计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：在中，， ，， 如图，作于，则， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， 故选：A． 【考点题型三】求角的函数值 【典例3】已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的余弦值，勾股定理，可根据题意作出直角三角形，设，，利用勾股定理求出，然后根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， 设，， 则， ∴ ． 故选：B． 【变式3-1】已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ，故A正确； ，故B错误； ；故C错误； ，故D错误； 故选：A． 【变式3-2】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 根据题意画出图形，进而得出求出即可． 【详解】解：如图，在中， ，，， ∴． 故选：A． 【变式3-3】在中，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，求余弦值．先由勾股定理求出的长，再根据即可解答． 【详解】∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【考点题型四】同角三角函数的关系 【典例4】若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由tana＝，可得sina=． 【详解】解：∵tana＝， ∴sina＝＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，解题的关键是结合三角函数的定义． 【变式4-1】如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件得出α的度数，再根据特殊角的三角函数值得出cosα的值即可． 【详解】∵α是锐角，sinα＝， ∴α＝60°， ∴cosα＝cos60°＝． 故选：A． 【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 【变式4-2】在Rt△ABC中，已知cosB=，则tanB的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，利用cosB=，表示出三角形各边长，进而得出答案． 【详解】如图所示：∵cosB=，∴设BC=7x，则AB=25x，故AC=24x，则tanB==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系，利用同一未知数表示出各边长是解题的关键． 【变式4-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB＝，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵sin2B+cos2B=1，cosB＝ ， ∴sin2B=1-（ ）2= ， ∵∠B为锐角，∴sinB= ， 故选A． 【考点题型五】互余两角三角函数的关系 【典例5】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，，，设，则，根据余弦的定义即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 设，则， ∴． 故选：A．    【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【变式5-1】在中，，，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据∠A+∠B=90°得出cosB=sinA，代入即可． 【详解】∵∠C=90°，sinA=． 又∵∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA=． 故选A． 【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，注意：已知∠A+∠B=90°，能推出sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB． 【变式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是(   ) A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=， ∴cosA===， ∴∠A+∠B=90°， ∴sinB=cosA=. 故选A. 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键. 【变式5-3】在中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由，，根据锐角三角函数的定义求解即可. ∵， ∴ 故选C. 考点：锐角三角函数的定义 点评：锐角三角函数的定义是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 【考点题型六】特殊角的三角函数值 【典例6】已知是锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用，得出答案． 【详解】解：， ． 故选：C． 【变式6-1】若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．由特殊角的三角函数值，即可得的值． 【详解】解：∵为锐角，且， ∴， ∴由特殊角的三角函数值可知，， 故选：B． 【变式6-2】已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数即可求出角度，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选：C． 【变式6-3】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，根据三角函数值求出角的度数即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 【考点题型七】解直角三角形及应用 【典例7】如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， 对角线平分．， ， ， ，， ， ， ， ， ， ．   故答案为：． 【变式7-2】如图，，垂直于，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形；根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到，根据正切的定义计算即可 【详解】解：， ， ， ， ， 在中， ， ． 故选：C． 【考点题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例8】研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．首先过点作于点，于点，构造矩形，根据、斜坡的斜面坡度，可以求出、的长度，根据在点处测得塔顶的仰角为，可以求出的长度，就是双塔的高度． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 可得四边形为矩形， ，． 斜坡的斜面坡度， ， ， ， 又， ，， ， ， 在中， ，， ， ． 答：双塔的高度是． 【变式8-1】某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 【变式8-2】周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为的山坡爬了300米到达处，紧接着又爬了坡角为的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 【答案】大蜀山的高度约为284米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用中的坡度坡角问题．过点作于，过点作于，于，根据正弦的定义可以分别求出和的长，然后结合矩形的对边相等即可得到答案． 【详解】解：过点作于，过点作于，于，则四边形为矩形， ， 在中，， 则（米）， 在中，， 则（米）， （米）， 答：大蜀山的高度约为284米． 【变式8-3】水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、坡度的定义（是指地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，即坡角的正切值），熟记特殊角的三角函数值和坡度的定义是解题关键． （1）分别过、作下底的垂线，设垂足为、．在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度的值，也就得到了的长；以为底，为高即可求出的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积． （2）在中，由勾股定理求的长，即可得到的长；中，根据、的长即可求得坡角的正切值，即坡面的坡度． 【详解】（1）过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为： ． （2）在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 【考点题型九】解直角三角形的应用-仰角俯角 【典例9】图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿 向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—仰角俯角和坡度坡比问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，由坡度的定义和勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作于交于，四边形、四边形是矩形，求出的长，再由三角函数定义求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 答：到三楼地面的高度为． （2）如图，过点作于点，过点作于交于， 由题意可知，，四边形、四边形是矩形， ，， ， ， 在中，， ， ． 答：日光灯到三楼地面的高度为． 【变式9-1】在数学综合实践活动中，小乐和小夏同学自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，小乐在A处测得山顶C的仰角为；小夏在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，E，N在同一条直线上，求小山的高度．（参考数据：，，） 【答案】小山的高度为105米 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形为矩形，得出米，米，，，设，则米，解直角三角形得出，，根据米，得出，求出，最后得出答案即可． 【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作， 根据题意可得：，， ∴四边形和四边形为矩形， ∴米，米，，， ∴（米）， 设，则米， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵米， ∴， 解得：， ∴米 ∴米． ∴小山的高度为105米． 