期末模拟测试卷02-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

2024-2025学年高一数学上学期期末模拟测试卷02 一、填空题 1． .（用符号“”或“”填空） 2．不等式的解集为 . 3．已知a、，用反证法证明命题：“若，则a、b全为零”时的假设是 ． 4．函数的严格减区间是 . 5．若，，则 .（结果用、表示）. 6．已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为 . 7．函数的图象恒过定点 . 8．若幂函数在上是严格增函数，则实数 9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ． 10．已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为 ． 11．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 12．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数： ①；②；③； 具有性质的函数为 （填写所以正确答案的序号） 二、单选题 13．已知都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 15．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 16．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（    ） A．在上是严格增函数 B．若，则 C．若，则 D．函数的最小值为2 三、解答题 17．已知全集为，集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数m的取值范围． 18．设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 19．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券.已知每投放亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比随着时间（天）的变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和. (1)若第一次投放亿元消费券，则接下来哪段时间内能使消费总额至少提高？ (2)政府第一次投放亿元消费券，天后准备再次投放亿元的消费券，将第二次投放消费券后过了天时全市消费总额提高的百分比记为.若存在，使得，试求的最小值. 20．已知函数 （1）当，时，解关于的方程； （2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式； （3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 21．若函数对定义域内的任意x都满足，则称具有性质． (1)判断是否具有性质M，并证明在上是严格减函数； (2)已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左边），验证函数具有性质并证明； (3)已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期期末模拟测试卷02 一、填空题 1． .（用符号“”或“”填空） 【答案】 【分析】根据实数的定义及集合与元素的关系判断即可. 【解析】解：. 故答案为：. 2．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用分式不等式的解法求解即可. 【解析】因为， 所以，则，即，故， 所以，解得，故， 所以的解集为. 故答案为：. 3．已知a、，用反证法证明命题：“若，则a、b全为零”时的假设是 ． 【答案】“若，a不为零或b不为零”. 【解析】由反证法思路，条件成立时否定原结论，然后证明与条件矛盾的结果，说明原结论成立，即可知命题的假设. 【解析】命题“若，则a、b全为零”，应用反证法时，假设的命题为“若，则a不为零或b不为零”， 故答案为：a不为零或b不为零. 【点睛】本题考查了反证法的思路，条件不变否定结论，属于简单题. 4．函数的严格减区间是 . 【答案】 【解析】先由函数解析式，求出定义域，再由对数型复合函数单调性的判定方法，即可求出减区间. 【解析】由可得，解得，即的定义域为， 令，则是开口向下，对称轴为的二次函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以函数的严格减区间是. 故答案为： 5．若，，则 .（结果用、表示）. 【答案】 【分析】根据对数公式化简求解. 【解析】 故答案为： 6．已知偶函数部分图象如图所示，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据为偶函数，可以补全y轴左侧的图象，再对和分类讨论，确定的正负，由函数图象即可确定最后的取值范围 【解析】根据函数部分图象和偶函数可以补全y轴左侧的图象， 由， 当时，，结合图象可得； 当时，，可得， 所以的解为或. 故答案为：. 7．函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据过定点可得函数的图象必过定点. 【解析】因为，， 所以，当时，总有， ∴必过点， 故答案为：． 8．若幂函数在上是严格增函数，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质分析求解. 【解析】由题意可得：，解得或， 若，则在上是严格减函数，不合题意； 若，则在上是严格增函数，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 9．若存在实数使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用 【解析】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，. 考点：含绝对值的不等式的解法. 【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 10．已知为R上的奇函数，且，当时，，则的值为 ． 【答案】/-0.8 【分析】由题设条件可得的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有，根据已知解析式求值即可. 【解析】由题设，，故，即的周期为2， 所以，且， 所以. 故答案为：. 11．设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【答案】 【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标. 【解析】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，因为点在函数的图像上， 所以，， 所以，所以， 解得，所以点的横坐标为. 故答案为： 12．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数： ①；②；③； 具有性质的函数为 （填写所以正确答案的序号） 【答案】①③ 【分析】对于①取验证；对于②直接代入化简求值； 对于③取验证. 【解析】①当时，得 ，，则成立； ②假设成立，则， 此时矛盾，故不成立； ③当时， ，，则成立. 故具有性质的函数为①③. 故答案为：①③. 二、单选题 13．已知都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【解析】由题意当时，由推不出，此时； 当时，，则可得， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 14．