精品解析：重庆市松树桥中学校2024—2025学年上学期第二次阶段性测试八年级数学试题

重庆市松树桥中学校初2026届八年级（上）第二次阶段性测试 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个答案正确，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 第七届重庆市运动会于9月29日在合川闭幕．我区体育健儿在本届市运会上奋力拼搏，取得优异成绩，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（  ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ） A. 5，7，12 B. 7，7，15 C. 6，9，16 D. 6，8，12 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 7. 观察下列图形，第①个图形有2颗棋子，第②个图形有4颗棋子，第③个图形有7颗棋子，第④个图形有11颗棋子，…，按照这个规律，第⑩个图形中棋子的颗数是（ ）颗． A. 56 B. 55 C. 46 D. 45 8. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②④ 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 当________时，分式的值为0． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 13. 在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是____． 14. 若，则n的值是________． 15. 如图，在中，，，点E，F是中线上的两点，则图中阴影部分的面积是_____． 16. 如图，在中，，，，是边上的中线．若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是________． 17. 已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为________． 18. 若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为满足，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数” ，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：满足，则216为“吉祥数”，那么，所以．则最小的“吉祥数”是___________；对于任意一个“吉祥数”m，若能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是___________． 三、解答题（本题共8小题，共78分，第19题8分其余每题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 已知，如图，． （1）用尺规完成以下基本作图，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接（不说明理由，不下结论，只保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：． 涵涵的思路是这样：由垂直平分线的性质得到，从而得到，再证明，从而得到，最后由等量代换可得．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：直线是线段的垂直平分线 ①_______， ②_______， ， ， ③_______， ， ④_______， ， ⑤_______， ． 21. 计算： （1）分解因式：； （2）先化简，再求值：，其中a、b的值满足． 22. 如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）请直接写出点C关于x轴的对称点P的坐标：________； （2）画出关于y轴对称的； （3）在y轴上画出点Q，使的周长最小． （4）求的面积． 24. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． （1）①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． （2）如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 26. 已知在中，，过点C引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：． 小明的做法是：在上取一点E，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 （3）如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市松树桥中学校初2026届八年级（上）第二次阶段性测试 数学试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个答案正确，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 第七届重庆市运动会于9月29日在合川闭幕．我区体育健儿在本届市运会上奋力拼搏，取得优异成绩，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形 ，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形 ，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（ ） A. 5，7，12 B. 7，7，15 C. 6，9，16 D. 6，8，12 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则．需要牢记：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项，不是同类项不能合并；同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算积的乘方时，先把每一个因数乘方，再把所得的幂相乘． 利用同类项的定义、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算即可判断出正确答案． 【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故答案为：D． 4. 使式子有意义的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0列式计算即可． 【详解】解：当有意义时，， 解得， 故选B． 5. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解定义，根据将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解逐个判断即可得到答案； 【详解】解：，故A选项计算错误，不符合题意， ，是整式乘法，不是因式分解不符合题意， ，是因式分解，符合题意， ，右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意， 故选：C． 6. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 7. 观察下列图形，第①个图形有2颗棋子，第②个图形有4颗棋子，第③个图形有7颗棋子，第④个图形有11颗棋子，…，按照这个规律，第⑩个图形中棋子的颗数是（ ）颗． A. 56 B. 55 C. 46 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得到第①个图形中棋子数，第②个图形中棋子数，第③个图形中棋子数，第④个图形中棋子数，，依此找到规律得到第⑩个图形中棋子的颗数． 【详解】解：第①个图形中棋子数， 第②个图形中棋子数， 第③个图形中棋子数， 第④个图形中棋子数， 第n个图形中棋子数为：， 第⑩个图形中棋子数为：， 故选：A． 8. 在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图1、图2所示．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．如图1所示的算筹图表示的方程组是，类似的，图2所示的算筹图表示的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图形，结合题目所给的运算法则列出方程组即可； 【详解】解：由题意可得， 图②所示的算筹图可以表述为：， 故选：B． 9. 如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再求出的度数即可得到答案； 【详解】解：，，， ， 故选：D． 10. 如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③错误，④正确， 故选：D． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 当________时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 13. 在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线得到，根据垂直平分线得到，从而得到，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若，则n的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 15. 