期末模拟测试卷01-2024-2025学年高二数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019选择性必修第一册，江苏专用）

2024-2025年高二数学上学期期末模拟测试卷01 测试范围：第1-5章 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 7．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数，例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则该数列前5项的和为（    ） A．124 B．155 C．186 D．217 8．抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．当时， D．过点可作三条直线与曲线相切 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（    ）    A．第10个倒“L”形的面积为100 B．长方形的面积为 C．点，，，…，均在曲线上 D．能被110整除 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，则曲线在处的切线方程为 . 13．设的三边长分别为，，，，2，3，，若，，，，，则当最大时， ． 14．已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 16．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围． 17．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 18．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q. (1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值； (2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 19．已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． (1)若，且为“2数列”，求． (2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． (3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年高二数学上学期期末模拟测试卷01 测试范围：第1-5章 一､选择题 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而可得出该直线的倾斜角. 【解析】因为直线的斜率为，因此，该直线的倾斜角为. 故选：A. 2．已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的下标性质求出公差，进而得通项公式. 【解析】设等差数列公差为d， 由题意：，故，即，解得； 故等差数列的公差为，通项公式为； 故选：A. 3．若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则此双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的方程为，根据已知条件列方程，确定双曲线的方程，利用计算即可. 【解析】设双曲线的方程为，根据已知条件可得， 解得，，所以双曲线方程为，，，， . 故选：A. 4．已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合各项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论. 【解析】对A，，， 则该点不在平面内，A正确； 对B，，， 则该点在平面内，B错误； 对C，，, 则该点在平面内，C错误； 对D，,, 则该点在平面内，D错误； 故选：A 5．已知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用导函数图象可得出原函数图象的单调性，即可得出函数的极小值点的个数. 【解析】根据导函数的图象可知，有三个变号零点， 则可得函数在上的单调性为先增再减，再增又减， 所以函数的极小值点的个数为1个. 故选：A 6．在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求出直线过定点，由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，求解即可. 【解析】直线：过定点， 圆：，圆心，半径 因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时， 弦长最短为， 故选：C    7．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数，例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且q，d均为正整数，则该数列前5项的和为（    ） A．124 B．155 C．186 D．217 【答案】B 【分析】根据已知条件，确定，则有，结合q，d均为正整数，分、、三种情况讨论即可求解. 【解析】由题意得，， 当时，不是正整数；当时，； 当时．，不是正整数； 所以，，所以该数列前5项的和为． 故选：B． 8．抛物线上有三点，且直线的斜率大于零，，点为三角形的重心，若直线横截距的范围为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由重心的性质可得，进而，直线方程联立抛物线方程，利用根的判别式和韦达定理可得，，结合直线的横截距为以及一次函数、反比例函数的性质即可求解. 【解析】由题意知，设，则， 又为的重心，所以， 得，代入方程，得①. 设直线AB方程为， ，消去y，得， ，得，， 代入①，得，即，则，解得， 所以，解得. 对于，令，得， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 当时，， 即. 故选：A . 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 二、多选题 9．已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 【答案】BC 【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系. 【解析】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离， 即，所以点在圆O上， 并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内. 故选：BC 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．当时， D．