设函数是R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减区间，分析可得答案. 【解析】根据题意，设，则， 所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 即时，，此时函数在上单调递减，在单调递增； 当时，，此时函数在上单调递增，在单调递减； 所以函数在上单调递减， 若，即，又由，且，必有时，， 解得：，所以不等式的解集为. 故选：. 【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下： （1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性； （2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系. 15．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项. 【解析】由得的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，排除A，D；由题易知，图中两条虚线的方程为，则当时，，排除C，所以B选项符合. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题. 16．已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（    ） A．在上是严格增函数 B．若，则 C．若，则 D．函数的最小值为2 【答案】A 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答. 【解析】任意，恒成立， 且，假设，则有， 显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，， 取，有，则，于是得，， ，，， 对于A，函数，，， 并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，A不正确； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，而，有，又，因此，C正确； 对于D，，，则有， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D正确. 故选：A 【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可. 三、解答题 17．已知全集为，集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求解集合，依据交集、并集、补集的定义逐一计算即可； （2）讨论和两种情况下的范围，取并集得出结果. 【解析】（1）集合， 当时，． 所以，或，． （2）因为， 当时，，成立； 当时，，，解得：， 综上，，所以实数的取值范围是． 18．设函数，其中. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若，记，求证：函数在上有零点. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据求出，在验证时，为偶函数即可； （2）利用结合零点存在性定理即可证明. 【解析】（1）若函数是偶函数，则，即， 所以或，所以， 此时，，满足为偶函数， 所以. （2）因为, 所以，， 因为，所以，， 所以，， 所以当时，恒成立， 故函数在上有零点. 19．某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券.已知每投放亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比随着时间（天）的变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放消费券，则某一时刻全市消费总额提高的百分比为每次投放的消费券在相应时刻对消费总额提高的百分比之和. (1)若第一次投放亿元消费券，则接下来哪段时间内能使消费总额至少提高？ (2)政府第一次投放亿元消费券，天后准备再次投放亿元的消费券，将第二次投放消费券后过了天时全市消费总额提高的百分比记为.若存在，使得，试求的最小值. 【答案】(1)接下来的天内，能使消费总额至少提高 (2) 【分析】（1）将问题转化为，分别在各段区间内解不等式即可求得结果； （2）分别表示出第一次投入和第二次投入带来的消费总额提高的百分比，由此可得，由可分离变量得到有解，令，，结合对勾函数单调性可确定的最小值，即的最小值，进而得到结果. 【解析】（1）当时，；若，则； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，不成立； 综上所述：，即接下来的天内，能使消费总额至少提高. （2）记第一次投放亿元优惠券对全市消费总额提高的百分比，第二次投放亿元对对全市消费总额提高的百分比为， 当时，，， 则有解， 即有解； 令，则，， 令， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，即， ，则的最小值为. 20．已知函数 （1）当，时，解关于的方程； （2）若函数是定义在上的奇函数，求函数解析式； （3）在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值； （2）利用奇函数的性质直接求解； （3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值. 【解析】（1）当，时，． 即， 解得：或（舍去），∴； （2）若函数是定义在上的奇函数， 则，即 即恒成立， 解得：，，或， 经检验，满足函数的定义域为， ． （3）当时，函数满足， ∴，则 不等式恒成立， 即恒成立 即恒成立， 设，则，即，恒成立， 由平均值不等式可得：当时，取最小值． 故，即实数m的最大值为． 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 21．若函数对定义域内的任意x都满足，则称具有性质． (1)判断是否具有性质M，并证明在上是严格减函数； (2)已知函数，点，直线与的图象相交于两点（在左边），验证函数具有性质并证明； (3)已知函数，是否存在正数，当的定义域为时，其值域为，若存在，求的范围，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)具有，证明见解析； (2)证明见解析； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据具有性质的定义判断即可，结合单调性的定义证明即可； （2）根据具有性质的定义判断即可，再根据得，进而根据两点间的距离公式作差法比较即可； （3）根据题意，分或，结合函数单调性讨论求解即可. 【解析】（1）解：因为，所以函数具有性质， 任取， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以，在区间上单调递减. （2）解：因为，所以具有性质， 由性质得或，解得或， 因为，，所以， 所以，， 所以， 当，，当且仅当时取等号，且， 所以， 所以，即. （3）解：注意到，由于均为正整数， 所以，要使存在正数，当的定义域为时，其值域为，则或， 当， 因为为单调递减函数， 所以，其值域为， 所以， 所以，即，整理得，即，与定义域为矛盾； 当时， 因为为增函数， 所以，其值域为， 所以，即 所以，即，与定义域为矛盾； 综上，不存在正数满足条件. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合函数，均为正整数得到或，进而分类讨论求解即可. 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