专题03 承上启下篇-一次函数的几何应用(二类知识点+九大题型)-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

专题03 承上启下篇-一次函数的几何应用 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求一次函数与坐标轴围成的面积，长度等问题】 【题型2 一次函数的几何应用—简单的分类讨论】 【题型3 最值问题】 【题型4 取值范围问题】 【题型5 难点分析—一次函数与全等三角形、勾股定理】 【题型6 难点分析—最值问题】 【题型7 难点分析—存在性问题】 【题型8 难点分析—角度问题】 【题型9 难点分析—旋转问题】 知识点一、一次函数的几何应用 此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。 知识点二、两点解题思路 1.能将几何问题转化为代数问题； 2.将线段转化为点坐标，利用一次函数求解难点：找全等或构造全等（或其他几何模型）。 题型归纳 【题型1 求一次函数与坐标轴围成的面积，长度等问题】 1．如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形， （1）令，，即可求出答案； （2）先求出，可求出答案． 【解析】（1）当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）由（1）可知， ∴． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线上的一个点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形等知识． （1）把代入得到，，即可求出答案； （2）根据（1）得到，求出，利用三角形面积公式并结合点的坐标即可求出答案． 【解析】（1）解：把代入得到， ， 解得； （2）由（1）得到， 把点代入得到， ， ∴ ∵点A的坐标为． ∴ ∴的面积为． 3．如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，进而求出，则，进一步得到，据此求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）设，则，可得，据此可得答案． 【解析】（1）解：∵点A的坐标为，轴 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴． 4．如图，已知函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． (1)求点A的坐标； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点在直线上，且横坐标为2，，把代入得，可得一次函数表达式为，从而可求出的坐标； （2）求出点的坐标，根据可求出，由题意可知：，，所以，从而可求出的值． 本题考查一次函数的解析式，涉及待定系数法求解析，根据解析式求出坐标，解方程等知识，综合程度较高，本题属于中等题型． 【解析】（1）解：点在直线上，且横坐标为2， 把代入得 一次函数表达式为 把代入得 点的坐标为 （2）解：把代入得 ， ， 轴， ，， ， 【题型2 一次函数的几何应用—简单的分类讨论】 5．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解m和n的值； （2）设，利用求解即可； 【解析】（1）将点代入得： ， 解得：， 又直线：过点，得 ， 解得：， （2）设，则，， 即 ， 解得：或 故点P的坐标为或 6．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 【答案】(1)， (2)的面积为4或12 【分析】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形： （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标． （2）由点A、B的坐标得出的长，结合可得出P点坐标，进而求出的长，再利用三角形的面积公式求出面积． 【解析】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴P点坐标为或， ∴或6， ∴或， ∴的面积为4或12． 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)当的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)，或 【分析】本题考查一次函数的图象和几何变换，坐标与图形面积，熟练利用数形结合的方法解题是关键． （1）由平移的性质可得到，再将点代入解析式求解； （2）根据一次函数与坐标轴相交的特点去求解； （3），结合点，利用当的面积为5时，解立方程求解． 【解析】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， 一次函数为， 一次函数经过点， ， ， 一次函数为． （2）解：由题意得 当时，， 当时，， ， 图象与轴、轴的交点的坐标分别为，． （3）解：设   ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ，或． 8．已知，直线：与直线平行，并与y轴交于点A，与x轴交于点B如图所示． (1)求直线的表达式； (2)请直接写出：A点坐标（______），B点坐标（______）； (3)在直线上，是否存在点P使得的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，求一次函数与坐标轴的交点坐标： （1）根据两平行直线解析式中的一次项系数相同即可得到答案； （2）分别求出自变量和函数值为0的函数值和自变量的值即可得到答案； （3）根据三角形面积计算公式可得，据此求出P的横坐标，进而求出P的纵坐标即可得到答案． 【解析】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：在中，当时，；当时，， ∴； 故答案为：；； （3）解：∵， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，；当时，； ∴点P的坐标为或． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点．      (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上求一点，使． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，根据图形面积之间的关系求出，进而求出点P的纵坐标，最后求出点P的坐标即可． 【解析】（1）解：（1）设直线的表达式为， 把代入，得，解得， 所以直线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当点P在上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为；   如图所示，当点P在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为；   综上所述，点P的坐标为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【解析】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 11．