上海市崇明区2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

2024学年第一学期高三第一次模拟考试 高三数学 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题） 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】 1.己知集合A={L,2,3,4,5,B={xx>5},则AnB= 2.不等式x-1<0的解为 2x+1 3.若复数z满足2z+z=1+i,其中i是虚数单位，则z= 4.(x-1)的二项展开式中x的系数为 5.双曲线x-上=1的渐近线方程是 4 6.已知x,y为正实数，且满足4x+y=40,则xy的最大值是 7.已知a=0,2),6=(2,k),如果ā∥6，则实数k的值为 8.已知f(x)= 2-1x>关于x的方程f)=2的解x= x-l,x≤1.1 9.在空间直角坐标系中，点(L,2,3)关于xOy平面的对称点的坐标是 10.某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，x,10,8,若这组数据的中位数 和平均数相等，那么x= 1.已知/)=Asin o+君4>00>0)，若函数y=因在区间Q2上有且仅有3个零点 和1个极小值点，则o的取值范围是 12.已知函数y=f(x)的定义域D={1,2,3,4},值域A={5,6,7},则函数y=f(x)为增函数的 概率是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分， 否则一律得零分.】 13,下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是 A.y=x3 B.y=e C.y=lgx D.y=sinx 高三数学共4页第1页 14.己知直线1和平面α，则“I垂直于平面x内的两条直线”是“1⊥a”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C,充要条件 D.既非充分也非必要条件 15.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数， 用y表示绿色骰子的点数，用(x,y)表示一次试验结果，设事件E:x+y=8:事件F:至少 有一颗点数为6：事件G:x>4:事件H:y<4.则下列说法正确的是 A.事件E与事件F为互斥事件 B.事件F与事件G为互斥事件 C.事件E与事件G相互独立 D.事件G与事件H相互独立 16.已知无穷数列{a,},若存在数列(b.}满足对任意正整数m,都有(a-b,)(a1-b)<0,则 称数列{b}是{an}的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列{a},不存在 等差数列{b,},使得{b}是{a}的交错数列：②对任意给定的等比数列{a},都存在等比 数列{b.},使得{b}是{a,}的交错数列.下列结论正确的是 A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】 17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，E、F分别为A,C1、BC的中点，AA1=AB=BC=2, C,F⊥AB. E A (1)求证：C,F∥平面ABE: (2)求点C到平面ABE的距离. 18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分) 在△ABC中，已知点D是BC边上一点，且BD=I,CD=3. (1)若AD⊥BC,且∠ABD=2∠ACD,求AD的长： (2)若∠ABD=55°，∠ACD=32°，求AD的长（结果精确到0.01）. 离三数学共4页第2页 19.(本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小 题满分6分) 王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所 示的频率分布直方图，现将[50,60)记作第一组，[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别记 作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同. (1)估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）： (2)王老师将测试成绩在[80,90)和[90,100]内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀 答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[90,100)]内的概率： (3)己知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分 别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差. ◆频率/组距 0.045 0.020 5060708090100成绩（分） 20.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小 题满分8分) 已知椭圆r:上+亡-1，点万、F分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点5的直线1与椭 43 圆交于A、B两点. (1)若直线I平行于x轴，求线段AB的长： (2)若点A在y轴左侧，且.=号，求直线1的方程： 4 (3)已知椭圆上的点C满足|CA=|CB,是否存在直线I使得△ABC的重心在x轴上？ 若存在，请求出直线1的方程，若不存在，请说明理由。 