4．2．1 等差数列的概念（八大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

4．2．1 等差数列的概念 目录 【题型归纳】 2 题型一：等差数列的判断 2 题型二：等差数列的通项公式及其应用 2 题型三：等差数列的证明 3 题型四：等差中项及应用 4 题型五：等差数列的实际应用 4 题型六：的应用 4 题型七：等差数列性质的应用 5 题型八：等差数列中对称设项法的应用 6 【重难点集训】 6 【高考真题】 9 【题型归纳】 题型一：等差数列的判断 1．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·高二·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 3．（2024·高二·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：等差数列的通项公式及其应用 5．（2024·高二·全国·课前预习）已知等差数列1，，，，…，． (1)求该数列的通项公式与项数； (2)是不是该数列的项？如果是，是第几项？ 6．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成的，试写出的一个通项公式． 8．（2024·高二·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 题型三：等差数列的证明 9．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列； 10．（2024·高二·上海·课堂例题）已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 11．（2024·高二·江苏·阶段练习）数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 题型四：等差中项及应用 12．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）已知等差数列中，分别是方程的两个根，则 ． 13．（2024·高二·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 题型五：等差数列的实际应用 14．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 15．（2024·高三·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 16．（2024·高二·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 17．（2024·高三·山东临沂·阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ，这9节竹子的总容积为 . 题型六：的应用 18．（2024·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为． （1）若，，求的值； （2）若，，求公差． 19．（2024·高二·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 20．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中,已知,,求. 21．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）在等差数列中，已知，. （1）求出首项与公差，并写出通项公式； （2）中有多少项属于区间？ 题型七：等差数列性质的应用 22．（2024·高二·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 23．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列的前四项，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 24．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列是等差数列，，，则过点，的直线斜率为（   ） A．4 B． C． D． 25．（2024·高二·全国·课后作业）已知在等差数列中，，则数列的通项公式为 ． 题型八：等差数列中对称设项法的应用 26．（2024·高二·全国·课后作业）已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 27．（2024·高二·陕西延安·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数. 28．（2024·高三·全国·专题练习）已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式. 【重难点集训】 1．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（   ） A． B．1012 C． D．1013 2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知等差数列，则是成立的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列中，，若，都有恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列满足，且，则数列的前101项中能被整除的项数为（    ） A．42 B．41 C．40 D．39 9．（多选题）（24-25高三上·河南·期中）记数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列的前n项和为 D．数列的前2023项和为 10．（多选题）（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知，且成等差数列（    ） A．也成等差数列 B．也成等差数列 C． D． 11．（多选题）（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 12．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列. 若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为 . 13．（2024·浙江温州·一模）已知正项数列满足，且，则 . 14．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）在数列中，，，若，则 ． 15．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 16．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列满足，． (1)求、、 ； (2)是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间都插入3项，使其与原数列的数构成新的等差数列． (1)若插入的第一组3项之和记为，第二组3项之和记为，构成数列．判断是否为等差数列，若是，求出通项公式，若不是，说明理由； (2)在（1）的条件下，用与表示． 18．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 【高考真题】 1．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 2．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024·江苏镇江·三模）命题P：的平均数与中位数相等；命题Q： 是等差数列，则P是Q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．2．1 等差数列的概念 目录 【题型归纳】 2 题型一：等差数列的判断 2 题型二：等差数列的通项公式及其应用 3 题型三：等差数列的证明 5 题型四：等差中项及应用 6 题型五：等差数列的实际应用 7 题型六：的应用 9 题型七：等差数列性质的应用 10 题型八：等差数列中对称设项法的应用 11 【重难点集训】 12 【高考真题】 22 【题型归纳】 题型一：等差数列的判断 1．（2024·高二·上海宝山·阶段练习）已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个， 故选：C. 2．（2024·高二·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【解析】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 3．