2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练第15章 第06讲 分式的混合运算

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第15章 第06讲 分式的混合运算 学习目标 1.掌握分式的加减乘除混合运算法则并运用其进行计算. 2.能够应用分式的加减乘除混合运算解决实际问题． 重点：运用分式的加减乘除混合运算法则进行运算. 难点：分式加减乘除混合的运算 老师告诉你 分式的混合运算遵循以下步骤和原则： 运算顺序 ：先进行乘方运算然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 如果有括号，则先计算括号内的内容，在没有括号的情况下，同级运算从左到右依次进行运算，结果应化为最简分式或整式。分子和分母需要进行约分，以得到最简形式 特殊注意 ：当分子或分母的系数为负数时，应将负号提到分式前面 通分时，要找到各分式的最简公分母 加减法中，同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减时，要先通分再计算 请根据这些原则进行分式的混合运算，并确保最后结果是最简形式。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 、分式混合运算的步骤 分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 【新知导学】 例1-1．数学课上，老师展示佳佳的解答如下： 计算：， 原式① ② ③ ＝3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是：( ) A.①：同分母分式的加减法法则 B.②：合并同类项法则 C.③：提公因式法 D.④：等式的基本性质 【对应导练】 1．如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是( ) 第一步 第二步 第三步 第四步 A.第二步运用了分式的基本性质 B.从第三步开始出现错误 C.原分式的计算结果为 D.当时，原分式的值为0 2．以下是代数式排乱的化简步骤： ①； ②； ③； ④. 则正确化简步骤的顺序是( ) A.①→③→④→② B.③→①→④→② C.③→④→①→② D.①→④→③→② 知识点2 、分式混合运算 （1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度 【新知导学】 例2-1．化简：. 例2-2．化简：. 【对应导练】 1．计算： 2．计算. 3．以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ③ … 解： （1）上面的运算过程中第_________步出现了错误，并在上框内写出完整的解答过程； （2）选择一个你喜欢的x的值代入求值. 4．以下是小华化简分式的过程： 原式① ② ③ （1）小华的解答过程在第______步出现错误. （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值. 知识点3 、分式混合运算的实际应用 （1） 读懂题意，分清问题中的数量关系. （2） 根据数量关系列出代数式. （3） 按分式的运算法则、运算顺序解决问题. 【新知导学】 例3-1．一块麦田有，甲收割完这块麦田需，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？ 例3-2．以下是某同学化简分式的部分运算过程： 原式① ② ③ …… （1）上面的运算过程中第_____步出现了错误； （2）选择一个你喜欢的x的值代入求值. 【对应导练】 1．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料. （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ （2）谁的购买方式平均单价较低？ 2．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的价格为a元/，B种糖的价格为b元/，则mA种糖和nB种糖混合而成的什锦糖的价格为元/.现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成.其中甲种什锦糖由10A种糖和10B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成.你认为哪一种什锦糖的价格较高？为什么？ 二、题型训练 1.分式的混合运算 1．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图. (. （1）求被手遮住的部分，并将其化简. （2）原式的值能等于-1吗？请说明理由. 2．以下是小华化简分式的过程： 原式① ② ③ （1）小华的解答过程在第______步出现错误. （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值. 3．计算： （1）； （2）. 2.分式化简求值 4．先化简，再求值：，其中. 5．已知，求代数式的值. 6．已知：，①化简A；②若.求A的值. 3.利用分式的运算法则求字母的值 7．已知对任意x有，则__________，__________，__________. 8．已知m、n、p是正数，且满足，，则__________. 9．已知，则实数_______________. 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．计算：( ) A. B. C. D. 2．在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米,下坡时的速度为每小时v2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A.千米 B.千米 C.千米 D.无法确定 3．小明在纸上书写了一个正确的演算过程,同桌小亮一不小心撕坏了一角,如图所示,则撕坏的一角中“■”为( ) A. B. C. D. 4．试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上了墨汁，则被墨汁遮住部分的代数式为( ) A. B. C. D. 5．计算的结果是( ) A. B. C. D. 6．化简的结果是( ) A. B. C. D. 7．计算的结果是( ) A. B. C. D. 8．化简的结果是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算的结果是____________. 10．化简：______. 11．已知（且），，…，，则的值为________. 12计算：（）÷=___________ 13．化简：________. 三、解答题(每小题8分，共48分） 14．计算： (1)； (2). 15．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图. (. （1）求被手遮住的部分，并将其化简. （2）原式的值能等于-1吗？请说明理由. 16．化简，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是_________，乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质； ③乘法分配律；④乘法交换律. （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程. 17．先化简，再求值：，选择一个合适的整数作为a的值代入求值. 18．【阅读学习】阅读下面的解题过程. 已知，求的值. 解：由知， ，即， ， 的值为. 【类比探究】 上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题. 已知，求的值. 【拓展延伸】 已知，，，求的值. 19．阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式. 解:由分母为，可设, 则由. 对于任意x，上述等式均成立， ，解得. . 这样,分式就被拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式. 解决问题:将分式分别拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第15章 第06讲 分式的混合运算（解析版） 学习目标 1.掌握分式的加减乘除混合运算法则并运用其进行计算. 2.能够应用分式的加减乘除混合运算解决实际问题． 重点：运用分式的加减乘除混合运算法则进行运算. 难点：分式加减乘除混合的运算 老师告诉你 分式的混合运算遵循以下步骤和原则： 运算顺序 ：先进行乘方运算然后进行乘除运算，最后进行加减运算。 如果有括号，则先计算括号内的内容，在没有括号的情况下，同级运算从左到右依次进行运算，结果应化为最简分式或整式。分子和分母需要进行约分，以得到最简形式 特殊注意 ：当分子或分母的系数为负数时，应将负号提到分式前面 通分时，要找到各分式的最简公分母 加减法中，同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减时，要先通分再计算 请根据这些原则进行分式的混合运算，并确保最后结果是最简形式。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 、分式混合运算的步骤 分式的混合运算 与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 【新知导学】 例1-1．数学课上，老师展示佳佳的解答如下： 计算：， 原式① ② ③ ＝3④ 对佳佳的每一步运算，依据错误的是：( ) A.①：同分母分式的加减法法则 B.②：合并同类项法则 C.③：提公因式法 D.④：等式的基本性质 答案：D 解析：①：同分母分式的加减法法则，正确； ②：合并同类项法则，正确； ③：提公因式法，正确； ④：分式的基本性质，故错误； 故选：D. 【对应导练】 1．如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是( ) 第一步 第二步 第三步 第四步 A.第二步运用了分式的基本性质 B.从第三步开始出现错误 C.原分式的计算结果为 D.当时，原分式的值为0 答案：D 解析：第二步运用了分式的基本性质，将两个分式的分母进行通分，故选项A判断正确，不符合题意； 从第三步运算，应为分式的分母不变，分子相加减，解答过程丢掉分母，选项B判断正确，不符合题意； 分式的计算过程如下： 故选项C判断正确，不符合题意； 当时，原分式的分母值为0，分式没有意义，故判断错误，符合题意. 故选：D. 2．以下是代数式排乱的化简步骤： ①； ②； ③； ④. 则正确化简步骤的顺序是( ) A.①→③→④→② B.③→①→④→② C.③→④→①→② D.①→④→③→② 答案：C 解析：原式 . 由上化简过程可得顺序为：③→④→①→②. 故选：C. 知识点2 、分式混合运算 （1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度 【新知导学】 例2-1．化简：. 答案：原式 解析： . 例2-2．化简：. 答案： 解析：原式， ， ， . 【对应导练】 1．计算： 答案： 解析： . 2．计算. 答案： 解析：, . 3．以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ③ … 解： （1）上面的运算过程中第_________步出现了错误，并在上框内写出完整的解答过程； （2）选择一个你喜欢的x的值代入求值. 答案：（1）③；完整过程见解析 （2）当时，原式 解析：（1）③ 原式 . （2）（答案不唯一）当时，原式. 4．以下是小华化简分式的过程： 原式① ② ③ （1）小华的解答过程在第______步出现错误. （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值. 答案：（1）② （2）过程见解析， 解析：（1）小华的解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号 第②步应该为： 故答案为②； （2）原式 ， 当时， 原式. 知识点3 、分式混合运算的实际应用 （1） 读懂题意，分清问题中的数量关系. （2） 根据数量关系列出代数式. （3） 按分式的运算法则、运算顺序解决问题. 【新知导学】 例3-1．一块麦田有，甲收割完这块麦田需，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？ 答案： 解析： . 所以两人一起收割完这块麦田需要. 例3-2．以下是某同学化简分式的部分运算过程： 原式① ② ③ …… （1）上面的运算过程中第_____步出现了错误； （2）选择一个你喜欢的x的值代入求值. 答案：（1）③ （2）； 解析：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③； （2）原式 当时，. 故答案为：；. 【对应导练】 1．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料. （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ （2）谁的购买方式平均单价较低？ 答案：（1）甲的平均价格是，乙的平均价格是 （2）所以乙的购买方式平均单价低 解析：（1）甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）甲-乙，即 因为（）， 所以， 所以，即 所以. 所以乙的购买方式平均单价低. 2．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的价格为a元/，B种糖的价格为b元/，则mA种糖和nB种糖混合而成的什锦糖的价格为元/.现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成.其中甲种什锦糖由10A种糖和10B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成.你认为哪一种什锦糖的价格较高？为什么？ 答案：甲种糖的价格较高，理由见解析 解析：甲种糖价格为（（元/）， 乙种糖价格为（元/）， ， 甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成， ， 甲种糖的价格较高. 