过点可作三条直线与曲线相切 【答案】ACD 【分析】A选项，求定义域，求导，得到函数单调性和极值点情况，A正确；B选项，结合A选项得到函数的极值情况，结合函数单调性与零点存在性定理得到B错误；C选项，得到，求导得到函数单调性，得到C正确；D选项，设出切点，由导数的几何意义得到切线方程，将代入，得到方程，求出3个解，得到D正确. 【解析】A选项，的定义域为R，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故为极大值点，为极小值点，共2个极值点，A正确； B选项，极大值，极小值， 又，， 结合A选项中函数单调性及零点存在性定理可得， 有且只有，使得， 故函数只有1个零点，B错误； C选项，令，则， 故在R上单调递增，故当时，，C正确； D选项，由于，故点不是函数上的点， 设切点为，， 故， 故切线方程为， 将点代入切线方程中得，， 可以看出是方程的根， 故， 令，两根为， 综上，过点可作三条直线与曲线相切，D正确. 故选：ACD 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（    ）    A．第10个倒“L”形的面积为100 B．长方形的面积为 C．点，，，…，均在曲线上 D．能被110整除 【答案】BCD 【分析】先求得的坐标，然后长方形的面积，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解析】， ，所以C正确. ，所以B正确. 第10个倒“L”形的面积为，所以A错误. 由于， 所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤， (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题 12．已知函数，则曲线在处的切线方程为 . 【答案】 【分析】求导，求出，，根据斜率和切点即可写出切线方程. 【解析】由已知， 则，又，即切点为， 所以曲线在处的切线方程为. 故答案为：. 13．设的三边长分别为，，，，2，3，，若，，，，，则当最大时， ． 【答案】 【分析】构造得，结合得，则. 【解析】因为， ， 则， 则， 又，则， ， 当且仅当时取等号， 又函数在上为减函数， 即当最大时，. 故答案为：. 14．已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 【答案】 【分析】由可得，令，可得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可知关于的方程有两个不等的实根、，设，且有，，利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【解析】函数的定义域为，由可得， 令，可得，即， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，当时，，且， 作出函数的图象如下图所示： 若使得方程由三个不等的实根、、，且满足， 则关于的方程有两个不等的实根、，设， 由韦达定理可得，则， 由图可知，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的零点求代数式的值，解题的关键在于通过换元，通过分析函数的单调性，利用数形结合思想将问题转化为一元二次方程根与系数的关系进行求解. 四、解答题 15．已知数列满足：，. (1)若，求证：为等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【解析】（1）因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出导数，计算出切点及斜率，写出直线方程即可; （2）利用导数求出单调区间以及极值，要使函数有三个不同的零点，只需满足计算即可. 【解析】（1）当时，，． 所以，， 所以切线l：，即 （2） 令，得或． 当或时，；当时，． ∴的增区间为，；减区间为． ∴的极大值为，的极小值为． ∴，解得：． 此时，，所以函数有三个不同的零点，所以． 17．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】(1)：，: (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【解析】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 18．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q. (1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值； (2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)是，最大值为． 【分析】（1）分别将直线与与圆方程联立，可得是方程的两个不相等的实数根，结合韦达定理得，并结合在椭圆上可得解． （2）当直线不落在坐标轴上时，利用可得，利用在椭圆上可求得及，从而得，当直线落在坐标轴上求出，从而得定值，再由基本不等式得最大值． 【解析】（1）因为直线，与圆M相切， 将直线与圆联立， 可得， 由解得，， 同理， 所以是方程的两个不相等的实数根， ∴，因为点在椭圆C上，所以， 所以. （2）（i）当直线不落在坐标轴上时，设， 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 整理得，所以，所以.          （ii）当直线落在坐标轴上时，圆方程为，易求得， 综上：，所以|， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆相切，直线与椭圆相交问题.对第一问斜率积为定值问题，解题关键是设出切线方程，利用直线与圆相切得出关于的二次方程，由韦达定理得出结论；第二问设，由斜率积为定值求得坐标的关系，并结合点在椭圆上求得的值，注意分类讨论． 19．已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． (1)若，且为“2数列”，求． (2)若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． (3)若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可； （2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可； （3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可. 【解析】（1）由，且为“2数列”，得，即， 则， ， ， ． （2）设数列的公比为， 由，得， 即， 则． 两式相减得， 即． 因为是首项为2的“数列”，所以， 即， 所以， 即对任意的恒成立． 因为，， 则，即， 解得，． 又由，即，得，所以． 检验可知符合要求，故数列的通项公式为． （3）因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意的，． 设函数，则． 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以． 【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$