特训12 期末选填压轴题（十四大题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训12 期末选填压轴题（十四大题型） 目录： 题型1：几何选择题综合辨析(无辅助线) 题型2：作延长线、连接两点 题型3：作垂线 题型4：倍长中线、类倍长中线 题型5：手拉手模型 题型6：截长补短 题型7：折叠问题 题型8：最值问题 题型9：平面直角坐标系的点规律题 题型10：一次函数与几何题 题型11：一次函数—最值问题 题型12：一次函数与几何的平移问题 题型13：一次函数的图像与性质 题型14：材料题、新定义题 题型1：几何选择题综合辨析(无辅助线) 1．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键；由等腰三角形的性质得，则有；再证明，则可判定①②③；由，，比较两者大小即可判定④． 【解析】：∵，，P是中点， ∴，， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形； ∴； 故①②正确； ∵ ； 故③正确； 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 故④错误． 故选：C． 2．如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ）    A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 【答案】B 【分析】根据平分，得到，可以证明，故①正确；根据，，，得到，可得到②正确；根据，，可得到③正确； 证明，可④错误． 【解析】解：∵平分， ∴， ∵ ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，大角对大边原理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 题型2：作延长线、连接两点 3．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交AB的延长线于点E，于点F，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据角平分线的性质进行判断；②利用的直角三角形的性质，进行判断；③连接，，得到，进而得到，证明，得到，推出，进行判断；④由，得到，证明，得到，利用等量代换，即可得证． 【解析】解：∵平分，，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴，即：；故②正确； 在和中： ， ∴， ∴， 连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴不平分；故③错误； ∴；故④正确； 综上：正确的有：①②④； 故选C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，中垂线的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 4．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据是的高，，结合是的角平分线， 平分，得到即可得到，判断①正确；先证明，再证明，可判定②正确；根据得到，结合得到，结合，等量代换即可得到，可判定③正确；延长交于点N，得到，得到，可以判断④错误． 【解析】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， 平分， ∴ ∴， ∴，故①正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 延长交于点N， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故选：B 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的定义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 题型3：作垂线 5．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过O点作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于N，于M，根据三角形的面积可证得④正确． 【解析】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴，故①错误； 过O点作于P，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点H，使，    ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 作于N，于M，    ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 6．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，则下列说法正确的序号为 ． ①；②；③若，则；④；⑤．    【答案】①③④⑤ 【分析】根据三角形内角和可判断①；当为中线时，可判断②；延长至G，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质，可判断③；作的平分线交于点G，可得，证明，，可得，，可判断④；过G作，于点G，H，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，可判断⑤． 【解析】解：①在中，， ， ∵平分，平分， ，， ，故①正确； ②当为中线时，， 而平分，不一定是等边三角形或以为腰的等腰三角形，故②错误； ③如图，延长至G，使，连接，   ， ， ， ， ，， 为角平分线， ， ， ， ， ，故③正确； ④如图，作作的平分线交于点G，    由①得：， ， ， ， ，， ，， ，， ，故④正确； ⑤过G作，于点G，H， 由④知，为的角平分线， ， ， ，， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键． 题型4：倍长中线、类倍长中线 7．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．① C．② D．①② 【答案】A 【分析】连接，利用SAS可证，从而得出，从而求出，即可判断①；根据全等三角形的性质可得，从而得出四边形的面积为，从而判断②；延长到G使，连接，证出和，最后根据三角形的三边关系即可判断③． 【解析】解：如图，连接． ∵，F为的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形．①正确． ∵， ∴， ∴四边形的面积为． ∵， ∴四边形的面积为16，为定值．②正确． 延长到G使，连接． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴．③正确． ①②③均正确， 故选A．    【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键． 8．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝ ．（用α含的式子表示） 【答案】180°﹣α． 【分析】根据全等三角形的性质得到∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝FM，FB＝FD，推出△MDF≌△ABF（SSS），得到∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，根据角的和差即可得到结论． 【解析】解：延长AE至M，使EM＝AE， 连接AF，FM，DM， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△AEC与△MED中， ， ∴△AEC≌△MED（SAS）， ∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM， ∵EF⊥AE， ∴AF＝FM， ∵点F在BD的垂直平分线上， ∴FB＝FD， 在△MDF与△ABF中， ， ∴△MDF≌△ABF（SSS）， ∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF， ∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM， ∴∠BFD＝∠AFM ＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD） ＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC） ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣α， 故答案为：180°﹣α． