交轨法求轨迹教案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

交轨法求轨迹 【方法论述】 求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立动曲线间的联系，再消去参数得到轨迹方程，称之为交轨法. 【典例剖析】 例1（人教A版《选择必修1》P137例6） 如图，已知定点B(a, -h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程. 解：设点，，其中，则点的坐标为. 由题意，直线的方程为. ① 因为点在上，将点的坐标带入①，得，② 所以点的横坐标满足②. 直线的方程为， ③ 因为点在上，所以点的坐标满足③. 将②带入③，消去，得， 即点的轨迹方程. 例2（人教A版《选择必修1》P108例3） 如图，设两点的坐标分别为.直线相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程. 解：法一（直接法） 设点的坐标为，因为点的坐标为，所以直线的斜率 同理，直线的斜率 由已知，有 ， 化简，得点的轨迹方程为 点的轨迹是除去两点的椭圆. 法二（交轨法） 设直线的斜率分别为，则, 直线的方程为①， 直线的方程为②， 得，即，变形得③ 点的坐标满足方程①②，从而满足方程③， 点的轨迹方程为 点的轨迹是除去两点的椭圆. 【练习巩固】 1. （人教A版《选择必修1》P121探究） 2.（椭圆双曲线第二定义） 设两点的坐标分别为.直线相较于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程. 3.（2024年秋季鄂东南教改联盟高二期中联考题19题节选） 在平面坐标系中，已知直线，点为和的交点，求点的轨迹方程. 4.已知抛物线，过点作一条直线交抛物线与两点，试求弦中点的轨迹方程. 【参考答案解析】 1. 设直线的斜率分别为，则, 直线的方程为①， 直线的方程为②， 得，即，变形得③ 点的坐标满足方程①②，从而满足方程③， 点的轨迹方程为 点的轨迹是除去两点的双曲线. 2. 设直线的斜率分别为，则, 直线的方程为①， 直线的方程为②， 得，即，变形得③ 点的坐标满足方程①②，从而满足方程③， 点的轨迹方程为 点的轨迹是除去两点的圆（椭圆或双曲线）. 当时，轨迹为圆； 当且s时轨迹为椭圆； 当时轨迹为双曲线. 3.直线 可化为， 两式相除消去整理得， 显然点不能为点， 故点的轨迹方程为. 4.设弦的中点为，设的坐标分别为， 当斜率存在时，设其斜率为，直线的方程为，显然 由消去得，则， 设点坐标为，则，即， 又点坐标为满足直线的方程， 由消去得即， 当斜率不存在时，易得点,亦满足上式，弦中点的轨迹方程为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$