精品解析：黑龙江省哈尔滨市双城区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度上学期八年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”､“考号”､“考场”､“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚． 5．保持卡面整洁､不要折叠､不要弄脏､弄皱，不准使用涂改液､刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一､选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故不A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2. 下列各图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，常见的轴对称图形有：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆、线段、相交直线等；常见的既是中心对称图形又是轴对称图形的有：矩形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，故选项不符合题意； B.、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故选项符合题意； D、是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 3. 点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系上关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握其特征是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数进行计算即可． 【详解】解：点关于轴的对称点为．  故选：B ． 4. 已知在和中，，下列条件中，不能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，， 则在和中， ， ，故选项不符合题意； B. ，， 则在和中， ， ，故选项不符合题意； C. ，， 则在和中， ， 此时符合， 不能使，故选项符合题意； D. ，， 则在和中， ， ，故选项不符合题意； 故选：． 5. 如图在中，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，的度数，再由角平分线的性质得出，的度数，利用全等三角形的判定与性质可得的度数，再利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 是的角平分线， ． 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 6. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 【详解】解：在中，， 则， ∵， ∴．   故选：B ． 7. 如图，中，，，平分，平分，过点作，分别交、于､，设，则周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质．首先根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求，再根据角平分线的性质和平行线的性质可证、，根据等角对等边可证、，所以可得的周长为． 【详解】解：中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， 的周长为．   故选：D ． 8. 如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的定义，由垂直平分，则，由的周长为，，则，最后由等腰三角形的定义即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②等腰三角形的高､中线､角平分线互相重合； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ④三角形三边垂直平分线的交点与三角形三个顶点距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． ①根据全等三角形和轴对称的性质即可判断； ②根据等腰三角形三线合一的性质判断即可； ③根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解判断即可； ④根据垂直平分线的性质判断求解即可． 【详解】①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，选项错误，不符合题意； ②等腰三角形底边上的高、中线、角平分线互相重合，选项错误，不符合题意； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，选项正确，符合题意； ④三角形三边垂直平分线的交点与三角形三个顶点距离相等，选项正确，符合题意． 故正确的有③④，有2个． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二､填空题（每题3分，共24分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识，先由等腰三角形的性质分类讨论，再结合周长公式及三角形三边关系求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质、构成三角形的三边关系等知识是解决问题的关键． 【详解】解：由等腰三角形性质，分两种情况： 当腰是时，三角形的边长为，则该等腰三角形的周长是； 当腰是时，边长为，则由构成三角形的三边关系可知三条边长不能构成三角形，此种情况不存在； 故答案为：12． 12. 已知点与点关于轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴，，解得：， ∴， 故答案为：． 13. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握成轴对称的两个图形全等是解题关键．根据轴对称的性质得出，即可得出的度数，进而根据三角形内角和可得出的度数． 【详解】与关于直线对称，， ， ， ． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点，丽丽同学对点A进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以，另一坐标不变．第一次将点A的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第四次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第五次将的横坐标乘以，纵坐标不变得到……，她按照上述规律操作，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是明确题意，发现坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．根据题意知：点坐标的变化规律是每操作4次，点回到原来的位置，从而可以确定点的坐标． 【详解】解：由题意知：， 第一次操作后，， 第二次操作后，， 第三次操作后，， 第四次操作后，， 第五次操作后，， 由此可得，每4次一个循环， ， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，中，于D，E､F为上两点，连接，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，由三线合一定理和垂直的定义得到，，据此可证明，进而推出，据此可证明 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5. 16. 如图，已知，点在边上，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，由，得，，再根据等边对等角得，最后由平角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】 或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】解：①如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ②如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 18. 如图，在中，，点D为边上一点，于，则的面积为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，含角的直角三角形的性质，能够求出、的长是解题的关键． 过点作于点，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据，，求出、的长，即可得出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：20． 三､解答题（19-23每题6分，24-25每题8分，26-27每题10分） 19. 某正n边形的每个内角的度数都为，求该正n边形的内角和度数为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，多边形内角和问题，分式方程的实际应用等知识点，熟练掌握正多边形的内角公式及多边形的内角和公式是解题的关键． 根据正多边形的内角公式可得，解方程即可求得的值，然后利用多边形的内角和公式即可得解． 【详解】解：某正n边形的每个内角的度数都为， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 该正边形的内角和度数为： ， 答：该正边形的内角和度数为． 20. 如图，已知中，，平分交于，，，求的度数． 【答案】. 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出，结合角平分线的定义，可求出，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数，利用平行线的性质结合角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ，， ∴. 21. 在一条东西走向的公路上有A､B两个车站，早上8点甲､乙两辆公交车分别从A､B同时出发以相同的速度匀速行驶（甲由A向左行驶，乙由B向右行驶），9点时他们分别到达C､D两点，然后甲由C点向正北方向行驶，乙由D点向正南方向行驶，10点时它们分别到达E､F两点，此时甲与B车站､乙与A车站的距离分别为．丽丽同学根据上面提供的信息绘制出了图形，她发现图中，她猜想且．请你证明她的猜想． 【答案】 证明：， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质及平行线的判定即可得证． 【详解】略 22. 如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？， 【答案】渔船航行的速度为每小时40海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题．理解题意，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 过点作于点，设海里，用表示，，，根据列出关于的方程，解出，再求出，进而求出，由此即可求出该渔船的航行速度． 【详解】解：过点作于点， 由题意可得：，，， 设海里， 在中， 海里， 在中， ， ， ， 解得：， 即海里，海里， ， ， 又， 海里， 海里， 该渔船航行的速度为（海里/小时） 答：渔船航行的速度为每小时40海里． 23. 已知，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移个单位，再向下平移个单位到，请画出； （2）将沿轴向下翻折得到关于轴对称的，请画出． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（）根据平移的性质作图即可； （）根据轴对称的性质作图即可； 本题考查了作图—轴对称变换，作图—平移变换，熟练掌握轴对称的性质，平移的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知中，，平分交于，平分交于． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，在不添加字母的条件下，请直接写出图中所有的等腰三角形（除外） 【答案】（1） 证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，， 【解析】 【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，再结合已知条件即可得出结论； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，由等角对等边可得，，则，是等腰三角形；由三角形外角的性质可得，，进而可得，由等角对等边可得，，则，是等腰三角形；综上所述，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，，是等腰三角形，理由如下： ，， ， 平分，平分， ， ， ， ，， ，是等腰三角形， ， ， ， ，， ，是等腰三角形， 若，在不添加字母的条件下，图中的等腰三角形（除外）有： ，，，． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，三角形的内角和定理，等角对等边，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 【答案】（1）购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元 （2）该商场最少购进甲种纪念品件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组与根据各数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元，根据“购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元，购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元”，可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进甲种纪念品每件需要元，乙种纪念品每件需要元． 【小问2详解】 设该商场购进件甲种纪念品，则购进件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：该商场最少购进甲种纪念品件． 26. 我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． （1）初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； （2）大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； （3）拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点C在y轴上，，的坐标分别为，，的面积为． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线向右运动，点P的运动时间为t，连接，的面积为，请用含t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点A作于，交于E，连接，当的面积等于面积的时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由，两点的坐标可求得，的长，由三角形的面积公式及已知条件“的面积为”可得，于是可得，据此即可求出的长，进而可得出点的坐标； （2）分两种情况讨论：当时；当时；分别根据三角形的面积公式即可得出答案； （3）由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，由（1）可得，利用可证得，于是可得，则，，，然后分两种情况讨论：当时；当时；分别用表示出，然后根据已知条件即可建立关于的一元一次方程，解方程即可求得t的值． 【小问1详解】 解：，， ，， 的面积为， ， ， ， 点在轴上， ； 【小问2详解】 解：如图，分两种情况讨论： 当时， ，， ； 当时， ，， ； 综上所述，； 【小问3详解】 解：于， ， ， ，， ， 由（1）可得：， 在和中， ， ， ， ， ， ， 分两种情况讨论： 当时， ，， ， ， ， 解得：； 当时， ，， ， ， ， 解得：； 综上所述，当的面积等于面积的时，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，等式的性质，线段的和与差，列代数式，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期八年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”､“考号”､“考场”､“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚． 5．保持卡面整洁､不要折叠､不要弄脏､弄皱，不准使用涂改液､刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一､选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于轴的对称点为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在和中，，下列条件中，不能判断的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图在中，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，平分，平分，过点作，分别交、于､，设，则周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰中，，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若的周长为，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 下列说法中，正确的有（ ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②等腰三角形的高､中线､角平分线互相重合； ③等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半； ④三角形三边垂直平分线的交点与三角形三个顶点距离相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二､填空题（每题3分，共24分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是______． 12. 已知点与点关于轴对称，则______． 13. 如图，与关于直线对称，，，则的度数为___________． 14. 在平面直角坐标系中，点，丽丽同学对点A进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以，另一坐标不变．第一次将点A的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到，第四次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到，第五次将的横坐标乘以，纵坐标不变得到……，她按照上述规律操作，则点的坐标为___________． 15. 如图，中，于D，E､F为上两点，连接，则图中阴影部分的面积为___________． 16. 如图，已知，点在边上，，则的度数为______． 17. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 18. 如图，在中，，点D为边上一点，于，则的面积为___________． 三､解答题（19-23每题6分，24-25每题8分，26-27每题10分） 19. 某正n边形的每个内角的度数都为，求该正n边形的内角和度数为多少？ 20. 如图，已知中，，平分交于，，，求的度数． 21. 在一条东西走向的公路上有A､B两个车站，早上8点甲､乙两辆公交车分别从A､B同时出发以相同的速度匀速行驶（甲由A向左行驶，乙由B向右行驶），9点时他们分别到达C､D两点，然后甲由C点向正北方向行驶，乙由D点向正南方向行驶，10点时它们分别到达E､F两点，此时甲与B车站､乙与A车站的距离分别为．丽丽同学根据上面提供的信息绘制出了图形，她发现图中，她猜想且．请你证明她的猜想． 22. 如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？， 23. 已知，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将先向左平移个单位，再向下平移个单位到，请画出； （2）将沿轴向下翻折得到关于轴对称的，请画出． 24. 已知中，，平分交于，平分交于． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若，在不添加字母的条件下，请直接写出图中所有的等腰三角形（除外） 25. 随着哈尔滨市全力打造旅游城市政策的实施，哈尔滨这座历史悠久的北方名城，吸引了国内外多方友人奔赴而来，极大促进了哈市经济的发展，中央大街某商家抓住了这一商机，该商家决定购进甲､乙两种纪念品进行销售，若购进甲种纪念品1件和乙种纪念品2件共需要元；若购进甲种纪念品2件和乙种纪念品3件共需要元． （1）求购进甲､乙两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场决定购进甲､乙两种纪念品共件，若每件甲种纪念品的售价为元，每件乙种纪念品的售价为元，销售完这件纪念品所获得的利润不低于元，则该商场最少购进甲种纪念品多少件？ 26. 我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． （1）初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； （2）大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； （3）拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 27. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点C在y轴上，，的坐标分别为，，的面积为． （1）求点A的坐标； （2）动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线向右运动，点P的运动时间为t，连接，的面积为，请用含t的式子表示的面积，并直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点A作于，交于E，连接，当的面积等于面积的时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $