江苏省盐城市第一中学2024-2025学年高一上学期数学作业十二

试卷第 1 页，共 5 页 2024—2025 盐城市第一中学高一上学期数学作业十二 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ）． A． B． C． D． 2．已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知实数 ，且“ ”的一个必要不充分条件是“ ”，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知命题 ． 为真命题，则 m的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 5．已知函数 ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 或 1 6．已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 或 7．若 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 8．已知正实数 ， ，满足 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． { }!" #" $"%"$! = − − − ! " # $ ! " "   = < +  ! " =I { }!" #" $"%"$− − − { }!"# { }!" #− − { }!− !"# $ % #&' α α = − + !"# #$% & α α − ! ! ! ! − ! !− !! > ! ! "! !− − < ! "< ! !"# $+∞ ( )!"+∞ !"#$% ( )!"# !! "∀ ∈! ! " #!" !"+ + ≥ { }!! ! > { }!! ! ≥ { }! "! !< ≤ { }! "! !≤ ≤ ( ) !" #$% " & ' ! (& '! ! ! " ! !−  − < =  − ≥ ( ) !! " = ( )!! "− ! ! !− ! !"#$ %&'" (θ θ+ = !"#θ ! " ! " ± ! " ! " ! " !"! #$%& '! = !"#$%& !"'! = !"#!#! = ! " #> > ! " #> > ! " #> > ! " #> > ! ! ! " !#! " ! " + + + = ! " ! " + ( ]!"# [ ]!"# [ ]! "! [ ]!"# 试卷第 2 页，共 5 页 二、多选题 9．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数 且 的图象经过定点 ，且点 在角 的终边上，则 的值可能是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数 ，则（ ） A． ，都有 B．不等式 的解集是 C． 是 上的递减函数 D． 的值域为 三、填空题 12．已知集合 ，集合 ，若 ，则实数 ． 13．若角 的终边在直线 上，则 的值为 . 14．已知 是定义在 R上的奇函数，当 ， 且 时，都有 ，若 ，则不等式 的解集为 . !! " #> > > ! " ! # " # + < + !! "#> ! ! ! " # " > + + ! !"" #$ #$! " # " >  ( ) !"# $ $% &!" # # !=  + > !"! ≠ ! ! θ ! ! "#$ %&$θ θ + !" " # + !" " # + ! " # + ! " # + ( ) ! " ! " ! !" ! − = + !!∀ ∈ ( ) ( )! " ! "− = ( ) ! " ! " < ( )!"!− ( )! " ! ( )! " ( )!"!− { }!"!"! "= − { }!"#! "= ! "⊆ ! = α !! "= !"#α ( )! " !" ( )! "#! ∞∈ + ! "! !≠ ( ) ( )! " " ! " ! # ! " ! ! " ! ! !  >  ( )! !! = ( )! " "> 试卷第 3 页，共 5 页 四、解答题 15．已知集合 ， . (1)若 ，求 ， . (2)是否存在实数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 16．已知 ． (1)化简 ； (2)若 是第三象限角，且 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． ! " #$! " "= < < ! " # $%! " # " #= − < < + !! = ! "∩ ! "! "! ! ! ! " ! "=I " ! !!"#$% !!& '("%)! &"#$ )% & '("% ! &"#$%! & ! α α α α α α  − − − +   = − − − ! "! α α !! "#$% & ' α − =    ! "! α !"! ! α = − ! "! α 试卷第 4 页，共 5 页 17．（1）化简： ，其中 是第二象限角； （2）化简： . 18．某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点 O为圆心的两个同心圆弧和通过点 O的两 条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10 米．设小圆弧所在 圆的半径为 x米，圆心角（正角）为 θ弧度． (1)求 θ关于 x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y关于 x的函数关系式，并求出 x为何值时，y取得最大值． ! "#$% " &'% α α − α !"