期末模拟测试卷01（测试范围：必修第三册+空间向量+数列）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟测试卷01 测试范围：必修第三册+空间向量+数列 一、填空题 1．空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 2．已知球的半径为3，则该球的体积为 . 3．已知一组样本数据5､2､3､6，则该组数据的第70百分位数为 ． 4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ． 5．如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是 . 6．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 . 7．已知为等比数列，，，则 . 8．某地一年内各月的平均气温均在到的范围内，各月的平均气温的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 . 9．直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 10．设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 11．如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    12．等差数列满足，则的最大值为 ． 二、单选题 13．下列条件中，能够确定一个平面的是（    ） A．两个点 B．三个点 C．一条直线和一个点 D．两条相交直线 14．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为（    ）    A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 15．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 16．在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题 17．如图，在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求二面角的大小.（结果用反三角表示） 18．某班共50名学生，根据他们一次平时测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．已知分数为的矩形面积为0.16．    (1)求分数在内的学生人数并计算这次测试的平均成绩； (2)以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在和范围内共抽取了5人，求从这5人中随机选取2人，这2人中至少有1人分数在内的概率． 19．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)求直线与平面所成角的取值范围. 21．设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若数列，，判断和是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值； (3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟测试卷01 测试范围：必修第三册+空间向量+数列 一、填空题 1．空间中垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是 . 【答案】平行 【分析】利用线面垂直的性质定理可得结论. 【解析】由线面垂直的性质定理可知，空间中垂直于同一条直线的两个平面平行. 故答案为：平行. 2．已知球的半径为3，则该球的体积为 . 【答案】 【分析】根据球的体积公式计算可得； 【解析】解：因为球的半径，所以球的体积； 故答案为： 3．已知一组样本数据5､2､3､6，则该组数据的第70百分位数为 ． 【答案】5 【分析】首先计算指数，再由百分位数的定义可得答案. 【解析】解：这组样本数据5､2､3､6，从小到大排列为2、3、5、6， 又， 则该组数据的第70百分位数为第3个数5， 故答案为：5. 4．已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，可得两平面的法向量共线，再根据空间向量的共线定理即可得解. 【解析】因为， 所以两平面的法向量共线， 所以存在唯一实数，使得， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 5．如下图，三角形A'B'C'是三角形 ABC的直观图，则三角形 ABC的面积是 . 【答案】2 【分析】画出原图形可得答案. 【解析】由直观图画出原图，如图， 可得是等腰三角形，且， 所以三角形的面积. 故答案为:2. 6．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为 . 【答案】 【解析】试题分析：由题意得，所以圆柱的表面积为 考点：圆柱的表面积 7．已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【解析】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 8．某地一年内各月的平均气温均在到的范围内，各月的平均气温的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 . 【答案】 【分析】将数据从小到大排列后即可得中位数. 【解析】将数据从小到大排列得， 则其中位数是. 故答案为：. 9．直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 10．设、为两个随机事件，给出以下命题： （1）若、为互斥事件，且，，则； （2）若，，，则、为相互独立事件； （3）若，，，则、为相互独立事件； （4）若，，，则、为互斥事件； 其中正确命题的个数为 . 【答案】3 【分析】根据互斥事件的加法公式，易判断（1）的正误；根据相互对立事件的概率和为1，结合相互独立事件，的概率满足，可判断（2）、（3）的正误；根据独立事件与互斥事件的性质，可判断（4）的正误.． 【解析】若，为互斥事件，且，， 则，故（1）错误； 若，，，则， 则由相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（2）正确； 若，，所以， 又，则， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知，为相互独立事件，故（3）正确； 若，， 又，所以， 则事件，不能同时发生，故事件，为互斥事件，故（4）正确； 综上，正确命题的个数为3 . 故答案为：3. 11．如图所示，在直角梯形中，，，，．将折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转面的面积是 ．    【答案】 【分析】根据旋转体在性质，结合圆锥和圆台的侧面积公式即可求解. 【解析】过作于点， 由于，，，， 所以，进而，故 因此，又，所以四边形为直角梯形， 所以折线绕着所在直线旋转一周形成的旋转体为：以绕形成的圆锥和以梯形绕着形成的圆台，挖去以绕形成的小圆锥，如图示：, 故表面积为, 故答案为：    12．等差数列满足，则的最大值为 ． 【答案】50 【分析】根据题意分析可知：存在，使得或，以为例，设等差数列的公差为，结合绝对值不等式的性质分析可知：，且，进而可得，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解. 【解析】若对任意，恒成立，则， 可得， ， 显然两者不相等，不合题意； 同理可得对任意，恒成立也不合题意； 所以等差数列一部分为正，一部分为负， 即存在，使得或， 若，可得， 且 ， 当且仅当时，等号成立， 即，解得； 且 ， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 综上所述：，即满足条件的必为偶数， 结合等号成立条件可知：且， 设等差数列的公差为，则，，， 即，，， 可得， 则 ， 可得，解得， 且，即有的最大值为，的最大值为； 同理可得：当，的最大值也为. 故答案为：50. 【点睛】关键点睛：1.根据的符号性分析可得存在，使得或； 2.根据绝对值不等式分析可得，且. 二、单选题 13．下列条件中，能够确定一个平面的是（    ） A．两个点 B．三个点 C．一条直线和一个点 D．