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型5：手拉手模型 9．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【解析】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故答案为：①②④． 10．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）    【答案】①②④⑤ 【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，①正确． ④先证明，即可判断出，,即可得④正确； ②根据，可得为等边三角形，证出，得出，②正确． ③没有条件证出，得出③错误； ⑤，⑤正确；即可得出结论． 【解析】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ， ∵，，， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，结论④正确； ∴， ∴，结论②正确． ∵， ∴， ∴， ∴结论⑤正确． 没有条件证出，③错误； 综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 11．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由轴对称可得，，则，进而可判断①的正误；由，结合轴对称的性质可知，，由三角形内角和可求，进而可判断②的正误；由，可得边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等，进而可判断③的正误；由轴对称的性质结合勾股定理可判断④的正误；由不全等，可判断⑤的正误． 【解析】解：∵和是的对称图形， ∴，， ∴，①正确，故符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，， ∵， ∴，即， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即到两边的距离相等， ∴平分，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴；故④符合要求； ∵，，，， ∴， ∴不全等，即，⑤错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，角平分线的判定．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型6：截长补短 12．如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形全等可得结果，作出辅助线是解题的关键． 【解析】解：∵是等腰三角形，且， ∴， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， 延长至F，使，连接，如图所示： ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴（SAS） ∴， ∴的周长是： ． 故答案为：8． 13．如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作于，作于，连接，由角平分线得到，再证明得到，接着证明，得到，当时有最小值，即有最小值， 最后根据直角三角形得到． 【解析】解：作于，作于，连接， ，， 平分， 即平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 当时有最小值，即有最小值， 此时，， ∴， 故答案为： 题型7：折叠问题 14．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明，根据性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解析】解：连接，， ∵，的平分线与的垂直平分线交于点， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点与点恰好重合， ∴，, ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 15．如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给 出下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，，等量代换得到，可得，即可判断①；假设，根据全等三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，于是得到与不一定全等，即可判断②；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据三角形的内角和得到，即可判断③；假设，得到，由直角三角形的性质得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于，即可判断④． 【解析】解：如下图， 将沿翻折，得到， ∴， ∵再将沿翻折，使得与重合， ∴， ∴， ∴，故①正确； 假设，则有， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∴，而不一定等于， ∴与不一定全等；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 假设，则， ∵在中，，为中点， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，而不一定等于， ∴不一定垂直于，故④错误． 综上所述，①③是真命题． 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质是解题的关键． 16．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【解析】解：如图，延长交于点，作，垂足为． 在中，，， ． 为的中点， ． ， ， 解得． 由翻折的性质可知，， ， ．   ，， ． ． 根据折叠的性质有：， ， ，， 又，， ， 为直角三角形． ． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 题型8：最值问题 17．如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，由题意可得，结合和，可证明，则有，当点C运动到点F、E和点C共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时，有题意可得，，即可求得答案． 【解析】解：作，使得，连接和，以点E为圆心长为半径画圆E，如图， ∵， ∴， ∴， ∵等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点C运动到点F、点E和点C三点共线时，取得最大值，此时长也为最大，此时， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， 则， 那么，长的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查动点的最值问题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是构造全等三角形，利用三点共线取最大值即可求解． 18．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，再根据含角的直角三角形的性质即可解答． 【解析】解：如图，取中点K，连接，则， ∵是等边的中线，， ∴，， ∵为边作等边三角形， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 题型9：平面直角坐标系的点规律题 19．已知点，记关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为，关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为，关于直线p（直线p上各点的横坐标都为）的对称点为，关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为，关于直线m的对称点为，关于直线n的对称点为，……依此规律的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，点坐标的规律探究．根据轴对称的性质写出点坐标，然后推导一般性规律是解题的关键． 由题意求得，在第一象限；，在第四象限；，在第三象限；，在第二象限；，在第一象限；，在第四象限；在第三象限；观察点坐标可知每四个点坐标所在象限为一个循环，由，可知与在同一象限，由，，可知，第三象限的点坐标的特征为，然后代入求解即可． 