如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键． （1）解析式联立，解方程组即可求得； （2）根据题意求得的长，从而求得的坐标； （3）根据题意得到，求得的值，即可求得的坐标． 【解析】（1）解：由， 解得， ∴点的坐标为； （2）∵直线与坐标轴分别交于两点， ∵点在轴上，且， ∴的坐标为或； （3）∵点在直线上，点横坐标为，且， ， ∴点的坐标为． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或； (3)或2或1 【分析】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再求出m的值即可． （2）由（1）得一次函数：，先求出的面积，进而求出的面积，最后求出符合条件的点M的坐标； （3）根据题意，当或时，，，不能围成三角形，一次函数的图象过点，进而即可求得三种k的值． 【解析】（1）解：将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：． （2）由（1）得：一次函数：， ∵点M在直线， 把代入，得， ∴C点坐标为， ∴， ∵A点坐标， ∴， 把代入，得， ∴B点坐标为， ∴， ∴， 解得：边上的高为：， 当时，，当时， ∴点M的坐标为或； （3）当或时，，，不能围成三角形，即或， 当过点时，将点A坐标代入并解得：； 故当的表达式为：或或． 故或2或1． 【题型3 最值问题】 13．如图，已知是平面直角坐标系中的三点． (1)请画出关于轴对称的； (2)若中有一点坐标为，请直接写出经过以上变换后中点的对应点的坐标为__________． (3)在轴上，且最小，直接写出点的坐标为__________； 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查作图的轴对称和一次函数的应用. （1）根据轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点，，分别连接各点即可； （2）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变，从而可得结论． （3）连接交x轴于点P，则点P即为所求点，设解析式为，利用待定系数法求出的解析式，然后另，求出x的值，则得出点P的坐标． 【解析】（1）解：∵， ∴关于轴对称的点为，，， ∴如图所示， （2）由关于x轴对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标不变， 点的对应点的坐标为． 故答案为：． （3）连接交x轴于点P，则点P即为所求点，如图， 设解析式为 把代入，得， 解得：， ∴解析式为：， 另，则 则点． 故答案为：． 14．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．    (1)作关于轴对称的图形，、、的对应点分别为、、； (2)在轴上存在一点，使的值最小，请在图中画出点，并求出点的坐标． 【答案】(1)即为所求 (2) 【分析】本题考查轴对称的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称的点的性质，轴对称最短路径，即可． （1）点关于轴对称的点的性质：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可； （2）根据轴对称最短路径确定点的位置，设直线的解析式为：，把点，点的坐标代入解析式中，求出，；再根据点在直线上，即可． 【解析】（1）∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ∴关于轴对称的图形中，，，， ∴连接点、、， ∴即为所求．    （2）∵点关于轴对称的点为， 连接交轴于点， ∴有最小值， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴点． 15．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值； （2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式； （3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值． 【解析】（1）解：直线过点， ， ； （2）解：∵点的坐标为， ∴， 点在直线上， 点， ， ， 点在线段上的一个动点， ； （3）解：点是线段上的一个动点，，且， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． 16．如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，根据轴对称求线段和最小，一次函数与几何图形， 对于（1），将点A的坐标代入关系式，再令，，即可求出点B，C的坐标； 对于（2），作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，根据两点之间线段最短得出最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可得出答案； 对于（3），根据两个三角形的面积差计算即可． 【解析】（1）解：∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． 当时，， ∴点； 当时，， ∴点； （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点，根据两点之间线段最短得出最小． ∴点． 设直线的关系式为，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：如图所示． ． 【题型4 取值范围问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； （2）将点的坐标分别代入到，即可求得的取值范围； 【解析】（1）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则． 直线与线段有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． （2）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 直线与有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． 18．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）把，代入求得k的值，结合图象即可求得． 【解析】解：（1）由题意可知点，代入得，， ； 故答案为：； （2）由题意可知，， 把代入得， ，解得； 把代入得， ，解得； 由图象知与矩形的边有两个公共点， 或． 故答案为：或． 【题型5 难点分析—一次函数与全等三角形、勾股定理】 19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，． (1)求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)是轴上的一点，连结，，若，且，求的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出，根据，即可求得的值； （3）过点作轴于，设，则可证明，即可得出，，分情况讨论的值，求解即可． 