高三数学共4页第3页 21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小 题满分8分) 定义：若曲线C,和曲线C,有公共点P,且曲线C,在点P处的切线与曲线C2在点P处的切 线重合，则称C,与C,在点P处“一线切” (1)已知圆(x-a)+y2=r2(r>0)与曲线y=x2在点(L,1)处“一线切”，求实数a的值： (2)设f(x)=x2+2x+a,g(x)=m(x+1),若曲线y=f()与曲线y=g(x)在点P处“-线切”， 求实数a的值： (3)定义在R上的函数y=(x)的图像为连续曲线，函数y=f(x)的导函数为y=∫(x), 对任意的x∈R,都有 f'(x≥f(xl o ,成立.是否存在点P使得曲线y=sinx和 曲线y=1在点P处“一线切”？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 高三败学共4页第4页 2024学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准（高中数学） 一、填空题 1.845g:2(20:3. -+i:4.35:5.y=±2x:6.100: 7.4:8.l0g23:9.(1,2,-3):10.8或12：11. 12 二、选择题 13.A:14.B:15.D:16.C 三、解答题 17.(1)解取AB中点G,连接FG,则FGL 4C2分 又CEL AC，所以FG∥CE,a4分 所以四边形FGEC是平行四边形，所以CF∥EG,5分 又EG在平面ABE内，C,F不在平面ABE内，所以C,F∥平面ABE;7分 (2)取AC中点H,连接EH、BH,则EH⊥平面ABC,所以EH⊥BH, 由题意EB=V6,同理EA=V6,义AB=2,所以SABc=V5,2分 因为CC⊥平面ABC,C,F⊥AB,由三垂线定理得CB⊥AB,所以S△MBc=2,4分 设点C到平面ABE的距离为h, 由'cA8E=E-Ac得，SAwEh=SAMc·EH 3 所以h= 45 即点C到平面4BE的距离为 5 7分 18.解（)因为D⊥BC,所以am∠ABD=D,an∠4CD= 1 3 又∠ABD=2∠ACD,所以tan∠ABD=2tam∠ACD 1-tan2∠ACD 4分 2x AD 即AD= 3 解得AD=√56分 (2)在△ABC中，由正弦定理得 BC AC sin∠BAC sin∠ABC 所以AC=BC.sin∠ABC ≈3.281，…4分 sin∠BAC 114 在△ACD中，由余弦定理得 AD=√AC2+DC2-2AC,DC.Cos∠ACD≈1.758分 10a+10b=0.3, a=0.005, 19.解(1)由题意得 100.045+0.020+a)=0.7解 b=0.025 所以平均数等于55×0.05+65×0.25+75×0.45+85×0.2+95×0.05=74.54分 (2)由题意，[80,90)内有8人，[90,100]内有2人 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在[90,100]内的概率 为1-= 45 …4分 (3)设第二组、第四组的平均数与方差分别为x,x,,s,由题意，第二组、第四组分别 有10人和8人，所以成绩在第二组、第四组的平均数x=65x10+83x8.73 10+8 成绩在第二组、第四组的方差 r24-时+立o-1高24-0+G-训2o,-+G-r 引+G-+[+国- 8[0+(65-73f门+号[0+g-739j]-=9 故估计成绩在第二组、第四组的方差是40 3 6分 20.解(1)由题意，F(0-1)、F(1,0),所以直线1的方程是y=1, 代入上x 三1中，得x三士所以AB上34分 4+3 (2)设A(x0,%)x<0),则FA=(,%+I),FA=(x,%-I) 所以F=+0+0w-)-} 3 又学+号=1，所以方所以A点坐标是(C0或-》4分 43 儿yo=±1. 4 所以直线1的方程是y=1或y=x+16分 3 2/4 3》当直线份斜半者在时设直线1的方程为少=红1，代入号号=1冲，为 (3+4k2)+6kx-9=0 设A(x,片)、B(x2,y2)、C(x3,片) 则x+名=4所以AB中点M(3欢4】 -6k 3欢2+4'32+4 又△ABC的重心在x轴上，所以片+片2+=0 8 即k(x+x2)+2+%=0,故y= 3认2+44分 因为CA=|CB,所以MC⊥AB 所C丽=*并g%好怀--列 4 3k 4 =+3+453+4-61)=0 因为x≠0，所以飞=3+4”所以C9北 8 3+4k,3k2+4 8 因为点C在椭圆上，所以3空4+3卫 (- )2( 二=1，解得k=0或k=± …6分 4 3 3 当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为x=0,此时A、B恰为长轴顶点，点C为短轴 顶点，满足题意. 综上所述，存在直线/使得△ABC的重心在x轴上， 其方程为：y=士5 x+1或y=1或x=0. 8分 21.解(1)y'=2x,所以曲线y=x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0, 因为圆(x-a)+y2=r2(口>0)与曲线y=x2在点(1,1)处“一线切”， 所以直线2x-y-1=0与圆(x-)2+y2=r2(r>0)在点(1,1)处相切 0-a)2+1=r2, 所以12a-1。所以a=3.… =r. 4分 314 2设mw小w=2x+2,g)= f(x,)=g(x) x2+2x+a=n(x+) 由题意， 所以 f'(x)=g'(x) 2x+2=1 x0+1 解得a= 11 22 n26分 (3)假设存在P(x,I)满足题意， 则有f(x)sinx=1,对函数y=f(x)sinx求导得：y=f(x)sinx+f(x)cosx, 于是f(x)sinx+f(x)cosx=0,即f(x)sinx=-f(x)cos, 平方得[f(x月sin2x=[f(x)]cos2x,=[f(x)1-sin2x), 即有Vfm%+Vefm%=Uer,因Uf*1=。 整理得[f(x丹+[fx=[fx,而恒有f(x≥/(x成立，则有 [f(x乃≥[fx, 从而[f()川≥2[f,显然f()≠0，于是[fx月≥2，即1fx)V反与 f(x<V5恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点P满足条件8分 4/4