二、题型训练 1.分式的混合运算 1．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图. (. （1）求被手遮住的部分，并将其化简. （2）原式的值能等于-1吗？请说明理由. 答案：（1） （2）不能.理由见解析 解析：（1）方法一：设被手遮住的部分为A， 则， ， ， 则. 方法二：被手遮住的部分 . （2）不能. 理由：若原式的值能等于-1， 则，即. 当时，无意义， 所以原式的值不能等于-1. 2．以下是小华化简分式的过程： 原式① ② ③ （1）小华的解答过程在第______步出现错误. （2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值. 答案：（1）② （2）过程见解析， 解析：（1）小华的解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号 第②步应该为： 故答案为②； （2）原式 ， 当时， 原式. 3．计算： （1）； （2）. 答案：（1） （2） 解析：（1） . （2） . 2.分式化简求值 4．先化简，再求值：，其中. 答案：-1 解析：，，原式. 5．已知，求代数式的值. 答案：2 解析：， ，，原式. 6．已知：，①化简A；②若.求A的值. 答案：①；②1 解析：① ； ②， ， 原式. 3.利用分式的运算法则求字母的值 7．已知对任意x有，则__________，__________，__________. 答案：1；； 解析： ， 又 ， 解得. 故答案为：，，. 8．已知m、n、p是正数，且满足，，则__________. 答案： 解析：设，则，.. 等式可变形为： ， ， . ， . . 故答案为：. 9．已知，则实数_______________. 答案：1 解析：， 因为， 所以，解得. 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．计算：( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：， 故选：A. 2．在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米,下坡时的速度为每小时v2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( ) A.千米 B.千米 C.千米 D.无法确定 答案：C 解析：平均速度=总路程÷总时间,题中没有单程,可设单程为1,那么总路程为2. 依题意得：千米. 故选C. 3．小明在纸上书写了一个正确的演算过程,同桌小亮一不小心撕坏了一角,如图所示,则撕坏的一角中“■”为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：撕坏的一角中“■”为 , 故选A 4．试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上了墨汁，则被墨汁遮住部分的代数式为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意，得被墨水遮住部分的代数式是. 故选A 5．计算的结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：. 故选C 6．化简的结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析： ， 故选：D. 7．计算的结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析： = . . = 故选D 8．化简的结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析： ， 故选：D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．计算的结果是____________. 答案：1 解析： ， 故答案为：1. 10．化简：______. 答案：/ 解析： . 故答案为：. 11．已知（且），，…，，则的值为________. 答案： 解析：， ， ， ， ， ， …， 由上可得，每三个为一个循环， ， . 故答案为：. 12计算：（）÷=___________ 【答案】 【分析】先算括号内的分式减法，然后计算括号外的分式除法即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． 13．化简：________. 答案：/ 解析： ； 故答案为：. 三、解答题(每小题8分，共48分） 14．计算： (1)； (2). 答案：(1) (2) 解析：(1) ； (2) . 15．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图. (. （1）求被手遮住的部分，并将其化简. （2）原式的值能等于-1吗？请说明理由. 答案：（1） （2）不能.理由见解析 解析：（1）方法一：设被手遮住的部分为A， 则， ， ， 则. 方法二：被手遮住的部分 . （2）不能. 理由：若原式的值能等于-1， 则，即. 当时，无意义， 所以原式的值不能等于-1. 16．化简，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程： （1）甲同学解法的依据是_________，乙同学解法的依据是_________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质； ③乘法分配律；④乘法交换律. （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程. 答案：（1）②；③ （2）见解析 解析：（1）②；③ （2）选择甲同学的解法： . 选择乙同学的解法： . 17．先化简，再求值：，选择一个合适的整数作为a的值代入求值. 答案：；2，答案不唯一 解析： ， ∵，，， 当时， 原始. 18．【阅读学习】阅读下面的解题过程. 已知，求的值. 解：由知， ，即， ， 的值为. 【类比探究】 上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题. 已知，求的值. 【拓展延伸】 已知，，，求的值. 答案：【类比探究】 【拓展延伸】 解析：【类比探究】由知， ， 即， ， ， . 【拓展延伸】，，， ，且， . ， . 19．阅读材料： 将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式. 解:由分母为，可设, 则由. 对于任意x，上述等式均成立， ，解得. . 这样,分式就被拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式. 解决问题:将分式分别拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式. 答案：解：由的分母为，可设， 则. 对于任意x，上述等式均成立，，. . 由的分母， 可设， 则由 . 对于任意x，上述等式均成立，解得 . 学科网（北京）股份有限公司 $$