（2024·高二·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 4．（2024·高二·上海·课后作业）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设的公差为， 对于①，， 是等差数列，故①正确； 对于②，， 是等差数列，故②正确； 对于③，，是等差数列，故③正确； 对于④，若，则不是等差数列，故④错误； 故选：C． 题型二：等差数列的通项公式及其应用 5．（2024·高二·全国·课前预习）已知等差数列1，，，，…，． (1)求该数列的通项公式与项数； (2)是不是该数列的项？如果是，是第几项？ 【解析】（1）因为，， 所以． 由，得． （2）由(1)知，， 令，得． 所以是该数列的项，是第项． 6．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【解析】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知数列中，，，是关于项数n的一次函数． (1)求的通项公式，并求； (2)若是由组成的，试写出的一个通项公式． 【解析】（1）设，则，解得，∴，∴． （2）∵为5，9，13，17，…，∴． 8．（2024·高二·新疆阿克苏·期末）已知数列满足. (1)由递推关系写出数列的前五项； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1），， ，，，. （2）由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， . 题型三：等差数列的证明 9．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【解析】证明：令，又，则有 ， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 10．（2024·高二·上海·课堂例题）已知数列的前n项和是n的二次函数，且，，. (1)求的表达式； (2)求数列的通项公式并证明数列是等差数列. 【解析】（1）设. ∵，，. ∴解得 ∴. （2）∵，当时， . 当时，也成立.∴， 当时，， 从而. 所以数列是一个等差数列. 11．（2024·高二·江苏·阶段练习）数列的前项和为，且，当时，. (1)计算：，； (2)证明为等差数列，并求数列的通项公式； 【解析】（1）由，， 令，得，又，所以， 令，得，又； （2）因为当时，， 所以， 所以数列为等差数列，首项为，公差为， 所以， 所以， 于是，当时， ， 当时，，满足上式， 故. 题型四：等差中项及应用 12．（2024·高三·河北衡水·阶段练习）已知等差数列中，分别是方程的两个根，则 ． 【答案】2 【解析】由分别是方程的两个根，得， 因为是等差数列， 所以． 故答案为：2 13．（2024·高二·上海·期中）设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】/ 【解析】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 题型五：等差数列的实际应用 14．（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【答案】65 【解析】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： 15．（2024·高三·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【解析】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 16．（2024·高二·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 【答案】 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，， 则根据题意有， 解得，所以戊所得为. 故答案为：. 17．（2024·高三·山东临沂·阶段练习）《九章算术》“竹九节”问题；现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ，这9节竹子的总容积为 . 【答案】 升 升 【解析】将自上而下各节竹子的容积分别记为，，…，， 依题意可得，， 即①，②，，得，解得， 把代入①，得， 故升. 题型六：的应用 18．（2024·全国·高二课时练习）已知数列为等差数列，且公差为． （1）若，，求的值； （2）若，，求公差． 【解析】（1）由题意得，解得，故． 所以． （2）由，得，∴． 由，解得或，∴或． 所以公差为3或． 19．（2024·高二·上海·课后作业）在等差数列中， (1)已知，，求，； (2)已知，，求； (3)已知，，求． 【解析】（1）在等差数列中，由，得：，解得， 所以. （2）设等差数列的公差为，由，得：，解得， 所以. （3）设等差数列的公差为，由，得：，解得， 所以. 20．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中,已知,,求. 【解析】设数列的公差为,由题意,得,解得. 故. 所以. 21．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）在等差数列中，已知，. （1）求出首项与公差，并写出通项公式； （2）中有多少项属于区间？ 【解析】设等差数列的公差为d， 由，， 得， 解得， . （2）由， 得， ， 共三项. 题型七：等差数列性质的应用 22．（2024·高二·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 23．（2024·高二·福建宁德·阶段练习）将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列的前四项，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记减1的项为a，加1的项为b， 因为，可知变化的两项为1，4或2，3， 若，可得0，3，6，9，为等差数列， 此时首项为0，公差为3，所以； 若，可得2，3，6，7，不为等差数列； 若，可得1，2，7，8，不为等差数列； 若，可得1，4，5，8，不为等差数列； 综上所述：数列的通项公式为. 故选：D. 24．（2024·高二·全国·专题练习）已知数列是等差数列，，，则过点，的直线斜率为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解析】由数列是等差数列，知是关于n的“一次函数”， 其图象是一条直线上的等间隔的点， 因此过点，的直线斜率即过点，的直线斜率， 所以所求直线的斜率． 故选：A 25．（2024·高二·全国·课后作业）已知在等差数列中，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【解析】由题可得，解得， 故． 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 题型八：等差数列中对称设项法的应用 26．（2024·高二·全国·课后作业）已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 【解析】设四个数为,则 所以解得，， 此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. 27．（2024·高二·陕西延安·阶段练习）有四个正数，前三个数成等差数列，其和为36，后三数成等比数列，其积为108.求这四个数. 【解析】设四个正数分别为a，b，c，d，根据等差数列和等比数列的性质可得， 解得， 所以这四个数分别为，12，，. 28．（2024·高三·全国·专题练习）已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列{an}的通项公式. 【解析】法一：根据题意，设等差数列的前三项分别为， 则，即,解得或. 因为数列为单调递增数列，所以，从而等差数列的通项公式为. 方法二：由于数列为等差数列，因此可设前三项分别为，可得，即 ，解得或. 因为数列为单调递增数列，所以,从而. 【重难点集训】 1．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（   ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【解析】因为等比数列满足，所以， 设, , , 所以， , . 故选：A. 2．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知等差数列，则是成立的（    ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【解析】当时，由等差数列下标和性质得显然成立，故充分性成立，设首项为，公差为，当时，无论取何值，一定成立，无法推出，可得必要性不成立，即则是成立的充分不必要条件. 