# $%# !"# & '(! $%# !"# α α α α α α − ⋅ − + 试卷第 5 页，共 5 页 19．已知定义在 上的函数 是奇函数. (1)求函数 的解析式； (2)判断 的单调性，并用单调性定义证明； (3)若存在 ，使得关于 的不等式 能成立，求实数 的取值范围. ! ( ) !" " ! ! ! "# ! +− = + ( )! " ( )! " !! > ! ! ! " #!" # " !# # #    + + − − >        ! 试卷第 1 页，共 14 页 2024—2025 盐城市第一中学高一上学期数学作业十二 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题 1．已知集合  3, 2, 1,0,1A = - - - ， 1 0 2 3 B x x ì ü = <í ý+î þ ，则 A B =I （ ）． A． 3, 2, 1,0,1- - - B． 0,1 C． 3, 2- - D． 3- 【答案】C 【难度】0.94 【来源】湖北省部分学校 2024-2025 学年高三上学期 12 月联考数学试题 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】解分式不等式，再求交集即可. 【详解】由 1 0 2 3x < + ，得 3 2 x < - ，即 3 2 B x xì ü= < -í ý î þ ， 因为  3, 2, 1,0,1A = - - - ， 所以  3, 2A B -= -I ． 故选：C. 2．已知 cos 3 1 sin a a = - + ，则 cos sin 1 a a - 的值为（ ） A． 3 3 B． 3 3 - C． 3 D． 3- 【答案】A 【难度】0.85 【来源】训练 54 简单的三角恒等变换-【勤径学升】2024-2025 学年高中数学必修第一册同 步练测（人教 A 版 2019） 【知识点】利用平方关系求参数 【分析】由 cos cos 1 1 sin sin 1 a a a a × = - + - 即可求解. 【详解】因为 2 2 2 2 cos cos cos 1 sin 1 1 sin sin 1 sin 1 sin 1 a a a a a a a a - × = = = - + - - - ，且 cos 3 1 sin a a = - + ， 所以 cos 3 sin 1 3 a a = - . 试卷第 2 页，共 14 页 故选：A 3．已知实数 0a > ，且“ 2 2 0x x- - < ”的一个必要不充分条件是“ x a< ”，则实数 a的取值范 围是（ ） A．[2, )+¥ B．  2, +¥ C． (0,1] D．  0,1 【答案】A 【难度】0.85 【来源】浙江省 A9 协作体 2024-2025 学年高一上学期 11 月期中联考数学试题 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断命题的必要不充分条件、根据必要不充分条件 求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】分别解不等式可得 ( 1, 2)x Î - 、 ( , )x a aÎ - ，结合充分、必要条件可得 ( 1, 2) ( , )a a- -Ü ， 建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由 2 2 0x x- - < ，得 1 2x- < < ，即 ( 1, 2)x Î - ， 由 x a< ， 0a > ，得 a x a- < < ，即 ( , )x a aÎ - ， 因为“ x a< ”是“ 2 2 0x x- - < ”的必要不充分条件， 所以 ( 1, 2)- Ü ( , )a a- ，得 1 2 a a - £ -ì í ³î （等号不能同时成立），解得 2a ³ ， 即实数 a的取值范围为[2, )+¥ . 故选：A 4．已知命题 :p x" ÎR ． 2 1 0mx mx+ + ³ 为真命题，则 m 的取值范围是（ ）． A． 4m m > B． 4m m ³ C． 0 4m m< £ D． 0 4m m£ £ 【答案】D 【难度】0.65 【来源】云南省凤庆县第一中学 2024-2025 学年高一上学期期中检测数学试题 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】命题 :p x" Î R ， 2 1 0mx mx+ + ³ 为真命题，所以不等式 2 1 0mx mx+ + ³ 的解集为 R．分类讨论，结合二次函数知识计算即可. 【详解】因为命题 :p x" Î R ， 2 1 0mx mx+ + ³ 为真命题， 试卷第 3 页，共 14 页 所以不等式 2 1 0mx mx+ + ³ 的解集为 R． 当 0m = 时，1 0³ 恒成立，满足题意； 当 0m ¹ 时，由题意得 2 0 4 0 m m m >ì í - £î ，解得0 4m< £ ， 故 m 的取值范围为0 4m£ £ ． 故选：D． 5．已知函数   21 log 1 , 3 2 7, 3x x x f x x- ì - < = í - ³î ，且   1f a = ，则  3f a- 的值为（ ） A．0 B．1 C． 3- D．0 或 1 【答案】B 【难度】0.85 【来源】江苏省南京市六校 2024-2025 学年高一上学期 12 月联合调研数学试题 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、指数幂的运算、对数的运算 【分析】分 3a < ， 3a ³ 两种情况讨论求解即可. 【详解】当 3a < 时，   2 1log 1f aa -= = ，解得 3a = （舍去）或 1a = - ， 此时     33 4 2 7 1f a f- = = - = ； 当 3a ³ 时，   1 12 7af a -= - = ，解得 4a = ， 此时     2 1l g 1 13 1 of a f - -= -- = = . 综上所述，  3 1f a- = . 故选：B. 6．已知3sin 4cos 5q q+ = ，则 tanq 等于（ ） A． 3 4 B． 3 4 ± C． 3 5 D． 3 4 或 3 5 【答案】A 【难度】0.85 【来源】第 1 讲 三角函数基本概念、基本关系中的思想方法--数学思想方法（同步）【讲】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】方法一：由3sin 4cos 5q q+ = 得3sin 5 4cosq q= - ，两边平方得 2 29sin (5 4cos )q q= - ， 试卷第 4 页，共 14 页 与 2 2sin cos 1q q+ = 联立即可求解； 方法二：由3sin 4cos 5q q+ = 得 2 29sin 24sin cos 16cos 25q q q q+ + = ，再根据 2 2sin cos 1q q+ = 可得 224sin cos 7cos 16q q q+ = ，在等式两边同时除以“1”即可求解. 【详解】解法一：由3sin 4cos 5q q+ = 得3sin 5 4cosq q= - ， 两边平方得 2 29sin (5 4cos )q q= - ， 又知 2 2sin cos 1q q+ = ， 所以可得 225cos 40cos 16 0q q- + = ，即 2(5cos 4) 0q - = ， 解得 4cos 5 q = ，所以 3sin 5 q = ， 因此 sin 3tan cos 4 qq q = = ． 解法二：由3sin 4cos 5q q+ = 得 2 29sin 24sin cos 16cos 25q q q q+ + = ， 又知 2 2sin cos 1q q+ = ，所以有 224sin cos 7cos 16q q q+ = ， 于是左边作“1”的代换有 2 2 2 24sin cos 7cos 16 sin cos q q q q q + = + ， 从而可得 2 24 tan 7 16 1 tan q q + = + ， 所以 216 tan 24 tan 9 0q q- + = ，即 2(4 tan 3) 0q - = ， 解得 3tan 4 q = ， 故选:A． 7．若 1.13log 9a = ， 0.5log 0.2b = ， 0.404c = ，则（ ） A． a b c> > B．b a c> > C． c a b> > D． a c b> > 【答案】B 【难度】0.65 【来源】四川省仁寿县 2024-2025 学年高三上学期一模诊断数学试卷 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】结合指数函数和对数的运算性质易得 2.2a = ， 2log 5b = ， 2c < ，进而分析比较 2.22 与5的大小，进而比较 112 与 55 的大小，进而判断即可. 【详解】 1.1 3 3 21.log 9 lo 91 g 2.a = == × ， 50.40 1 0. 24 4 24c < == = ， 试卷第 5 页，共 14 页 0.5 1 2 2 2 1log 0.2 log log 5 log 4 2 5 b = = = > = ， 则 a c> ，b c> ，下面比较 a与b 的大小， 即比较 2.2 2log2 2.2 = 与 2log 5的大小， 即比较 2.22 与5的大小， 即比较 112 与 55 的大小，而 11 52 2048 5 3125= < = ， 则 a b< ，所以b a c> > . 故选：B. 8．已知正实数 a，b ，满足 1 9 10a b a b + + + = ，则 1 9 a b + 的取值范围为（ ） A．  0,7 B． 1,9 C． 2 8, D． 3,6 【答案】C 【难度】0.65 【来源】浙江省宁波市三锋教研联盟 2024-2025 学年高一上学期期中联考数学试题 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据 1 9 10a b a b + + + = ，由 1 1 19 10 99 a b a b ba a b æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷ æ ö+ + = è ø è + ÷ è ø ø ç ，得到 2 11 9 0 10 19 9b a a ba b a b æ ö æ ö+ + +ç ÷ ç ÷ ø + è è + ø = ，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：因为 1 9 10a b a b + + + = ， 所以 1 1 19 10 99 a b a b ba a b æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷ æ ö+ + = è ø è + ÷ è ø ø ç ，即 2 11 9 0 10 19 9b a a ba b a b æ ö æ ö+ + +ç ÷ ç ÷ ø + è è + ø = ， 因为 9 92 6b a b a a b a b + ³ × = ，则 2 61 19 1 1 90 a b a b æ ö æ ö+ +ç ÷ ç ÷ è ø è £ ø + ，解得 1 92 8 a b £ + £ ，当且仅当 9 1 9 10 b a a b a b a b ì =ïï í ï + + + = ïî ，即 1 2 3 2 a b ì =ïï í ï = ïî 或 2 6 a b =ì í =î 时，等号成立， 所以 1 9 a b + 的取值范围为 2 8, ， 故选：C 试卷第 6 页，共 14 页 二、多选题 9．已知 0a b c> > > ，则（ ） A． a c a b c b + < + B． 2b ac> C． 1 1 b c a c > + + D． 2 2(( 1) 1)a c b c- > - 【答案】AC 【难度】0.85 【来源】2025 届贵州省六盘水市第二次模拟预测数学试题 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】作差判断 A；举例说明判断 BD；利用不等式的性质判断 C. 【详解】 0a b c> > > ， 对于 A， ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a c a b a c a b c c b a b c b b b c b b c + + - + - - = = < + + + ，则 a c a b c b + < + ，A 正确； 对于 B，取 4, 2, 1a b c= = = ，满足 0a b c> > > ，而 2 4b ac= = ，B 错误； 对于 C， 0a c b c+ > + > ，因此 1 1 b c a c > + + ，C 正确； 对于 D， 1a b> > ，取 1c = ，满足 0a b c> > > ，而 2 2( 1) 0 1)(a c b c- = = - ，D 错误. 故选：AC 10．已知函数   log 2 2( 0af x x a= - + > 且 1)a ¹ 的图象经过定点A ，且点A 在角q 的终边上， 则 1 1 tan sinq q + 的值可能是（ ） A． 13 3 4 + B． 13 3 2 + C． 5 1 4 + D． 5 1 2 + 【答案】BD 【难度】0.65 【来源】湖北省襄阳市 2022-2023 学年高一上学期期末数学试题 【知识点】对数型函数图象过定点问题、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据函数解析式求出函数过的定点，再利用三角函数的定义求出sinq 和 tanq 即 可. 【详解】根据题意可知函数   log 2 2af x x= - + 的图象经过定点A , 则  3,2A 或  1,2A , 试卷第 7 页，共 14 页 当点  3,2A 在角q 的终边上，则 2 2 2 2 13sin 133 2 q = = + ， 2tan 3 q = ， 则 1 1 3 13 13 3 tan sin 2 2 2q q + + = + = ， 当点  1,2A 在角q 的终边上，则 2 2 2 2 5sin 51 2 q = = + ， tan 2q = ， 则 1 1 1 5 5 1 tan sin 2 2 2q q + + = + = ， 故选：BD . 11．已知函数   2 1 2 1 x xf x - = + ，则（ ） A． Rx" Î ，都有    f x f x- = B．不等式   1 3 f x < 的解集是  1,1- C．  f x 是R 上的递减函数 D．  f x 的值域为  1,1- 【答案】BD 【难度】0.65 【来源】广东省广州市第七十五中学 2024-2025 学年高一上学期第二次阶段性测试数学试卷 【知识点】求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与 判断、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数的图象和运算性质逐一判断即可. 【详解】由题意得   2 1 21 2 1 2 1 x x xf x - = = - + + ， 选项 A：     12 21 1 2 1 1 2 x x xf x f x + -- = - = - ¹+ + ，故 A 说法错误； 选项 B：由   1 3 f x < 得 1 2 113 32 1x- < - <+ ，即 1 1 2 3 32 1x < < + ， 所以 3 2 1 3 2 x< + < ， 1 2 2 2 x< < ，解得 1 1x- < < ， 所以原不等式的解集为  1,1- ，故 B 说法正确； 选项 C：因为 2 1xy = + 单调递增， 2 2 1x y = + 单调递减， 所以   21 2 1x f x = - + 是R 上的递增函数，故 C 说法错误； 试卷第 8 页，共 14 页 选项 D：由 20 2 2 1x < < + 可得 21 1 1 2 1x - < - < + ，即函数  f x 的值域为  1,1- ，故 D 说法正确； 故选：BD 三、填空题 12．已知集合  1,1,A m= - ，集合  21,B m= ，若B AÍ ，则实数m = ． 【答案】0 【难度】0.85 【来源】上海市松江二中 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由B AÍ ，得到 2m m= ，再结合集合元素互异性即可求解. 【详解】因为B AÍ ， 所以 2m m= ．解得 1m = （舍，集合元素互异性）或 0． 故答案为：0 13．若角a 的终边在直线 3y x= 上，则 cosa 的值为 . 【答案】 10 10 ± 【难度】0.85 【来源】河南省洛阳市第十高级中学 2024-2025 学年高一专业班上学期第三次月考数学试卷 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】在直线方程任取一点，利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角a 的终边在直线 3y x= 上，取直线 3y x= 上任一点   ,3 0x x x ¹ ， 当 0x > 时，  22 3 10r x x x= + = ，则 10cos 1010 x x r x a = = = ； 当 0x < 时，  22 3 10r x x x= + = - ，则 10cos 1010 x x r x a = = = - - ； 综上， cosa 的值为 10 10 ± . 