两条相交直线 【答案】D 【分析】两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，可判断A；若三个点共线，则不能确定一个平面，可判断B；若点在直线上，则一条直线和一个点不能确定一个平面，可判断C；两条直线能确定一个平面，可判断D. 【解析】解：对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面； 对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，故B不能； 对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，故C不能； 对于D，两条相交直线能确定一个平面，故D能. 故选：D. 14．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为（    ）    A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义即可结合图形关系求解. 【解析】在题图②④中，直线GH，MN是异面直线； 在题图①中，由G，M均为所在棱的中点，易得； 在题图③中，连接GM，由G，M均为所在棱的中点，所以,且，易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交．    故选：D． 15．已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误. 【解析】设其他48个数据依次为， 则，因为， 因此平均数不变，即；又由方差计算公式可知：， ， 注意到，则. 故选：C. 16．在长方体中，，，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：①无论取何值，都存在点，使得；②无论取何值，都不存在点，使得直线平面．则（    ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【分析】根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可. 【解析】 如图所示，假设在长方形中必存在使得， 又易知平面，平面， 所以， 因为平面，所以平面， 又，则平面， 因为平面，所以，即存在使得， 但若，如下图所示，不妨设， 过作交直线于P，过作， 易得，所以， 又，则， 则在延长线上，此时①不成立； 易知与不垂直，，所以与不垂直， 又平面，所以不垂直于平面，即②成立 故选：C 三、解答题 17．如图，在正四棱锥中，，.    (1)求四棱锥的表面积； (2)求二面角的大小.（结果用反三角表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接底面对角线，得到相互垂直平分，在正棱锥中顶点和底面中心的连线垂直底面，所以得到直角三角形，利用勾股定理求出棱锥的高，再在侧面上由三垂直即可得到高，并求出高的值，得到侧面面积，从而求出四棱锥的表面积； （2）由（1）得到三垂直，由此建立空间直角坐标系，由（1）中线段长得到点的坐标，利用空间向量求出面的法向量，然后求得二面角的余弦值，从而得到角. 【解析】（1）如图：连接，相交于点，连接，取中点，连接，    在正四棱锥中，平面，为、中点， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为为中点，为中点，所以， 在正方形中，，在中， 在中， 因为在正四棱锥中，，所以， 所以， 所以四棱锥的表面积： （2）由（1）可知，，，所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系，    由（1）可知，，，， 所以，，，， 设分别为平面和平面的一个法向量， 所以，令，则，即 所以，令，则，即 设为二面角，由图形可知为钝角， 所以 ， 所以. 18．某班共50名学生，根据他们一次平时测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．已知分数为的矩形面积为0.16．    (1)求分数在内的学生人数并计算这次测试的平均成绩； (2)以频率估计概率，已知在全校学生中采用分层抽样在和范围内共抽取了5人，求从这5人中随机选取2人，这2人中至少有1人分数在内的概率． 【答案】(1)3人，76.2分 (2) 【分析】（1）计算出分数为的频率，进而求出分数在的频率，得到该分数段的学生人数，并计算出平均成绩； （2）根据分层抽样特征求出和抽出的人数，列举出共有的情况和2人中至少有1人分数在内的人数，求出相应的概率. 【解析】（1）分数为的频率为0.16， 故分数在的频率为， 故分数在内的学生人数为； 这次测试的平均成绩为 分. （2）在和相应的频率之比为， 故内抽到的学生人数为，设为， 内抽到的学生人数为，设为， 故从这5人中随机选取2人，共有以下情况， ，共10个， 其中这2人中至少有1人分数在内的有 ，共9个， 故这2人中至少有1人分数在内的概率为. 19．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上.    (1)若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； (2)规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】(1)陀螺体积、表面积分别为，； (2)(). 【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【解析】（1）令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. （2）令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 20．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)求直线与平面所成角的取值范围. 【答案】(1)证明详见解析 (2)存在，且 (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）根据向量法列方程，从而求得. （3）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围. 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. （3）， 设， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， 由于， 所以， 所以. 21．设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若数列，，判断和是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差．若是“数列”，求的值； (3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立． 【答案】(1)是“数列”，不是“数列”，理由见解析； (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）对于，求出，故总存在正整数，此时，故是“数列”；对于可举出反例； （2）当时，根据得到方程，解得，又，为正整数，故只有时，才满足要求，再利用数学归纳法进行证明； （3）等差数列，设公差为，则，令，证明出和是“数列”即可. 【解析】（1）对于，当时，， 当时，， 又，即也满足， 综上，， 对于任意的正整数，总存在正整数，此时， 故是“数列”； 对于，设前项和为， 则， 假设对任意的正整数，总存在正整数，使得， 即，对于，此时，解得，不是正整数， 故假设不成立，即不是“数列”. （2）是等差数列，其首项，公差， 故，， 对任意的正整数，总存在正整数，使得， 即， 当时，，此时只需， 当时，，解得， 又，故,为正整数，故,故时 当时，， 下面证明恒为正偶数， 当时，，满足要求， 假设当时，为正偶数， 则当时， ， 由于和均为正偶数，故为正偶数，满足要求， 所以恒为正偶数，证毕. （3）等差数列，设公差为， 则， 令， 则，下证和是“数列”， 设前项和为，则，， 故对任意的正整数，总存在正整数，使得， 所以是“数列”， 设的前项和为，则，， 故对任意的正整数，总存在正整数，使得， 总存在两个“数列”和，使得成立 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 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