【解析】（1）解：直线分别交轴，轴于点，， 令，则， 故点的坐标为， 令，则， 故点的坐标为， 直线分别交轴，直线于点，， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 直线与直线交于点， ， 解得， 故点的坐标为； 综上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）连接， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，， ， ， 解得：； （3）过点作轴于， 设， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 解得或，重合舍去）， 故， 当时，， 解得或（舍， 故， 综上，或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． 【题型6 难点分析—最值问题】 20．如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点． (1)求点，点的坐标． (2)点是轴上的一个动点，求的最小值． (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点和点的坐标分别为或或或 【分析】（1）在中，令，即可得点的坐标，由待定系数法可求得直线的解析式，联立即可得点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可得答案； （3）证明为直角三角形，，根据全等三角形的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵直线的函数表达式为，与轴交于点， 令，可得， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线经过点和点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴，， ∴，此时最小，最小， ∵点的坐标为，，， ∴，， ∴的最小值为； （3）解：∵点的坐标为，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， 点分别是直线上的两点，且不与点重合， 设，， 当时，，， ∴，， 解得或，或， ∴点和点的坐标分别为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合，全等三角形的性质，两点之间距离的计算方法，掌握待定系数法求解析式，解二元一次方程求直线交点，对称轴与线段最短的计算，全等三角形的性质等综合运用，数形结合分析思想是解题的关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点，，三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点， ∴当，则，故； 当，则，故； ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且， ∴当，则， 解得 ∴，即； 过点C作 由（1）知，， ∴， 根据等面积法， 得， ∴， 则， 设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，， ，，， ，， ，，， ， ， 由对称的性质可知， ， 则点，，三点共线时，则有最小值， 此时最小值． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算量大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型7 难点分析—存在性问题】 22．已知一次函数和的图象都经过， 且与y轴分别交于B、C两点， (1)试确定m，n的值； (2)求的面积． (3)过原点O是否存在一条直线l，将的面积分成1∶2的两部分，若存在，直接写出直线l的解析式． 【答案】(1) (2)4 (3)直线l的解析式为或 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入即可求出n的值，然后代入即可求得m的值； （2）由（1）求得B、C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案； （3）令过原点O的直线l交于点D，设，根据“将的面积分成1∶2的两部分”，分两种情况讨论：若，；若，． 【解析】（1）解：和的图象都经过， ， 解得； （2）由（1）可知，，， 当时，，， 即，， ， ； （3）存在，理由如下： 令过原点O的直线l交于点D，设， ， 将的面积分成1：2的两部分， 若，， ， ， 设直线l的解析式为， 则， 解得， 直线l的解析式为； 若，， ， ， ， 设直线l的解析式为， 则， 解得， 直线l的解析式为． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，满足；与直线交于点，且点的横坐标为． (1)求，的值 (2)求四边形的面积 (3)如图2，点是线段上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，连接、；若，求点的坐标； 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为： 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合问题，全等三角形的性质与判定； （1）设出点坐标，根据得出点的坐标，将两点坐标代入，可得的值，根据点的横坐标为1，且在上，代入解析式即可求出纵坐标，将点的坐标代入求出即可； （2）先求得的坐标，得出，进而根据四边形面积，即可求解． （3）根据与的面积相等，且同底，则在边上的高相等， 过点作的平行线，由高相等可得，这两条直线在轴截距为， 从而得出过点所作的平行线得解析式，联立这个解析式与的解析式，即可求出交点的坐标． 【解析】（1）解：设，则，即，， 把A，B坐标代入 得： 解得：， ∴直线解析式为：， ∵与直线交于点E，且点E的横坐标为1， ∴把代入：，得，即点E坐标为： ∵点E在上，把代入，得： 解得： 综上所得：， （2） ∴点D坐标为： 又∵点E坐标为， ∴ ∴四边形面积 （3）如图：过点G作直线平行于，交y轴于点M，过点O作，垂足为点L，过点M作，垂足为点H ， ∵与的面积相等，且同底， ∴在边上高相等，即， 又∵且 ∴ ∵点B坐标为：， ∴点M坐标为，直线平行于， ∴直线为：， ∵点G为直线与直线的交点，联立两直线方程得： 解得： ∴点G坐标为： 24．在平面直角坐标系中，已知直线l上两点，且，经过点作x轴的垂线m，交x轴于点N． (1)___________，___________； (2)若点是直线m上的一点，连接的面积为6，求C点坐标； (3)将直线l平移后交x轴于点E，交y轴于点F，直线l与直线m相交于点P，如果以点O、F、N、P为顶点的四边形面积为10时，请直接写出点P的坐标___________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题属一次函数换综合题，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题题目比较难． （1）利用非负数的性质求出，的值即可； （2）分三种情形，点在的下方，轴上方，点在的上方，点在的下方，轴下方，分别构建方程求解即可； （3）分三种情形：点在轴的下方，点在轴的上方时，当点在轴的上方，点在轴的下方，画出示意图，利用梯形的面积公式解答即可． 