如图，在中，，，点E，F是中线上的两点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，然后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴，， ∴与关于轴对称， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，是边上的中线．若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，关键是掌握等腰三角形的轴对称性，点到直线上点的距离，垂线段最短，是解题的关键：根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合点到直线的距离垂线段最短过作边的垂线与，交点即为最小距离和点，即可得到答案； 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴过作边的垂线与交于点，与交于点，此时为最小距离和， ， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 17. 已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解关于x，y的方程组，结合，可求得的取值范围，解关于x的不等式组，根据不等式组无解，可再次可求得的另一取值范围，求解即可得到答案； 【详解】解关于x，y的方程组，得 ， 则， 即 解得， 解关于x的不等式组 由不等式①，得 ， 由不等式②，得， ， 因为关于x的不等式组无解，可得 ， 解得， 综上所述可知 ， ∴所有符合条件的整数a为，，0，1，2，3，4，这些整数的和为，， 故答案为：7． 18. 若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为满足，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数” ，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：满足，则216为“吉祥数”，那么，所以．则最小的“吉祥数”是___________；对于任意一个“吉祥数”m，若能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是___________． 【答案】 ①. 117 ②. 351 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，因式分解，解题的关键是：根据题意最小的“吉祥数”百位上是1，十位上是1，则个位是7即可解答；设，其中，则，表示出，，2，，然后把依次代入找出符合题意得即可解答． 【详解】解：，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小， 百位上是1，十位上是1， 个位是7， 最小的“吉祥数”是 117； 设，其中，则， ， ，且，，均不为0， ，2，， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，能被7整除，符合题意， ， ，，， 或252或351， 当时，，不能被7整除，不合题意， 当时，，不能被7整除，不合题意， 满足条件的“吉祥数” 的最大值是351． 故答案为：117，351． 三、解答题（本题共8小题，共78分，第19题8分其余每题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查了实数的运算，零指数幂，积的乘方逆运算，绝对值化简，先根据积的乘方逆运算及零指数幂化简，去绝对值，再合并即可得到答案； （2）本题考查整式的混合运算，先根据多项式乘以多项式展开，再合并同类项即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知，如图，． （1）用尺规完成以下基本作图，作线段的垂直平分线，交于，交于，连接（不说明理由，不下结论，只保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：． 涵涵的思路是这样：由垂直平分线的性质得到，从而得到，再证明，从而得到，最后由等量代换可得．请根据这个思路补全下面的证明过程． 证明：直线是线段的垂直平分线 ①_______， ②_______， ， ， ③_______， ， ④_______， ， ⑤_______， ． 【答案】（1） 根据基本作图要求，画图如下： 则直线即为所求． （2）, , , , ，见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的基本作图，垂直平分线的性质，等角对等边，直角三角形的性质； （1）根据垂直平分线的基本作图步骤，规范作图即可． （2）根据垂直平分线的性质，结合等角对等边的性质，推理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：直线是线段的垂直平分线 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：, , , , ． 21. 计算： （1）分解因式：； （2）先化简，再求值：，其中a、b的值满足． 【答案】（1）； （2），5； 【解析】 【分析】本题考查因式分解及整式的化简求值： （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得到答案； （2）先化简括号，合并同类项，化到最简，再根据非负式子和为0它们分别等于0求出字母值代入求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴当，时， 原式． 22. 如图，与的顶点A，F，C，D共线，与交于点G，与相交于点H，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明： 即 在和中 （2）1.5． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握和证明三角形全等是解题的关键： （1）先证明，再根据证明； （2）先证明，从而证明，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 又 在和中 ， ． 23. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）请直接写出点C关于x轴的对称点P的坐标：________； （2）画出关于y轴对称的； （3）在y轴上画出点Q，使的周长最小． （4）求的面积． 【答案】（1） （2） 解：由题意可得，点、、如图所示， ， 连接，，，如图所示； （3） 解：如图所示，连接交y轴于一点即为点， ， 连接，，即为最小周长的； （4）； 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键； （1）根据图像得到，结合关于y轴对称的点横坐标互为相反数纵坐标相同直接求解即可得到答案； （2）先根据轴对称的性质分别画出点，，，再顺次连接即可得到答案； （3）根据最短距离和理论，连接交y轴于一点即可得答案； （4）利用割补法直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：由图像可得， ， ∴点关于y轴对称的点坐标为：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由图形可得， ， ． 24. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由题得， ， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，得出，即可证明． （2）根据先证，得出，再根据直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，， ， ． 25. 把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． （1）①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． （2）如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①；②15 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、算术平方根，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）①根据求解即可得； ②根据求解即可得； （2）先求出和，再根据求解即可得． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴ ， 故答案为：15． 【小问2详解】 解：由题意得：，，， ∵， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ． 26. 已知在中，，过点C引一条射线，D是上一点． 【问题解决】 （1）如图1，若，射线在内部，，求证：． 小明的做法是：在上取一点E，使得，再通过已知条件，求得的度数．请你帮助小明写出证明过程； 【类比探究】 （2）如图2，已知，当射线在内，求的度数． 【变式迁移】 （3）如图3，已知，当射线在下方，的度数会变化时？若改变，请求出的度数，若不变，请说明理由． 【答案】 （1）证明：如图1，在上取一点E，使， ， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）；（3）会变化，； 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质证明，进而得出答案； （2）在上取一点使，然后证明，进而得出答案； （3）在延长线上取一点使，同理证明，进而得出答案； 【详解】（1）略 （2）证明：在上取一点E，， ， ，， ，， ， ， ， 即， 在和中， ， ； （3）的度数会变化，理由如下： 在延长线上取一点E，使得， ， 同理①的方法可证：， ， ； 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $