期末模拟测试卷02（测试范围：必修第三册+空间向量）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟测试卷02 测试范围：必修第三册+空间向量 一、填空题 1．二面角的平面角的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二面角的取值范围可得结果. 【解析】二面角的平面角的取值范围是. 故答案为：. 2．若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空） 【答案】 【分析】由平面的基本定理判断即可. 【解析】直线与直线外的一点可以确定一个平面， 所以点A与直线的位置关系是点， 故答案为： 3．已知向量与，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量的坐标运算可得，即可得数量投影. 【解析】因为与，则， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：. 4．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 ． 【答案】 【分析】根据分层抽样的概念计算出答案. 【解析】由分层抽样得到讲师应抽取的人数为. 故答案为：12 5．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意列出参加晚会的所有情形，利用古典概型计算即可. 【解析】不妨记三人为甲，乙，丙， 则所有参加晚会的情形有：①只去一人，甲，乙，丙；②去两人，甲乙，甲丙，乙丙； ③去三人，甲乙丙；共计7种情形， 所以恰有1人去的概率为. 故答案为： 6．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ． 【答案】 【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数. 【解析】图中成绩低于60分的频率为， 则该校成绩低于60分的学生人数为（人） 故答案为： 7．已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【解析】如图所示， . 故答案为：. 8．如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 【答案】 【分析】证明线面平行，得到点到平面的距离等于到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，故的长即为到平面的距离，结合，，利用勾股定理等知识进行求解. 【解析】因为，平面，平面， 所以平面， 即点到平面的距离等于到平面的距离， 过点作⊥于点， 因为平面，平面， 所以， 又⊥，，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故的长即为到平面的距离， 因为，，故， 则. 故答案为： 9．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【解析】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 10．已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，作出图形，求出正的高即可计算得解. 【解析】令正的中心为，连接，由平面，得是直线与底面所成的角， 即，而平面，则有，， 因此正边上的高， 所以正的边长为. 故答案为： 11．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意在球中讨论，结合空间向量数量积的应用可求出最值. 【解析】因为空间向量，，，是单位向量， 所以把向量，，，平移到以为起点，终点在半径为的球面上，如图： 由，得，所以，同理， 令，则，， 根据，两边同时平方解得，， 所以绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面， 因为， 所以，则， 观察图形得当旋转到平面内时，向量与的夹角最小， 令此最小角为，则， 则， ， 所以的最大值是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，解答本题的关键点是将这四个单位向量转化到球中去，结合图形更易判断，求出向量间的夹角，最后结合两角差的余弦值可求得最终结果. 12．如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 【答案】/0.5 【分析】先作出辅助线，得到面面平行，故平面即为平面，平面即为平面，计算出，，，计算出. 【解析】取的中点，的中点，的三等分点分别为， 其中靠近，连接，， 由中位线可知， 因为平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面， 且到平面的距离，到平面的距离，平面与的距离，三者相等， 故平面即为平面，平面即为平面， 故，， 设四面体的体积为， 由于，， 故点到底面的距离为点到平面的距离的， 故，同理可得， 故， 所以. 故答案为： 二、单选题 13．设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】由空间中线面的位置关系逐项判断即可. 【解析】两条平行线中有一条和平面垂直，那么另外一条也和该平面垂直，故A正确； 由于垂直于同一个平面的直线平行可知B正确； 若，，则或，故C错误； 若，，则，故D正确； 故选：C 14．为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（    ） ①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；③这组数据的中位数为31或33；④这组数据的第60百分位数与众数相同. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】计算该组数据前四个和后四个的极差，及方差，中位数，第60百分位数，众数来判断命题的正误. 【解析】前4天的极差为，后4天的极差为，所以①正确； 前4天的平均数为，方差为，后4天的平均数为，方差为，所以②错误； 数据从小到大排列为17，23，26，30，31，33，33，36，42，106，中位数为，所以③错误； 数据的第60百分位数为，众数也为33，所以④正确，正确的有两个. 故选：C. 15．如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答. 【解析】在长方体中， ，当是与的交点时，平面，与相交，A不是； 当点与重合时，平面，与相交，B不是； 当点与重合时，因为长方体的对角面是矩形，此时，C不是； 因为平面，平面，而平面，因此与是异面直线，D是. 故选：D 16．已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 【答案】A 【分析】对于命题甲，连接三点，求解截面积，判断真假；对于命题乙，分类讨论水平面经过点的个数，结合体积公式以及基本不等式运算求解. 【解析】对于命题甲，过三点的截面，连接 可得如图所示，可得，与之间的距离为， 则截面积, 故甲是真命题; 对于命题乙，1.当处的小孔都在水平面时，则三棱台, 则所以容器所装水的多面体的体积, 2.当只有1个小孔在水平面上方时， （1）当处的小孔在水平面上方时，如图；当处的小孔在水平面上方时，如图；显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大， （2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为， ①当在线段上时，如图，设，，则， 因为正方体的体积为， 棱台的体积为， 可得，当且仅当，即时取等号， 所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于. ②当在线段上时，如图，设，的中点为， 可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同， 可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同， 所以三棱柱的体积为， 此时该容器可装水的体积为. 综上所述：该容器可装水的最大体积为6. 故命题乙是真命题. 故选：A. 【点睛】分类讨论水平面经过点，的个数，结合图形分析求解. 三、解答题 17．如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【解析】（1）. （2）由题意：，，， ， 所以. 18．如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明侧面，再根据面面 垂直的判定定理即可得证； （2）先证明侧面，则即为与侧面所成角的平面角，再解即可. 【解析】（1）因为面，面， 所以， 又侧面， 所以侧面， 又因为侧面， 所以侧面侧面； （2）因为，为的中点， 所以，， 因为侧面，侧面， 所以， 又因为侧面， 所以侧面， 所以即为与侧面所成角的平面角， 在中，， 在中，，所以， 在中，，所以， 即与侧面所成角的大小为． 19．COP15大会原定于2020年10月15－28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11－24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》､《遗传资源议定书》缔约方会议．为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采．会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：    (1)求的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数. (2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图： ①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求的值； ②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是这组的概率． 【答案】(1)，中位数为65，平均数63.6 (2)①；② 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，确定前三组频率之和，再计算中位数和平均数即可. （2）根据平均数的公式计算得到，根据分层抽样的比例关系得到人数，列举出所有事件，统计满足条件的事件，得到概率. 【解析】（1），解得， 前三组频率之和， 设中位数为，则，解得，所以中位数为65； 平均数为： . （2）①，解得， ②两组频率比为， 故组中所抽取2人编号为，组中所抽取4人标号为， 则基本事件如下： ，共15个． 所抽取2人都在的基本事件有6个，所以概率． 20．如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）不共面，证明见解析 (2)存在，证明见解析 【分析】（1）（i）由线面垂直的性质可得，然后由面面垂直的判定可证，（ii）利用反证法，假设不共面，利用面面平行的性质推出矛盾，进而得到结论正确； （2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用线面平行的定义得证. 【解析】（1）（i）由平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）不共面， 假设共面于， 由四棱柱，得平面平面， 又平面，平面，所以， 又，所以，又，即， 又，且，， 从而四边形为矩形，与矛盾! 所以不共面； （2）取的中点，连接并延长交于， 因为，，所以为的中点，， 因为平面，平面，所以平面， 由是的中点，平面，平面 ， 所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 21．如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面平面时，点P到平面ABCM的距离最大，利用勾股定理求解即可； （2）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，从而得到； （3）作出辅助线，得到为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到 ，结合的取值范围求出余弦值的最小值即可. 【解析】（1） 由题意可知，当平面平面时， 点P到平面ABCM的距离最大， 因为，，点是边的中点， 所以，取的中点为，连接， 则，又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以P到平面ABCM的最大距离为. （2） 取中点，连接，， 则因为为中点，所以为的中位线， 所以且， 因为为的中点，四边形为矩形， 所以且， 所以且， 故四边形为平行四边形， 所以. （3）连接， 因为，所以， 所以为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 过作于点，由题意得平面， 设，所以，， 所以，所以， ， 设平面的法向量为， 则， ， 令，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 可得， 令，则， 设两平面的夹角为， 则 ， 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为. ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期末模拟测试卷02 测试范围：必修第三册+空间向量 一、填空题 1．二面角的平面角的取值范围是 . 2．若点与直线确定一个平面，则点与直线的位置关系是点 直线（用“”、“”、“”填空） 3．已知向量与，则在方向上的数量投影为 ． 4．某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为1：4：3：2，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，讲师应抽取的人数为 ． 5．三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 6．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ． 7．已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 8．如图，平面.正方形的边长为，，则到平面的距离是 . 9．已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 10．已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是 ． 11．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 12．如图，对于一个给定的四面体.存在四个依次排列且互相平行的平面、、、，使得.且其中每相邻的两个平面间的距离都相等.记四面体夹在平面与之间的体积为，则 . 二、单选题 13．设为两条不同的直线，为平面，则下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 14．为调研某地空气质量，连续10天测得该地的日均值（单位为），依次为，则下列四个结论中正确的个数为（    ） ①前4天的极差大于后4天的极差；②前4天的方差小于后4天的方差；③这组数据的中位数为31或33；④这组数据的第60百分位数与众数相同. A．0 B．1 C．2 D．3 15．如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（    ） A． B． C． D． 16．已知正方体是一个棱长为2的正方体容器，，分别为，的中点，下列选项中正确的是（    ） 命题甲：过，，三点的截面面积为. 命题乙：若，，为三个小孔（孔的大小忽略不计），则此时容器的最大装水量为6 A．命题甲和命题乙都为真命题 B．命题甲和命题乙都为假命题 C．命题甲为真命题，命题乙为假命题 D．命题甲为假命题，命题乙为真命题 三、解答题 17．如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 18．如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 19．COP15大会原定于2020年10月15－28日在昆明举办，受新冠肺炎疫情影响，延迟到今年10月11－24日在云南昆明举办，同期举行《生物安全议定书》､《遗传资源议定书》缔约方会议．为助力COP15的顺利举行，来自全省各单位各部门的青年志愿者们发扬无私奉献精神，用心用情服务，展示青春风采．会议结束后随机抽取了50名志愿者，统计了会议期间每个人14天的志愿服务总时长，得到如图的频率分布直方图：    (1)求的值，估计抽取的志愿者服务时长的中位数和平均数. (2)用分层抽样的方法从这两组样本中随机抽取6名志愿者，记录每个人的服务总时长得到如图所示的茎叶图： ①已知这6名志愿者服务时长的平均数为67，求的值； ②若从这6名志愿者中随机抽取2人，求所抽取的2人恰好都是这组的概率． 20．如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点. (1)在四边形内，过点作，垂足为. （i）求证：平面平面； （ii）判断是否共面，并证明. (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由. 21．如图①所示，长方形ABCD中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥． (1)求点P到平面ABCM的最大距离； (2)若棱PB的中点为N，求CN的长； (3)设的角度大小为，若，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$