【解析】（1）解：， 又，， ，； （2）解：当点在的下方，轴上方时， 由题意得：， ， ，即 解得：，则； 当点在的上方时， 同理得：， ，即 解得，则； 当点在轴下方时， ， （舍去）； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 直线是直线l平移后得到， 设直线的解析式为， ， 如图，当点在轴的下方时，则， 直线l与直线m相交于点P， ， ，则， ， ， 轴， ， ， 解得：，则 ； 如图，当点点在轴的上方时，则， 直线l与直线m相交于点P， ， ，则， ， ， 轴， ， ， 解得：，则 ； 如图，当点在轴的上方，点在轴的下方时，则， 直线l与直线m相交于点P， ， ，则， ， ， 轴， （舍去）， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【题型8 难点分析—角度问题】 25．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，根据即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式为；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得H的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式． 【解析】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 将代入得： ， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ， 解得：， ∵， ∴点的坐标为或； （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，   ， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ∵，， ，， 即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， ②当点在射线上时， 过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵，， ，， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ， 综上：直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 【题型9 难点分析—旋转问题】 26．如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； (3)把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）作点C关于x轴的对称点H，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故点M即为直线与x轴的交点，求出直线的解析式为，在中，当，据此可得答案； （3）分把线段绕点顺时针旋转得到线段和把线段绕点逆时针旋转得到线段，通过一线三垂直模型构造全等三角形求出点E的坐标，进而求出直线解析式，再联立直线解析式和直线解析式求出点D的坐标即可． 【解析】（1）解：在中，当时，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入中得：， 解得， 直线的表达式为； （2）解：如图所示，作点C关于x轴的对称点H，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴点M即为直线与x轴的交点， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解：当把线段绕点逆时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作y轴的垂线，垂足分别为H、G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴ 当把线段绕点顺时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、G， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 过关检测 一、单选题 1．如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【分析】由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键． 【解析】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 2．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【解析】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点A时：将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时：将代入直线中，可得，解得． 故b的取值范围是． +   故选：B． 【点睛】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键． 二、填空题 3．如图，直线与轴、轴分别相交于点和，当点在直线EF运动时，OP的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，过点作于点，连接，根据垂线段最短，则的最小值等于的长,由，，可求出，，然后结合勾股定理和等积法即可求出的长即可． 【解析】解：如图，过点作于点，连接， ∵点在直线运动， ∴（当点和点重合时，）， ∴的最小值等于的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：．    4．如果点在函数的图象上，点的坐标是，且为原点），的面积是4，那么 ． 【答案】/90度 【分析】根据题意画出图形，由的面积是4，可得，求出，，根据勾股定理的逆定理即可求解．本题考查一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，数形结合求出是解题的关键． 【解析】解：如图，过点作于， 点的坐标是， ， ， ， 的面积是4， ，即， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点A作交于点E，过点E作轴于点F，则，可得是等腰直角三角形，再证明，可得，，从而得到，进而得到点E的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【解析】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图， 过点A作交直线于E，过点E作轴于F， ∵点，， ∴， 根据题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 6．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3． (1)b的值为________； (2)当时，求x的取值范围； (3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值． 