故选:B 3．（23-24高二上·山西长治·期末）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】因为，整理得，且， 可知是以首项为3，公差为1的等差数列， 所以，可得， 当时，可得， 且符合上式，所以， 则， 解得，即的最大值为8． 故选：B． 4．（23-24高二上·上海闵行·期末）设是公差不为0的无穷等差数列，现有下述两个命题：①“对任意正整数，都有成立”是“为严格递减数列”的充分不必要条件；②“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件.则说法正确的选项是（    ） A．命题①与②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①与②均为假命题 【答案】A 【解析】由等差数列的通项公式，不妨设. ①“对任意正整数，都有成立”即，那么“为严格递减数列”，故是充分条件；当“为严格递减数列”时，首项不一定为负，所以不是必要条件，①正确； ②由一次函数的图像和性质可得，当单调递增时，存在，当时，总有的充要条件，当时结论仍成立，故“为严格递增数列”是“存在正整数，当时，总有”的充要条件，②正确 故选：A 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且， 所以，， 所以，故A错误；，故B错误； 又， 故，即， 所以为首项为，公差为的等差数列，故，所以C正确，D错误， 故选：C 6．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【解析】由题意，得， 所以，故C正确. 故选：C. 7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）数列中，，若，都有恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以数列是等差数列，首项为，公差为， 所以， ， 又因为，都有恒成立， 所以，都有恒成立， 令， 则， 所以=， 所以当时，，； 当时，，； 所以在数列中，第8项最大，且， 所以， 故的最小值为. 故选：C. 8．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列满足，且，则数列的前101项中能被整除的项数为（    ） A．42 B．41 C．40 D．39 【答案】B 【解析】由得，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以， 当时，，能被5整除，能被5整除， 当时，，能被5整除， 当时，，不能被5整除， 当时，，不能被5整除， 当时，，不能被5整除， 故从1开始，每5项中有2项能被整除，又，故第项能被5整除， 所以数列的前项中能被整除的项数为. 故选：B 9．（多选题）（24-25高三上·河南·期中）记数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．数列是公差为1的等差数列 C．数列的前n项和为 D．数列的前2023项和为 【答案】ACD 【解析】数列的前n项和，当时，， 而满足上式，因此， 对于A，，A正确； 对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，数列的前n项和 ，C正确； 对于D，， 则数列的前2023项和为，D正确. 故选：ACD 10．（多选题）（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知，且成等差数列（    ） A．也成等差数列 B．也成等差数列 C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以，D选项正确； 因为，所以，C选项正确； 因为，所以,A选项正确； 设成等差数列，得出, 若成等差数列， 则 已知矛盾，所以B错误. 故选： ACD . 11．（多选题）（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（    ） A． B．是等差数列 C． D． 【答案】BD 【解析】A.根据数列各项可得，选项A错误. B. ∵， ∴是以为首项，为公差的等差数列，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 12．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列. 以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成新的等差数列. 若某个二阶等差数列的前4项为2，3，6，11，则该数列的第10项为 . 【答案】 【解析】设二阶等差数列为，令， 则，，， 由题意可得：数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则，即， 所以 . 故答案为：. 13．（2024·浙江温州·一模）已知正项数列满足，且，则 . 【答案】6069 【解析】因为为正项数列且，① 所以，② 得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令可得，又，， 所以，解得， . 故答案为：6069. 14．（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）在数列中，，，若，则 ． 【答案】 【解析】由可得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 令，解得， 故答案为： 15．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【解析】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 16．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列满足，． (1)求、、 ； (2)是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由． 【解析】（1）当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 即，，； （2）假设存在该实数，设数列公差为，又， 故，即， 则， 由， 即有， 整理得，当，时，恒成立， 此时，符合要求， 有， 故存在，使得数列为等差数列，且. 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间都插入3项，使其与原数列的数构成新的等差数列． (1)若插入的第一组3项之和记为，第二组3项之和记为，构成数列．判断是否为等差数列，若是，求出通项公式，若不是，说明理由； (2)在（1）的条件下，用与表示． 【解析】（1）由题意可知：， 设插入三项为， 因为为等差数列，则， 可得， 因为，且， 所以数列是以18为首项，24为公差的等差数列，且． （2）由题意可知：数列的首项为，公差为的等差数列，得， 由（1）知，所以． 18．（2024高二·全国·专题练习）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）设等差数列的公差为，由，， 得解得 ∴，． （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立． 当时，取得最小值1， ∴，即的取值范围是． 【高考真题】 1．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【解析】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 2．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 3．（2024·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【解析】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 4．（2024·江苏镇江·三模）命题P：的平均数与中位数相等；命题Q： 是等差数列，则P是Q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】所以的平均 数与中位数相等， 即 , P 是 Q 的必要条件； 若数据是1,1,1,3,3,5,5,5，则平均数和中位数相等，但不是等差数列， 所以 P 推不出 Q ，所以 P 不是 Q 的充分条件； 所以 P 是 Q 的必要不充分条件． 故选： B . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$