【解析】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴， ∴，在第一象限， ∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线； ∴，在第四象限， ∵直线p上各点的横坐标都为，即直线p为直线， ∴，在第三象限， ∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线， ∴，在第二象限， ∴，在第一象限，，在第四象限，在第三象限， ∴每四个点坐标所在象限为一个循环， ∵， ∴与在同一象限， ∵，， ∴可知，第三象限的点坐标的特征为， ∴， 故选：B． 20．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，…，由图象可知点在x轴上，，根据这个规律可以求得的坐标． 【解析】解：由图象可知点在x轴上， ， ， ， ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 题型10：一次函数与几何题 21．如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】过点M作于点P，由角平分线的性质可得，再证，推出，设点M的坐标为，则，用勾股定理解求出m，再将直线和直线的解析式联立，即可求出点N的坐标． 【解析】解：， ，，， ． 如图，过点M作于点P，      平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设点M的坐标为，则， ，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 点M的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，角平分线的性质，勾股定理，求两条直线的交点坐标，全等三角形的判定和性质等，通过作辅助线构造直角三角形，从而求出点M的坐标是解题的关键． 题型11：一次函数—最值问题 22．如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．取的中点H，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，连接，当点与点重合时，有最小值，求出的坐标，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【解析】解：如图，取的中点H，连接并延长，在延长线上取点，连接，使得，连接，    当点与点重合时，有最小值， ， ， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 解得：， 点的坐标为． ， ， 点的坐标为，即， 又点的坐标为， ， ． 故选：C． 23．如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理得到，由等腰三角形三线合一的性质，得出，如图，取点，连接、、，得到，，进而得出，，证明，得到，即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的解析式，其与轴的交点即为点的坐标． 【解析】解：直线分别交轴、轴于点、两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，取点，连接、、， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当点、、三点共线时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标为， 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 24．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 【答案】/65 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作于E，于G，于H，连接，由角平分线性质定理得，再由角平分线的判定知，点C在的平分线上，则可求得；当′于，则，即的最小值为，此时点C与重合，从而求得此时的度数． 【解析】解：如图，作于E，于G，于H，连接， ∵平分，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴平分，即点C在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点C与重合， ∴， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故答案为：． 25．在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】由直线与坐标轴交点求法可求，，由平移的性质得直线：，从可得点是点关于直线对称，联立直线：与直线：，可求出，作点关于轴的对称点为，由点关于坐标轴对称规律得，连接交轴、于点、，则此时最小，最小值为：，由待定系数法求得直线为，即可求解． 【解析】解：直线：， 当时， ， ， 同理可求：， 将直线向上平移6个单位得到直线， 直线： ， ， ， ， ， 点是点关于直线对称， 联立直线：与直线：得： ， 解得：， ， 如图，作点关于轴的对称点为， ， 连接交轴、于点、， 则此时最小， 最小值为：， 设直线为，则有 ， 解得：， 直线为， 当时， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，点关于坐标轴的对称规律，两点之间线段最短等，掌握“将军饮马”典型问题的解法是解题的关键． 题型12：一次函数与几何的平移问题 26．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为 ．    【答案】/ 【分析】过B作于M，过C作于N，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出，由待定系数法求出直线l的解析式为，设平移后点C的坐标为，代入解析式即可求出m． 【解析】解：过B作于M，过C作于N，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上． ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， 设正方形沿y轴向右平移m个单位长度后点C的坐标为， ∵点C在直线l上， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化−平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，求出C点的坐标是解决问题的关键． 题型13：一次函数的图像与性质 27．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（   ） ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②；求出，结合，即得出，解得或，故③错误；将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图像，可得出当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，即，可判断④正确． 【解析】解：∵一次函数与的图像交于点， ∴联立的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得：， ∴． ∵， ∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； ∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或，故③错误； 将代入，得：， ∴． ∵，且， ∴，且， ∴画出图像如图所示． 由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方， ∴当时，，故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识．熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键． 题型14：材料题、新定义题 28．某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，先去绝对值，画出的图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴当，即：时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴图象过点； ∵， ∴当时，， ∴过定点， ∴当过点时，，解得：， 当与平行时，， 当与平行时，， 如图：直线绕点旋转， 由图可知：当或或时，的图象与函数的图象只有一个交点， 故答案为：或或． 29．