【答案】(1)4 (2) (3)9或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合，注意进行分类讨论． （1）先求出点E的坐标为，然后代入中求出b的值即可； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）先求出，根据题意得出，，分两种情况列出关于m的方程，或，解方程即可． 【解析】（1）解：∵点E在直线上，点E的横坐标为3， ∴点E的坐标为， 将点代入直线得：， 解得：， 故答案为：4． （2）解：由图象可知，当时，函数的图象在的图象的下面， ∴当时，x的取值范围为． （3）解：当时，， ∴，即， ∴， ∵点C在直线上，点D在直线上，点P的坐标为，轴， ∴， ∴或， 解得或． 7．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m．    (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积； (3)当时，求的面积； (4)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2)6 (3) (4)m的值是2或6 【分析】（1）令，求出点坐标，令，求出点坐标； （2）三角形的面积公式进行计算即可； （3）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可； （4）根据，求出点的纵坐标，进一步求出m的值． 【解析】（1）解：， 当时，； 当时，； ∴，； （2） （3）当时，， ∴． （4）设点C的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，． 当时，，； 当时，，． 综上满足条件的m的值是2或6． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与坐标轴的交点坐标，是解题的关键． 8．如图，A点坐标为，B点坐标为． (1)求的度数． (2)在坐标轴上有一点P，使得和全等．请写出P点坐标．（此题只要求两三角形全等即可，不要求点的位置对应） (3)试在直线上寻找一点Q，使得．请写出Q点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征等知识点． （1）利用点A、B的坐标推知是等腰直角三角形； （2）由全等三角形的性质知，也是等腰直角三角形．因为点P在坐标轴上，轴，所以只有和这两种情况； （3）由全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质和一次函数图象上点的坐标特征来求点Q的坐标． 【解析】（1）解：∵A点坐标为，B点坐标为， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）由（1）知，是等腰直角三角形，且，． ∵和全等（此题只要求两三角形全等即可，不要求点的位置对应）， ∴也是等腰直角三角形． ①当点P在x轴上时，，如图1所示．此时，则，所以； ②当点P在y轴上时，如图2所示．此时，则，所以； 综上所述，满足条件的点P的坐标是：，． （3）∵， ∴，， ∴Q的横坐标是2．如图3所示． ∵点Q在直线上， ∴当时，， ∴ 9．如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，． (1)求点的坐标； (2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围； (3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），，轴，垂足为，轴，垂足为，可求出，的长，，，可证，由此即可求解； （2）先计算出直线的解析式，从而求出点的坐标，已知点的坐标，从而可以将直线变形为，根据直线与线段相交，由此即可求解； （3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，，的最大值为，，过点作轴于，根据勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：∵轴，轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为：． （2）解：设经过点，的直线的解析式为，且，， ∴，解方程组得，， ∴经过点，的直线的解析式为， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴，则直线的解析式表示为， 若直线经过点，则，解方程得，； 若直线经过点，则， ∴的取值范围是． （3）解：根据“三角形两边之差小于第三边”可知，， ∴的最大值为，则点为直线与轴的交点，由（1）可知，，如图所示， 过点作轴于，根据勾股定理得，， 设，则，解方程得，， ∴， ∴当取得最大值时，的长为． 【点睛】本题主要考查一次函数，直角三角形的勾股定理，全等三角形的判定，掌握一次函数的运用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 承上启下篇-一次函数的几何应用 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求一次函数与坐标轴围成的面积，长度等问题】 【题型2 一次函数的几何应用—简单的分类讨论】 【题型3 最值问题】 【题型4 取值范围问题】 【题型5 难点分析—一次函数与全等三角形、勾股定理】 【题型6 难点分析—最值问题】 【题型7 难点分析—存在性问题】 【题型8 难点分析—角度问题】 【题型9 难点分析—旋转问题】 知识点一、一次函数的几何应用 此类问题主要利用了待定系数法、数形结合的思想以及分类讨论的思想。解题时要注意数形结合，根据已知条件建立方程或不等式，结合图形加以分析。 知识点二、两点解题思路 1.能将几何问题转化为代数问题； 2.将线段转化为点坐标，利用一次函数求解难点：找全等或构造全等（或其他几何模型）。 题型归纳 【题型1 求一次函数与坐标轴围成的面积，长度等问题】 1．如图， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点 B． (1)求 A， B两点的坐标； (2)求 的面积． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于E、F．点E坐标为，点A的坐标为． (1)求k的值； (2)若点是直线上的一个点，求的面积． 3．如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【题型2 一次函数的几何应用—简单的分类讨论】 4．如图，已知函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的横坐标为2，在轴上有一点（其中，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、． (1)求点A的坐标； (2)若，求a的值． 5．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 6．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求两点的坐标； (2)轴上有一点，且，求的面积． （提示：可能在O的左边，也可能在O的右边） 7．