故答案为： 10 10 ± . 14．已知  f x 是定义在 R 上的奇函数，当 1x ，  2 0,x ¥Î + 且 1 2x x¹ 时，都有 试卷第 9 页，共 14 页    2 1 1 2 1 2 0 x f x x f x x x - > - ，若  4 4f = ，则不等式  f x x> 的解集为 . 【答案】    4,0 4,- +¥U 【难度】0.65 【来源】黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学 2024-2025 学年高三上学期第三次月考数学试题 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的 单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意构造函数    f xg x x = ，根据单调性定义知  g x 在(0, + ∞)上单调递增， 再根据奇偶性定义得  g x 是偶函数，然后分 0x > 和 0x < 两种情况，利用单调性解不等式即 可. 【详解】因为当 1x ，𝑥 ∈ (0, + ∞)且 1 2x x¹ ，都有    2 1 1 2 1 2 0 x f x x f x x x - > - ， 所以    1 2 1 2 1 2 0 f x f x x x x x - > - ，令    f xg x x = ，则  g x 在(0, + ∞)上单调递增， 又  f x 是定义在 R 上的奇函数，  g x 的定义域为    ,0 0,¥ ¥- È + ， 且        f x f xg x g x x x - - = = = - ，所以  g x 是偶函数，  0 0f = ， 所以  g x 在  ,0¥- 上单调递减，对于  f x x> ，显然 0x = 不满足不等式， 因为  4 4f = ，所以    44 1 4 f g = = ，则  4 1g - = ， 当 0x > 时，得   1f x x > ，即   1g x > ，所以    4g x g> ，则 4x > ； 当 0x < 时，   1f x x < ，即   1g x < ，所以    4g x g< - ，则 4 0x- < < ； 综上， 4 0x- < < 或 4x > ，即    4,0 4,x ¥Î - È + . 故答案为：    4,0 4, ¥- È + 四、解答题 15．已知集合 { 1 8}A x x= < < ， { 1 2 5}B x a x a= - < < + . 试卷第 10 页，共 14 页 (1)若 1a = ，求 A BÇ ， ( )A BR Uð . (2)是否存在实数 a，使得 A B A B=I U ？若存在，求 a的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (1,7)A B =I ，   ( ,7) [8, )A B = -¥ +¥R U Uð (2)不存在，理由见解析 【难度】0.85 【来源】广西北海市合浦县 2024-2025 学年高一上学期期中检测数学试题 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、根据并集 结果求集合或参数 【分析】（1）根据交集，并集和补集概念得到答案； （2）根据条件得到 A B= ，从而得到方程组，方程组无解，故不存在实数 a，使得 A B A B=I U . 【详解】（1）因为 1a = ，所以 (0,7)B = ，则 (1,7)A B =I ， 由 (1,8)A = ，得 ( ,1] [8, )A = -¥ +¥R Uð ，则   ( ,7) [8, )A B = -¥ +¥R U Uð . （2）假设存在实数 a，使得 A B A B=I U ，由 A B A B=I U ，得 A B= ， 则 1 1, 2 5 8, a a - =ì í + =î ，方程组无解，从而假设不成立， 故不存在实数 a，使得 A B A B=I U . 16．已知 3πsin( 3π) cos(2π )sin 2( ) cos( π )sin(π ) f a a a a a a æ ö- - - +ç ÷ è ø= - - - ． (1)化简 ( )f a ； (2)若a 是第三象限角，且 3π 1cos 2 5 aæ ö- =ç ÷ è ø ，求 ( )f a 的值； (3)若 31π 3 a = - ，求 ( )f a 的值． 【答案】(1) cosa- ； (2) 2 6 5 ； (3) 1 2 - . 【难度】0.85 【来源】5.3 诱导公式-【勤径学升】2024-2025 学年高中数学必修第一册同步练测（人教 A 试卷第 11 页，共 14 页 版 2019） 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由诱导公式即可化简； （2）由诱导公式结合 2 2sin cos 1a a+ = 计算即可得解； （3）结合诱导公式将 31π 3 a = - 代入 ( )f a 计算可得解. 【详解】（1） 3πsin( 3π) cos(2π )sin ( sin ) cos ( cos )2( ) cos cos( π )sin(π ) ( cos )sin f a a a a a aa a a a a a æ ö- - - +ç ÷ - × × -è ø= = = - - - - - . （2）因为 3π π 1cos cos sin 2 2 5 aa aæ ö æ ö- = + = - =ç ÷ ç ÷ è ø è ø ，所以 1sin 5 a = - ， 又因为a 是第三象限角，所以 2 2 1 2 6cos 1 sin 1 5 5 a a æ ö= - - = - - - = -ç ÷ è ø ， 所以 2 6( ) cos 5 f a a= - = . （3）当 31π 3 a = - 时， 31π π π π 1( ) cos cos cos 10π cos cos 3 3 3 3 2 f a a æ ö æ ö æ ö= - = - - = - - - = - - = - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø . 17．（1）化简： 2 1tan 1 sin a a - ，其中a 是第二象限角； （2）化简： sin tan sin 1 cos tan sin a a a a a a - × - + . 【答案】（1） 1- ；（2） 1± 【难度】0.85 【来源】（课时作业） 5.2.2 同角三角函数的基本关系-【勤径学升�同步练测】2024-2025 学年高中数学必修第一册（人教 A 版 2019） 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系以及象限符号即可得出答案； （2）利用同角三角函数的关系化简计算即可. 【详解】（1）因为a 是第二象限角，所以 sin 0,cos 0a a> < ， 则 2 2 2 2 2 1 1 sin sin cos sin costan 1 tan 1 sin sin cos sin cos sin a a a a aa a a a aa a a - - - = = × = × = - ； 试卷第 12 页，共 14 页 （2） sin sinsin tan sin sin cos sin1 cos tan sin 1 cos sin cos a aa a a a a aa a a a a a -- × = × - + - +  2 2 1 cossin 1 cos sin sin 1 cos 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos sin aa a a a a a a a a a a - = - - × = × = × = ± - + - - - . 18．某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧 和通过点 O 的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆 的半径为 10 米．设小圆弧所在圆的半径为 x 米，圆心角（正角）为 θ 弧度． (1)求 θ 关于 x 的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分 的装饰费用为 9 元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并 求出 x 为何值时，y 取得最大值． 【答案】(1)  10 2 0 10 10 x x x q += < < + (2)   2 5 50 0 10 170 10 x xy x x - + + = < < + ，当 1x = 时，y 取得最大值，最大值为 3 10 【难度】0.65 【来源】训练 41 弧度制-【勤径学升】2024-2025 学年高中数学必修第一册同步练测（人教 A 版 2019） 【知识点】弧长的有关计算、基本不等式求和的最小值、扇形面积的有关计算 【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出 θ 关于 x 的函数关系式； （2）列出 y 关于 x 的函数关系式 39 1 324 10 10 y t t æ ö= - +ç ÷ è ø ，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由题意得    30 10 2 10x xq= + + - ，故  10 2 0 10 10 x x x q += < < + ． （2）花坛的面积为     2 2 21 10 5 10 5 502 x x x x xq - = + - = - + + ． 装饰总费用为    9 30 2 10 8 10 170 10x x x´ - - + - = +é ùë û ， 试卷第 13 页，共 14 页 所以花坛的面积与装饰总费用的比为   2 5 50 0 10 170 10 x xy x x - + + = < < + ． 令 17t x= + ，则  17,27t Î ，则 39 1 324 39 2 324 3 10 10 10 10 10 y t t t t æ ö= - + £ - × × =ç ÷ è ø ， 当且仅当 324t t = ，即 18t = 时， y 取得最大值，最大值为 3 10 ，此时 1x = ， 12 11 q = ． 故当 1x = 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大． 19．已知定义在R 上的函数   12 2 1 x x bf x +- = + 是奇函数. (1)求函数  f x 的解析式； (2)判断  f x 的单调性，并用单调性定义证明； (3)若存在 0x > ，使得关于 x 的不等式 2 2 1 0kf x f kx x x æ ö æ ö+ + - - >ç ÷ ç ÷ è ø è ø 能成立，求实数 k 的取值 范围. 【答案】(1) 12 2( ) 1 2 x xf x +- = + (2) ( )f x 是R 上的减函数，证明见解析 (3) 1k > 【难度】0.65 【来源】江苏省南京市六校 2024-2025 学年高一上学期 12 月联合调研数学试题 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、函数不等式能成立 （有解）问题 【分析】（1）先根据  0 0f = 求得b 的值，然后再检验即可； （2）先表示出    1 2f x f x- 并将其因式分解，然后根据条件判断出    1 2f x f x- 的正负， 由此可证明出单调性； （3）先将问题转化为“ 2 2 1 1x k x x x æ ö+ < +ç ÷ è ø 在 0x > 时能成立”，然后通过换元法求解出结果. 【详解】（1）∵  f x 是定义在R 上的奇函数，∴   20 0 1 1 bf -= = + ，∴ 2b = ， 此时    2 1 2 1 2 x xf x - = + ，        2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 x x x xf x f x - - - - - = = = - + + ， 试卷第 14 页，共 14 页 ∴  f x 是奇函数，满足题意，∴   12 2 1 2 x xf x +- = + . （2）  f x 是R 上的减函数； ∵   12 2 22 1 1 2 1 2 x x xf x +- æ ö= = -ç ÷+ +è ø ， 1 2,x x" Î R 且 1 2x x< ， 则          2 1 1 2 1 2 1 2 4 2 24 4 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x f x f x - - = - = + + + + ， ∵ 1 2x x< ，∴ 2 12 2x x> ， 11 2 0x+ > ， 21 2 0x+ > ， ∴    1 2 0f x f x- > ， 即    1 2f x f x> ，∴  f x 是R 上的减函数. （3）∵  f x 是R 上的奇函数，∴不等式 2 2 1 0kf x f kx x x æ ö æ ö+ + - - >ç ÷ ç ÷ è ø è ø 即为 2 2 1 k kf x f kx f kx x x x æ ö æ ö æ ö+ > - - - = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø ， ∵  f x 是R 上的减函数，∴ 2 2 1 1kx kx k x x x x æ ö+ < + = +ç ÷ è ø 在 0x > 时能成立； 令  1 , 0t x x x = + > ，则 1 12 2t x x x x = + ³ × = ，当且仅当 1x = 时取等号， 故 2 2 22 11 2 2 2 1 1 xx txxk t t tx x x x æ ö+ -+ ç ÷ -è ø> = = = - + + 在 2t ³ 时能成立， 所以   min 2 2k t t t æ ö> - ³ç ÷ è ø ， 令   2h t t t = - ，∵ 2,y t y t = = - 在 2, +¥ 上均单调递增， ∴   2h t t t = - 在 2, +¥ 上单调递增，∴    min 2 2 1 1h t h= = - = ， 故 1k > . 2024—2025盐城市第一中学高一上学期数学作业十二 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 2．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数，且“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知命题．为真命题，则m的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 5．已知函数，且，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 6．已知，则等于（    ） A． B． C． D．或 7．若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知函数且的图象经过定点，且点在角的终边上，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（ ） A．，都有 B．不等式的解集是 C．是上的递减函数 D．的值域为 三、填空题 12．已知集合，集合，若，则实数 ． 13．若角的终边在直线上，则的值为 . 14．已知是定义在R上的奇函数，当，且时，都有，若，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．已知集合，. (1)若，求，. (2)是否存在实数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 16．已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 17．（1）化简：，其中是第二象限角； （2）化简：. 18．某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度． (1)求θ关于x的函数关系式； (2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值． 19．已知定义在上的函数是奇函数. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并用单调性定义证明； (3)若存在，使得关于的不等式能成立，求实数的取值范围. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$