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【解析】解：当时，，解得，分界点为， 如图， ∴线段：上点变为， 线段：上点用过平移变为， ∵若直线与组成的新的图形有两个交点，且经过定点， ∴经过点，时，，， ∴与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是， 故答案为． 30．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则，可得到均为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，继而得到线段上的点为“成双点”，线段上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， 再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【解析】解：如图，取点，连接，在取点P作轴，轴，垂直分别为M，N，则， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点P是“成双点”， 即线段上的点为“成双点”， 同理线段上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ，解得：， ∴k的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训12 期末选填压轴题（十四大题型） 目录： 题型1：几何选择题综合辨析(无辅助线) 题型2：作延长线、连接两点 题型3：作垂线 题型4：倍长中线、类倍长中线 题型5：手拉手模型 题型6：截长补短 题型7：折叠问题 题型8：最值问题 题型9：平面直角坐标系的点规律题 题型10：一次函数与几何题 题型11：一次函数—最值问题 题型12：一次函数与几何的平移问题 题型13：一次函数的图像与性质 题型14：材料题、新定义题 题型1：几何选择题综合辨析(无辅助线) 1．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，、分别交边、于点E、F．给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在四边形中，平分，，在上截取，连接，并延长交于点F，以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ）    A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 题型2：作延长线、连接两点 3．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交AB的延长线于点E，于点F，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．②④ C．①②④ D．①②③④ 4．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（    ） A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④ 题型3：作垂线 5．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，、交于点F，则下列说法正确的序号为 ． ①；②；③若，则；④；⑤．    题型4：倍长中线、类倍长中线 7．如图，在等腰直角三角形中，，F为边的中点，点D，E分别在边上运动，且保持，连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积保持不变；③．其中正确的是（    ）    A．①②③ B．① C．② D．①② 8．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝ ．（用α含的式子表示） 题型5：手拉手模型 9．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ． 10．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有 ．（注：把你认为正确的答案序号都写上）    11．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数是（    ）； A．2 B．3 C．4 D．5 题型6：截长补短 12．如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是 ． 13．如图，在等腰中，，，，是底边上的高．在的延长线上有一个动点，连接，作，交的延长线于点，的角平分线交边于点，则在点运动的过程中，线段的最小值为 ． 题型7：折叠问题 14．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上)折叠，若点与点恰好重合，则度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给 出下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④ 16．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 题型8：最值问题 17．如图，线段是等腰与的公共边，，，点为线段的中点，连接，则长的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 18．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 题型9：平面直角坐标系的点规律题 19．已知点，记关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为，关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为，关于直线p（直线p上各点的横坐标都为）的对称点为，关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为，关于直线m的对称点为，关于直线n的对称点为，……依此规律的坐标是（    ） A． B． C． D． 20．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型10：一次函数与几何题 21．如图，三个顶点坐标分别为是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．    题型11：一次函数—最值问题 22．如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（    ）    A． B． C．2 D．4 23．如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为 . 24．如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连接．作的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为 ． 25．在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．将直线向上平移6个单位得到直线，直线与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当的值最小时，此时点M的坐标为 ． 题型12：一次函数与几何的平移问题 26．如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为 ．    题型13：一次函数的图像与性质 27．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（   ） ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 题型14：材料题、新定义题 28．某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 ． 29．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为，线段上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是 ． 30．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“成双点”．例如：如图，点到x轴、y轴的距离分别为，距离和为2，则点B是“成双点”，点也是“成双点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“成双点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$