第22章　二次函数综合题　2024——2025学年人教版数学九年级上册

2024——2025年初三数学二次函数综合题 1. 如图，抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为 A. (4,3) B.(4,4) C.(4,5) D.(4,6) 2. 在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线. （1） 求抛物线的顶点坐标（用含α的式子表示） （2） 已知M()，N(3a,)是抛物线上的两个点，若对于a+1<，都有，求实数a的取值范围. 3.已知抛物线y=mx2-2mx-m-2(m>0). （1）当m=3时，求抛物线与坐标轴的交点坐标. （2）若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像.经过点（0，4）且与y轴垂直的直线l与新的图像恰好有三个公共点，求此时m的值. （3） 当-2≤x≤2时，抛物线的最大值与最小值的差是3，求m的值. 4.已知抛物线y=ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A. （1）直接写出抛物线的对称轴：x=_____； （2）若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值； （3）若点A的坐标是（0，1），当-2c<x<c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围. 5.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=a(x-h)2-6a的顶点为M，0<h<4. （1）若a=-1，①点M到x轴的距离为_____； ②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离； （2）已知点M到x轴的距离为3，此抛物与直线y=-2x+3的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<x2.若点C（xC，yC）在此抛物线上，当x1<xC<x2时，y总满足y2<yC<y1，求a和h的取值范围. 6.已知抛物线C1：y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OB=OC=3OA. （1）求抛物线C1的解析式； （2）如图1，已知点P为第一象限内抛物线C1上的一点，点Q的坐标为（1，0），∠POC+∠OCQ=45°；求点P的坐标； （3）如图2，将抛物线C1平移到以坐标原点为顶点，记为C2，点T（1，-1）在抛物线C2上，过点T作TM⊥TN分别交抛物线C2于M，N两点，求直线MN过定点的坐标. 7. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵标是这个点的横坐标的2倍，我们称这个点为“友好点”，例如A（a,2a）就是“友好点”；若二次函数的顶点为“友好点”，则我们称这个二次函数为“友好二次函数”，例如二次函数就是“友好二次函数”. （1） 直线y=4x-1上的“友好点”坐标为_________； （2） 若“友好二次函数”的图像与y轴的交点是“友好点”，求这个“友好二次函数”的表达式； （3） 若“友好二次函数”的图像过点（-2，8），且顶点在第一象限 ①当m-1≤x≤m时，这个“友好二次函数”的最小值为6，求m的值； ②已知点M(5,4), N(1,n)，当线段MN与这个“友好二次函数”的图像有且只有一个公共点时，直接写出n的取值范围. 如图1，在矩形ABCD中，已知AB=8，点E是AD的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线B-C-D运动，当一个点到达点D时，另一点也随之停止运动，连接PQ，EQ，设动点P运动的时间为t秒，△EPQ的面积为S，图2中的曲线是动点Q在线段CD上运动时S与t的函数图像. （1）填空： ①AD=_____; ②当0≤t≤3时，直接写出S与t的函数解析式为_____. （2）经探究，发现当点Q在线段CD上运动时，S是关于t的二次函数，请求出此时S与t的函数 解析式，并直接写出自变量t的取值范围. （3）在整个运动过程中，若存在某3个时刻t1，t2，t3（t1<t2<t3），使得S的值相等. ①求出S的取值范围； ②当t1+t3=8时，求S的值. 8.如图，二次函数y=ax2+bx+3的图像与x轴的交点分别为A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，Q是直线AC上方二次函数图像上一动点. （1）求二次函数的解析式. （2）如图1，过点Q作x轴的平行线交AC于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求QE+QD的最大值及点Q的坐标. （3）如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形QMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标. 9.已知y1是自变量x的函数，当y2=x-y1时，称函数y2为函数y1的“平衡函数”. 在平面直角坐标系中，对于函数y1图像上任意一点A(m,m)，称点B(m,m-n)为点A“关于y1的平衡点”，点B在函数y1的“平衡函数”y2的图像上. 例如：函数y1=3x,当y2=x-3x=-2x时，则函数y2=-2x是函数y1=3x的“平衡函数”.在平面直角坐标系中，函数y1=3x的图像个任意一点A(m,3m)，点B(m,-2m)为点A“关于y1=3x的平衡点”，点B在函数y1=3x的“平衡函数”y2=-2x的图像上. （1）求函数y1=2x2的“平衡函数”y2的函数表达式； （2）如图1，点A在函数y1=2x2的图像上，点A“关于y1=2x2的平衡点”B在点A的下方，当AB=3时，求点A的坐标； （3）点A在函数y1=2x-1的图像上，点A“关于y1=2x-1的平衡点”为点B，设点A的横坐标为m. ①若点B与点A重合，求m的值； ②若点B在y轴的右侧，且点B与点A不重合时，设三角形ABO的面积为y，求y关于m的函数表达式； ③在2）的条件下，当直线y=t与函数y的图像的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当F为EG的中点时，请直接写出t的值. 10.如图，抛物线y=x2+(1-m)x-m(m>1)交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C. （1）如图1，当m=3时，直接写出A、B、C三点坐标； （2）在（1）的条件下，连接AC、BC.若D是抛物线上第四象限上一点，且∠DBC+∠ACO=45°,求点D的坐标； （3）如图2，直线y=-mx+m与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接AM、AN，分别交y轴于P、Q两点，求=1的值. 11.在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax2-ax-6a(a≠0)的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧。 （1）求点A，点B的坐标； （2）如图1，直线y=kx+b(k≠0)与二次函数y=ax2-ax-6a的图像交于A，D两点，点D的坐标是（4，-3），点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，交x轴于点E，交直线AD于点Q，过点P作PF⊥AD于点F，直线PF交x轴于点H。若L=EH+EQ, 设点P的横坐标是点t，求L关于t的函数关系式，并求L的最大值； （3）已知点M的坐标是（5，-3），过点M作y轴的垂线，垂足为点N，若二次函数y=ax2-ax-6a（a≠0）的图像与线段MN只有一个交点，则a的取值范围是___. 12.在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点A(0,2)，B(2,2)，顶点为D；抛物线，顶点为Q. （1） 求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2） 如图1，连接AD，点E是抛物线对称轴右侧图像上一点，点F是抛物线上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值； （3） 如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值. 13.抛物线交x轴于A，B两点（A在B的右边），交y轴于点C. （1） 直接写出A，B，C的坐标； （2） 如图1，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q，若BC平分线段PQ，求点P的坐标； （3） 如图2，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG，若∠EGF=900，求直线DE的解析 式. 14.如图1，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点 C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点B，点P是位于x轴上方的抛物线上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F. （1） 求抛物线的解析式； （2） 当EF=AC时，求点P的坐标； （3） 如图2，将图1中的抛物线向下平移4个长度单位得到抛物线，点M在直线AC上，线段MC绕点M逆时针旋转900得到 线段MN，当点N在抛物线上时，求点M的坐标. 15.如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴相交于A(-1,0)，B(3,0)两点，点C为抛物线顶点，点M（0，m）为y轴上的动点，将抛物线绕点M旋转1800，得到新的抛物线，其中B、C旋转后的对应点分别记为B`、C`. （1） 若原抛物线经过点（-2，5），求原抛物线的函数表达式； （2） 在（1）条件下，当四边形BCB`C`的面积为40时，求m的值； （3） 探究a满足什么条件时，存在点M，使得四边形BCB`C`为菱形？请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$