【变式9-2】小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．          国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． 由题意易得，，然后可设，则有，，进而根据三角函数可建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 设，则有， ∴在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 答：小雁塔的高度的． 【变式9-3】如图，从热气球上测得两建筑物底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为，且点在同一直线上，求建筑物间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解决本题的关键是利用为直角斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出与的长． 【详解】、解：由已知，得， 于点， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 答：建筑物间的距离为． 【考点题型十】解直角三角形的应用-方向角 【典例10】如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 【答案】处距离灯塔的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过作，垂足为，根据题意将和用表示出来，再结合得出方程，求得，在中，利用正弦求出． 【详解】解：如图，过作，垂足为， 根据题意，，，， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：处距离灯塔的距离约为． 【变式10-1】由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，航母再航行海里到达处，此时测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，，，，， 【答案】还需航行的距离的长约为海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 设海里，利用正切的定义用表示出、，根据题意列出方程、解方程即可解答． 【详解】解：由题意可得，， 设海里， 在中，， ， 在中，， ， 由题意得，， 解得: ． 答：还需航行的距离的长约为海里． 【变式10-2】某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题是解直角三角形的实际应用，关键理解方位角，并通过作辅助线把非直角三角形转化为直角三角形是解题的关键．对于非直角三角形问题，常常作垂线转化为直角三角形问题解决． （1）过点C作于点D，分别在和中，解直角三角形即可求得的长； （2）由题意可得及的长，则计算即可求得结果． 【详解】（1）解：过点C作于点D， 由题意得，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故景点B和C处之间的距离为； （2）由题意得：，， ， 即大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04锐角三角函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；； 【清单02】 锐角三角函数的增减性 （1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ； （2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ； （3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 . 【清单03】特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【清单04】解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 【清单05】 解直角三角形的应用 (1)坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 (3)方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°. 注意： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.　　　 　3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【考点题型一】锐角三角函数的定义 【典例1】在中，，，，所对的边分别为a，b，c.下列式子一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．sinA＝ B．cosB＝ C．tanB＝ D．tanA＝ 【考点题型二】已知函数值求边长 【典例2】如图，在中，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【变式2-1】在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在中，，，，则的长为（   ） A．6 B． C．8 D． 【变式2-3】如图，在中，是上一点，若，则的长为（    ）． A．2 B． C． D．1 【考点题型三】求角的函数值 【典例3】已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在中，，，那么（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】同角三角函数的关系 【典例4】若锐角A满足tana＝，则sina的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如果α是锐角，，那么cosα的值是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】在Rt△ABC中，已知cosB=，则tanB的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosB＝，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【考点题型五】互余两角三角函数的关系 【典例5】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在中，，，那么的值等于（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是(   ) A． B． C． D．3 【变式5-3】在中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【考点题型六】特殊角的三角函数值 【典例6】已知是锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若为锐角，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】解直角三角形及应用 【典例7】如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为 ． 【变式7-2】如图，，垂直于，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【考点题型八】解直角三角形的应用-坡度坡角 【典例8】研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 【变式8-1】某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【变式8-2】周末爬大蜀山是合肥市民的一项娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．上个周末小明同学从大蜀山西坡沿坡角为的山坡爬了300米到达处，紧接着又爬了坡角为的山坡148米到达山顶，请计算大蜀山的高度约为多少米．（结果精确到1米，参考数据：，，，，） 【变式8-3】水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． (1)已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ (2)求加固后大坝背水坡面的坡度． 【考点题型九】解直角三角形的应用-仰角俯角 【典例9】图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从三楼到五楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿三楼扶梯到达顶端后又沿 向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方． 已知自动扶梯的坡度为，长度是．（参考数据：） (1)求图中到三楼地面的高度． (2)求日光灯到三楼地面的高度．（结果精确到整数） 【变式9-1】在数学综合实践活动中，小乐和小夏同学自主设计了“测量家附近的一座小山高度”的探究作业．如图，小乐在A处测得山顶C的仰角为；小夏在B处测得山顶C的仰角为．已知两人所处位置的水平距离米，A处距地面的垂直高度米，B处距地面的垂直高度米，点M，E，N在同一条直线上，求小山的高度．（参考数据：，，） 【变式9-2】小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．          国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【变式9-3】如图，从热气球上测得两建筑物底部的俯角分别为和．如果这时气球的高度为，且点在同一直线上，求建筑物间的距离． 【考点题型十】解直角三角形的应用-方向角 【典例10】如图，一艘小船以的速度向正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东方向，航行后到达B处，测得灯塔C在南偏东方向，求B处与灯塔C的距离（结果保留1位小数，参考数据：，，）． 【变式10-1】由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，航母再航行海里到达处，此时测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，，，，， 【变式10-2】某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东，从景点A出发向正北方向步行米到达C处，测得景点B在C的北偏东方向． (1)求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号） (2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数，参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$