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点是一次函数图象上一点． (1)求一次函数的解析式； (2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标； (3)当的面积为5时，求点的坐标． 8．已知，直线：与直线平行，并与y轴交于点A，与x轴交于点B如图所示． (1)求直线的表达式； (2)请直接写出：A点坐标（______），B点坐标（______）； (3)在直线上，是否存在点P使得的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点．      (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上求一点，使． 10．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． (3)若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线交于点N，且，求点M的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数：的图象分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图象：与交于点． (1)填空：______，______ (2)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求出符合条件的点M的坐标； (3)若一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值． 【题型3 最值问题】 13．如图，已知是平面直角坐标系中的三点． (1)请画出关于轴对称的； (2)若中有一点坐标为，请直接写出经过以上变换后中点的对应点的坐标为__________． (3)在轴上，且最小，直接写出点的坐标为__________； 14．如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．    (1)作关于轴对称的图形，、、的对应点分别为、、； (2)在轴上存在一点，使的值最小，请在图中画出点，并求出点的坐标． 15．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．    (1)求的值； (2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求面积的最大值． 16．如图， 一次函数 的图象经过点 ， 交y轴于点B， 交x轴于点 C． (1)求点 B、C的坐标； (2)在x轴上一动点P， 使最小时，求点 P的坐标； (3)在条件 （2） 下， 求 的面积． 【题型4 取值范围问题】 17．如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 18．如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 【题型5 难点分析—一次函数与全等三角形、勾股定理】 19．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，． (1)求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标； (2)连接，若，求的值； (3)是轴上的一点，连结，，若，且，求的值． 【题型6 难点分析—最值问题】 20．如图，直线的函数表达式为，与轴交于点，直线经过点和点，且直线交于点． (1)求点，点的坐标． (2)点是轴上的一个动点，求的最小值． (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合．当时，直接写出每一组点和点的坐标． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 【题型7 难点分析—存在性问题】 22．已知一次函数和的图象都经过， 且与y轴分别交于B、C两点， (1)试确定m，n的值； (2)求的面积． (3)过原点O是否存在一条直线l，将的面积分成1∶2的两部分，若存在，直接写出直线l的解析式． 23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，满足；与直线交于点，且点的横坐标为． (1)求，的值 (2)求四边形的面积 (3)如图2，点是线段上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，连接、；若，求点的坐标； 24．在平面直角坐标系中，已知直线l上两点，且，经过点作x轴的垂线m，交x轴于点N． (1)___________，___________； (2)若点是直线m上的一点，连接的面积为6，求C点坐标； (3)将直线l平移后交x轴于点E，交y轴于点F，直线l与直线m相交于点P，如果以点O、F、N、P为顶点的四边形面积为10时，请直接写出点P的坐标___________． 【题型8 难点分析—角度问题】 25．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 【题型9 难点分析—旋转问题】 26．如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． (1)求直线的表达式； (2)点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； (3)把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 过关检测 一、单选题 1．如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 2．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，直线与轴、轴分别相交于点和，当点在直线EF运动时，OP的最小值是 ．    4．如果点在函数的图象上，点的坐标是，且为原点），的面积是4，那么 ． 三、解答题 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 6．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点E，点E的横坐标为3． (1)b的值为________； (2)当时，求x的取值范围； (3)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点C，与直线交于点D，若，求m的值． 7．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m．    (1)求点A、B的坐标； (2)求的面积； (3)当时，求的面积； (4)当时，求m的值． 8．如图，A点坐标为，B点坐标为． (1)求的度数． (2)在坐标轴上有一点P，使得和全等．请写出P点坐标．（此题只要求两三角形全等即可，不要求点的位置对应） (3)试在直线上寻找一点Q，使得．请写出Q点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，． (1)求点的坐标； (2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围； (3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$