四川天府新区综合高级中学2024-2025学年高一上学期数学期末模拟测试（03）

四川天府新区综合高级中学2024级高一上期期末模拟测试（03） 班级： 姓名： 总分： 一、单选题 1．设集合，，则( ) A． B． C． D． 2．半径为，圆心角为的扇形的弧长为( ) A． B． C． D． 3．若函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标是( ) A． B． C． D． 4．已知，则的值是( ) A． B． C． D． 5．已知关于的方程有一根大于，另一根小于，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 6．设，，，则，，的大小关系是( ) A． B． C． D． 7．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是( ) A． B． C． D． 8．已知，，，则的最小值为( ) A．11 B．10 C．9 D．8 二、多选题 9．下列四组函数中，与不相等的是( ) A．， B．， C．， D．， 10．对于实数，，，下列结论中正确的是( ) A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 11．已知函数和（且为常数）,以下结论正确的是( ) A． 当时，存在实数，使得关于的方程有四个不同的实数根 B． 存在，使得关于的方程有三个不同的实数根 C． 当时，若函数恰有个不同的零点，，，则 D．当时，关于的方程有四个不同的实数根，，，， 且，若在上的最大值为，则 三、填空题 12． ． 13．已知幂函数（为常数）的图象经过点，则的值是 ． 14．已知是定义在上的奇函数，且当时，.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．计算：（1）； （2）. 16．已知为角终边上一点． (1)求和的值； (2)求的值． 17．已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是减函数. 18．已知定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）求函数，的解析式； （2）设函数，记 .探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由. 19．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A C A D A D ABC BC 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】由补集的定义可得答案. 【详解】集合，，则 故选B 【点睛】本题考查集合的补集的运算，属于简单题. 2．C 【分析】由扇形的弧长公式直接计算即可得结果. 【详解】扇形的弧长, 又半径为，圆心角为， 则 故选C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用. 3．A 【分析】由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数图象所过的定点即可. 【详解】当x+3=1时，即x=-2时此时y=0, 则函数（，且）的图象恒过定点（-2,0） 故选A 【点睛】本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题，涉及到的知识点是1的对数等于零，从而求得结果，属于简单题. 4．C 【分析】将所求式子的分子分母同时除以，得到关于的式子，将代入即可得到结果. 【详解】将分子分母同时除以， 故选C 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，常用方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=; 形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；（2）“1”的灵活代(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化. 5．A 【解析】令，只需，然后求解的取值范围. 【详解】令二次函数， 因为关于的方程的一根大于，另一根小于， 所以只需，得， 故选：A． 【点睛】本题考查二次方程根的分布问题，较易,解答时抓住二次方程、二次函数、二次不等式之间的联系. 6．D 【分析】由对数函数的图像可知c<0,由指数函数图像可判断出a,b与1的关系，从而得到a,b,c的大小关系. 【详解】由指数函数图像可知<1, 由对数函数图像可知c<0, 即可得到c<b<a, 故选D 【点睛】本题考查指数函数图像和对数函数图像的应用，属于简单题. 7．A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 8．D 【分析】根据题设得到且，代入目标式并应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 9．ABC 【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数． 【详解】选项A,f(x)定义域为R,g(x)定义域为,故两个函数不相等； 选项B,f(x)定义域为g(x)定义域为,故两个函数不相等； 选项C,f(x)定义域为Rg(x)定义域为,故两个函数不相等； 选项D,化简函数g(x)=x与函数f(x)相同，故两个函数相等； 故选ABC 【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数． 10．BC 【分析】对A、D：举出反例即可得；对B、C：结合不等式的性质计算即可得. 【详解】对A：若，则，故A错误； 对 B：由，则，即，则，即，故B正确； 对C：由，，则，即，故C正确； 对D：取，，则，故D错误. 故选：BC. 11．AC 【分析】根据不同的条件画出不同的函数图像，由图像结合函数的性质逐个检验即可得到答案. 【详解】对A，当y=的对称轴小于0即m<0且最大值大于4时可知g(x)=4与函数f(x)有四个不同的交点，满足题意； 对B，由图像可知，f(x)=a不可能有三个实数根，故错误； 对C，函数恰有个不同零点，，，令t=f(x), 则有两个不等的实数根，其中 当时对应的根当时，对应的根为，，当|ln|=|ln|时， 有-ln=ln即满足=1，则，故正确； 对D，当m=-4时图像如图，由图像可知则<,即在上的最大值为则,,由对称性可知， 则)=sin=1,故错误； 故选C 【点睛】本题考查方程与函数问题，考查数形结合的思想，考查对数函数图像和二次函数图像性质的综合应用，属于中档题. 12． 【分析】利用诱导公式，直接计算结果. 【详解】. 故答案为： 13． 【分析】将点代入函数解析式，即可得到的值. 【详解】已知幂函数（为常数）的图象经过点, 则，则， 故答案为 【点睛】本题考查幂函数定义的应用，属于简单题. 14． 【分析】利用函数奇偶性画出函数f(x)的图像，然后将题中的恒成立问题转为函数f(x)的图像始终在函数的图像的上方，观察图像即可得到答案. 【详解】由已知条件画出函数f(x)的图像(图中实线)，若对任意的，不等式恒成立，即函数f(x)的图像始终在函数的图像的上方， 当a<0时，将函数f(x)图像向左平移，不能满足题意，故a>0， 将函数f(x)图像向右平移时的临界情况是当D点与B点重合，且临界情况不满足题意，由图可知向右平移的个单位应大于6即可，即解得a>, 故答案为 【点睛】本题考查函数恒成立问题的解决方法，考查函数图像即数形结合的应用，属于中档题. 15．（1）；（2）4 【分析】由指数幂的运算和对数运算即可得到答案. 【详解】（1）原式 （2）原式 . 【点睛】本题考查指数幂和对数的运算性质的应用，属于简单题. 16．(1) (2) 【分析】（1）由三角函数定义可得； （2）利用诱导公式化简，再将齐次比式化弦为切代入求值可得. 【详解】（1）为角终边上一点． ． （2）. 17．（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)先判断函数定义域关于原点对称，然后利用奇偶性定义即可判断；（2） 任取，且，利用函数单调性的定义作差分析即可得到证明. 【详解】（1）函数的定义域为. 对于定义域内的每一个，都有， . 函数为偶函数 （2）设任意，且，则 . 由，得，， 于是，即. 函数在上是减函数. 【点睛】本题考查函数奇偶性和函数单调性定义的应用，属于基础题. 18．（1）见解析；（2） 【分析】(1)已知，结合函数的奇偶性可得，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知为奇函数，图象关于对称，则的图象关于点中心对称，利用对称性可得，然后利用恒成立问题解即可. 【详解】（1）， 函数为偶函数，为奇函数， ， ，. （2）易知为奇函数，其函数图象关于中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 即对任意的，成立. ， . 两式相加，得 . 即. . ，即. . ， 恒成立. 令，. 则在上单调递增. 在上单调递增. . 又已知，. 【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题. 19．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． （2）恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$